淺談數(shù)學(xué)解題

顧仁岳

一、數(shù)學(xué)解題策略

數(shù)學(xué)問題的解題策略是指探求數(shù)學(xué)問題的答案時所采取的途徑和方法，其方法是有層次性的，解題策略是最高層次的解題方法，是對解題途徑的概括性的認(rèn)識。常見解題策略有枚舉法、模式識別、問題轉(zhuǎn)化、中途點(diǎn)法、以退求進(jìn)、推進(jìn)到一般、從整體看問題、正難則反等。數(shù)學(xué)教師應(yīng)該加強(qiáng)對學(xué)生解題策略的指導(dǎo)和策略性知識的教學(xué)。二者相輔相成，缺一不可，離開了策略性知識的教學(xué)，學(xué)生的解題策略就無法構(gòu)建，離開了解題，策略性知識就失去了載體。

二、數(shù)學(xué)解題教學(xué)的認(rèn)識

數(shù)學(xué)解題教學(xué)中我們要認(rèn)清，”解題教學(xué)的實(shí)質(zhì)是什么?”這也是數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的一個基本問題。因?yàn)閷τ谝粋€訓(xùn)練有素的數(shù)學(xué)教師來說，形成一個正確、合理的解題教學(xué)認(rèn)識，這對于從較高角度認(rèn)識解題過程、弄清解題本質(zhì)是非常必要的，也只有這樣，才會在解題教學(xué)中掌握解題規(guī)律、形成解題經(jīng)驗(yàn)、提高解題能力。

從數(shù)學(xué)教學(xué)看，由于數(shù)學(xué)本身具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性等特點(diǎn)，在教學(xué)中只單純地講解定義、定理和公式，很難取得理想的效果。因此，有經(jīng)驗(yàn)的教師，總是通過富有啟發(fā)性的問題來進(jìn)行教學(xué)。通過解決各種類型的問題幫助學(xué)生加深對基礎(chǔ)知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，靈活運(yùn)用知識分析問題、解決問題的能力?？梢?，解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)過程的一個重要組成部分。

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看，要想真正搞清一個數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)，掌握定理、公式中的條件、結(jié)論的含義及它們之間的聯(lián)系，只靠單純地背誦是做不到的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較好的學(xué)生，都會以極大的熱情去認(rèn)真解題，通過解題進(jìn)一步領(lǐng)會、掌握各種概念、定理、公式和法則，提高自己的技能技巧，鞏固所學(xué)的知識。所以解題又是提高學(xué)習(xí)效果不可缺少的一個環(huán)節(jié)?？傊?，數(shù)學(xué)解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)教學(xué)以及數(shù)學(xué)研究中都占有重要的地位。

事實(shí)上，解題就是解決問題，即求出問題的答案，這個答案在數(shù)學(xué)上也叫“解”，所以，數(shù)學(xué)解題就是求出數(shù)學(xué)問題的解。著名數(shù)學(xué)家、教育家波利亞認(rèn)為”掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題”，他還強(qiáng)調(diào)指出：”中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”?；A(chǔ)知識要通過解題實(shí)踐來消化，基本技能要通過解題實(shí)踐來形成，解題方法要通過解題實(shí)踐來強(qiáng)化，數(shù)學(xué)思想要通過解題實(shí)踐來培養(yǎng)，數(shù)學(xué)觀念要通過解題實(shí)踐來深化，思維素質(zhì)要通過解題實(shí)踐來優(yōu)化，因此，解題教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中舉足輕重。

三、思考

綜觀有關(guān)解題研究的論述，無論是國外的研究還是國內(nèi)的研究，在解題理論研究上較多，在解題教學(xué)實(shí)踐上的研究較少，比如：一道題我們該如何教?為什么這樣教?我們應(yīng)教給怎樣的學(xué)生?這些方面研究較少。

1解題教學(xué)研究中存在的問題

(1)有不少人認(rèn)為，隨著數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)知識的豐富，解題方法可以自然而然地掌握、解題能力可以自然而然地產(chǎn)生。解題理論的研究純屬多余。而來自學(xué)生的情況卻是：許多人學(xué)了課本內(nèi)容卻不會解題，還有的人解了許多題卻說不清思路?？梢?，再豐富的經(jīng)驗(yàn)也無法代替理論，缺乏理論指導(dǎo)的實(shí)踐常會流于盲目。

(2)有些傳統(tǒng)題目十幾年乃至幾十年無任何改進(jìn)，從這本書抄到那本書，局部上甚至有流行的錯誤。解題研究多探討”怎樣解”，較少問”為什么這樣解”，長期徘徊在一招一式的歸類上，缺少觀點(diǎn)上的提高與實(shí)質(zhì)上的突破。因此，盡管有豐富的解題資料，卻始終未上升為系統(tǒng)的解題理論。

(3)將解題的研究歸結(jié)為應(yīng)付升學(xué)的考查，解題的規(guī)律被簡單化為”對題型”、”套解法”，由此產(chǎn)生盲目的”題海戰(zhàn)術(shù)”。這種模式，將智力開發(fā)等同于技藝訓(xùn)練，以考試為目標(biāo)，以押題、猜題為主要手段，即使獲得了高分也扼殺了學(xué)生的能力。

2對數(shù)學(xué)解題研究的方向的思考

解題研究應(yīng)該謀求和把握的兩個發(fā)展方向，數(shù)學(xué)解題研究既不應(yīng)局限于一招一式的簡單模仿，也不應(yīng)停留于技能技巧的反復(fù)訓(xùn)練，而應(yīng)提升到數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的理論高度，更應(yīng)進(jìn)入到數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理層面。在我看來，數(shù)學(xué)解題的深入研究應(yīng)該從兩個方向上同時一展開：其一是數(shù)學(xué)知識方向，即解題的每步前進(jìn)得以依賴的數(shù)學(xué)規(guī)則是什么，如一招一式、技能技巧所能憑借的數(shù)學(xué)知識是什么，就有學(xué)者在研究解題時發(fā)現(xiàn)，一些所謂的解題技巧并不是高不可測、深不可究的認(rèn)識對象，也不是妙手偶得、心血來潮的思維產(chǎn)物，在其背后其實(shí)就是不同數(shù)學(xué)知識之間的本質(zhì)聯(lián)系。其二是學(xué)習(xí)心理方向，即學(xué)生解題的心理過程究竟如何展開，如題目已知信息如何啟動學(xué)生己有知識，如何調(diào)動學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)?題目的已知信息與調(diào)用的知識經(jīng)驗(yàn)如何相互作用?在其作用過程中受到哪些因素影響?情感因素在解題過程中是否維系、怎樣維系解題過程的具體展開?

3數(shù)學(xué)解題教學(xué)的哲學(xué)思考

反思我們?yōu)槭裁唇虜?shù)學(xué)?怎樣教數(shù)學(xué)?教給學(xué)生些什么?我們知道波利亞將學(xué)生依照未來的職業(yè)分為三類：數(shù)學(xué)家(包括理論物理學(xué)家、天文學(xué)家及某些專門研究領(lǐng)域里的工程師)約占1％，用到數(shù)學(xué)的人(工程師、科學(xué)家及一些社會科學(xué)家、數(shù)學(xué)教師、科學(xué)教師等)約占29％，不用數(shù)學(xué)的人(實(shí)業(yè)家、律師、牧師等)約占70％，他指出數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)符合于兩個原則：

“第一，每一個學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠從他的學(xué)習(xí)中得到某些收獲而不管他以后的職業(yè)是什么。第二，那些在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)出有一些資質(zhì)的學(xué)生應(yīng)當(dāng)受到鼓勵和吸引，而不要由于拙劣的教育使他們嫌棄數(shù)學(xué)?！?/p>

“解數(shù)學(xué)題的能力，當(dāng)然，依賴于某些有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，除此而外，它還有賴于某種有益的思維習(xí)慣，某種一般性的我們在日常生活中稱之為常識，的東西?！边@種有益的思維習(xí)慣與常識，對于所有的學(xué)生(包括將來不用數(shù)學(xué)的人)，都是非常重要的，是應(yīng)當(dāng)具備的素質(zhì)。而這，只有通過解題才能成為學(xué)生自己的東西。

對于僅占1％的未來的數(shù)學(xué)家，”將他們發(fā)掘出來是一件最重要的事情，假如他們選擇了一項(xiàng)錯誤的職業(yè)，那么他們的才能(現(xiàn)代社會在很多方面需要他們)將遭到浪費(fèi)”，”中學(xué)教師對這1％能做到的最重要的事就是喚起他們數(shù)學(xué)上的興趣”，”解題便是通向數(shù)學(xué)的一條最重要的道路”。

正因?yàn)榇耍覀兘處熅蛻?yīng)經(jīng)常向?qū)W生提出以下的三個問題：你現(xiàn)在在干什么?(你能否時此作出精確的描述?)你為什么要這樣做?它事實(shí)上起到了什么樣的作用?

由此揭示中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)解題教學(xué)究竟用什么方法?按照怎樣的途徑展開?