變分法中的重積分

C.B.莫萊著

斯普林格出版公司自1920年及其后不久先后推出兩種高級(jí)數(shù)學(xué)專著系列叢書《數(shù)學(xué)科學(xué)基礎(chǔ)理論》和《數(shù)學(xué)及其邊緣科學(xué)成果》,至今已有400多種論著問世,其中不少成為相關(guān)領(lǐng)域的權(quán)威性文獻(xiàn),對(duì)年輕一代數(shù)學(xué)研究人員有很大參考價(jià)值,有鑒于此,該公司從中選取一部分用平裝本影印重版,形成一個(gè)名為《數(shù)學(xué)經(jīng)典》的新系列。本書就是其中的一種,原為《數(shù)學(xué)科學(xué)基礎(chǔ)理論》的第130卷,于1966年初版。

本書作者(1907-1984)在世時(shí)為美國加州大學(xué)伯克利分校數(shù)學(xué)教授。他的書的主題是含重積分的變分問題的解的存在性和可微性,研究了橢圓微分方程,并包含了許多分析、拓?fù)浜土餍卫碚摰慕?jīng)典結(jié)果。本書不僅給出他本人的結(jié)果和方法,而且系統(tǒng)總結(jié)了他的同代人在有關(guān)領(lǐng)域的研究成果,還包含迄止上世紀(jì)六、七十年代該領(lǐng)域重要文獻(xiàn)目錄。

本書含10章。1幣論,論述了本書的主題及歷史背景,還包含一些簡單情形的結(jié)果;2薄鞍刖典結(jié)果”,實(shí)際是本書所用的一些數(shù)學(xué)工具性結(jié)果,特別是調(diào)和函數(shù)、位勢(shì)理論、奇異積分、二階橢圓方程的極大值原理;3-4備出Sobolev空間的一些性質(zhì),然后借此證明一般性低半連續(xù)性定理和存在性定理;5-6毖芯咳踅獾目晌⑿,一般橢圓方程組和邊值問題的解的正則性。其后4章是上述結(jié)果的數(shù)學(xué)應(yīng)用(本書不涉及物理、工程應(yīng)用);7-8備出變分方法對(duì)于調(diào)和積分的Hodge理論及強(qiáng)偽凸流形上外微分形式的Neumann問題的應(yīng)用;9-10碧致鄱轡參數(shù)積分問題(特別是一般二維問題)及高維Plateau問題(包含作者對(duì)Reifenberg有關(guān)工作的簡化及到黎曼流形上的簇的擴(kuò)張)。

本書是高水平數(shù)學(xué)專著,可供偏微分方程及其它有關(guān)領(lǐng)域的科研人員、研究生閱讀。

朱堯辰,研究員

(中國科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所)