方程與函數(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾點思考

王旭升

摘 要:方程和函數(shù)的教學(xué)在中小學(xué)的數(shù)學(xué)課程中一直占據(jù)著非常重要的地位,它不僅就這一階段的學(xué)習(xí)來說有著基礎(chǔ)性的重要功能與廣泛的實際應(yīng)用,而且對于學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)也有著舉足輕重的作用。本文理清方程與函數(shù)的概念,提出在這部分教學(xué)過程中引入循序漸進(jìn)、注重實際、挖掘內(nèi)涵等手段,并把傳統(tǒng)教學(xué)方法和現(xiàn)代教育技術(shù)相結(jié)合來達(dá)到提高教學(xué)效果的目的。

關(guān)鍵詞:方程 函數(shù) 教學(xué)

方程與函數(shù)的思想是指在解決某些數(shù)學(xué)問題時構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆匠毯秃瘮?shù),把問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)與輔助方程性質(zhì)的思想。另外,方程與函數(shù)的概念,反映了客觀世界運動和變化的一些規(guī)律,因此它的教學(xué)思想可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的意識和方法以及解決實際問題的能力。

學(xué)生對函數(shù)的理解與認(rèn)識深深扎根于對數(shù)學(xué)內(nèi)部函數(shù)本身各種抽象性質(zhì)的理解之中,同時比較關(guān)注知識的形式化,教材內(nèi)容理論性與技巧性強,較為完整地表現(xiàn)出知識的整體結(jié)構(gòu),對具體函數(shù)的研究挖掘較深。針對以上不足,為適應(yīng)現(xiàn)代素質(zhì)教育的要求,本文將我在教學(xué)過程中用到的一些方法與大家進(jìn)行交流和探討。

一、重視方程和函數(shù)概念的提前滲透,循序漸進(jìn),逐步提高

采用螺旋式上升的方法,注重數(shù)學(xué)的背景知識,及早滲透,關(guān)注函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系,推遲或淡化函數(shù)的形式化表現(xiàn)。要求學(xué)生認(rèn)識理解數(shù)值函數(shù)的定義:n→n+a與n→n×a以及它的近似解,并要求對方程的含義有深刻了解,對未知數(shù)不用字母表示,只要求認(rèn)識類似10.5+()=23.6或24×()=480的方程,并用圖表來描述情景。

九年制義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程是緊密圍繞“數(shù)”“量”“形”和“關(guān)系”四條主線來設(shè)置的。在由“關(guān)系”組成的內(nèi)容中,從四年級就開始接觸函數(shù)關(guān)系的初步概念,要求了解兩個量變化的關(guān)系,用表、折線、圖來表示兩個數(shù)量變化的情況,用式子簡潔地表示數(shù)量關(guān)系。到了初一,要求從事物現(xiàn)象中,取出伴隨變化的兩個量,研究它們的關(guān)系,明確它們的特征,理解包括變化和對應(yīng)、坐標(biāo)的意義以及用數(shù)表、圖象、解析式表示的各種函數(shù)關(guān)系。初二要求理解一次函數(shù)的特征,并提高應(yīng)用函數(shù)的能力,初三主要研究二次函數(shù)的變化特點與變化率。高中階段研究二次函數(shù)的一般形式、各種常用的初等函數(shù)以及微積分初步,作為函數(shù)教學(xué)的深入與延伸。

二、強調(diào)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系,注重實際應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力

重視教學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系,這是大多數(shù)國家數(shù)學(xué)課程和教材的共同特點。瑞典的課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為“數(shù)學(xué)課的根本目的是使所有學(xué)生獲得解決他們?nèi)粘Ｉ钪杏龅降臄?shù)學(xué)問題的能力”。法國的教學(xué)大綱也指出:“教學(xué)更重要的是學(xué)生應(yīng)該運用所學(xué)的知識解決自己在實踐中遇到的問題?！钡聡臄?shù)學(xué)教學(xué)計劃中,要求使學(xué)生“有能力在其他學(xué)科和日常生活中解決數(shù)學(xué)問題”。在小學(xué)的應(yīng)用題教學(xué)中,除了要求引進(jìn)開放性問題,還強調(diào)貼近學(xué)生生活。初中的方程教學(xué)中應(yīng)該結(jié)合物理學(xué)中的混合、運動問題,地理學(xué)中的降水量、溫度問題,交通教育中的路程、過河問題。學(xué)習(xí)函數(shù):x→ax+b時,要求聯(lián)系物理中的霍克定律、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的利息、外匯換算、化學(xué)中的定量計算、信息學(xué)中的圖表等。

美國五~八年級課程標(biāo)準(zhǔn)的中心議題是研究模式與函數(shù),重點是函數(shù)的探索,這種研究和探索,要求學(xué)生認(rèn)識、描繪以及概括模式,并且建立數(shù)學(xué)模型來論斷通過觀察模式所展示出的真實世界中的現(xiàn)象。

三、注重挖掘方程與函數(shù)概念的內(nèi)涵,滲透數(shù)學(xué)思想以及問題解決的策略

許多國家把函數(shù)思想作為貫穿中小學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容。在小學(xué)階段,函數(shù)作為數(shù)的運算出現(xiàn),例如,兩個數(shù)的和看成是一個數(shù)與兩個數(shù)的對應(yīng);在代數(shù)中,函數(shù)表示在運動下的一個點集到它的象集的變換,比如,對稱、平移和旋轉(zhuǎn)等;在概率中,函數(shù)表示事件發(fā)生與可能性之間的關(guān)系。抓住函數(shù)的本質(zhì)是一種規(guī)則或法則,因此,同一個函數(shù)可用多種方法表示。

另外,通過方程問題的教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握問題解決的策略,也是我們在數(shù)學(xué)教育中應(yīng)該考慮的問題。

四、充分利用現(xiàn)代教育技術(shù),發(fā)揮計算器和計算機的功能

現(xiàn)代教育技術(shù)的利用,特別是功能較強的計算器的使用,使大量繁瑣、重復(fù)的操練得到了簡化,從而大大提高了教學(xué)的效率。另外,求方程的許多技巧以及函數(shù)中求定義域和值域一類的問題也大大淡化,取而代之的是增加了方程的數(shù)值計算和函數(shù)圖象的有關(guān)內(nèi)容。

比如,由于計算器與計算機的廣泛使用,引起了教學(xué)內(nèi)容的變革。在解方程的方法中,引入了“迭代法”“嘗試改進(jìn)法”,而二次方程的求根公式相對放在較后的位置。函數(shù)教學(xué)中,通過在計算器或計算機上生成各種常用初等函數(shù)的圖象,對比作出理解和解釋,大大提高了教學(xué)效果。在高中數(shù)學(xué)課程中增加用計算機求解線性方程組的迭代法。作為一般的一元方程的近似解法,介紹“牛頓法”和“二分法”。這些變化可以用幾何的變換來描述,由此提供了幾何與代數(shù)的另一個聯(lián)系。

總之,方程與函數(shù)的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中十分重要的一種思想和方法,也是高考中考查的重點。因此,我們要重視和學(xué)會運用這一方法去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題,強化方程與函數(shù)的思想方法的應(yīng)用意識和基本訓(xùn)練,以適應(yīng)高考新的變化和要求以及培養(yǎng)新世紀(jì)高素質(zhì)人才的需求。

參考文獻(xiàn):

1.澤菲,梁肇軍.中國與英國初中數(shù)學(xué)課程比較[J].外國教育研究.1998.1

2.馬忠林.比較數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].沈陽:遼寧教育出版社,1995.8

3.黃輝,段訓(xùn)國.用函數(shù)觀點研究方程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究.2006.6

4.丁勇.談?wù)労瘮?shù)與方程的思想方法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)高中版.2006.8

作者單位:甘肅蘭州西北師范大學(xué)教育學(xué)院