良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征

楊麗麗

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)在學(xué)習(xí)者頭腦里的反映，它是學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)的過程中逐步積累起來的在數(shù)學(xué)方面的觀念系統(tǒng)。這些觀念可能包括三種類型：一是基本觀念(言語信息或表象信息)，它是學(xué)習(xí)者通過學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)命題之后形成的；二是數(shù)學(xué)具體方法的觀念，它是學(xué)習(xí)者在運(yùn)用基本觀念來解決問題的過程中形成的：三是數(shù)學(xué)問題解決策略的觀念。就一個(gè)具體的新知識(shí)的學(xué)習(xí)而言，根據(jù)美國教育心理學(xué)家奧蘇貝爾的觀點(diǎn)可知，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有三個(gè)特征；一是可利用性，即在學(xué)習(xí)者原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有適當(dāng)?shù)钠鹜饔玫挠^念可以利用；二是可辨別性，即新知識(shí)與學(xué)習(xí)者原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)觀念是可辨別的：三足穩(wěn)定性，即同化新知識(shí)的原有的觀念是清晰和穩(wěn)定的。從數(shù)學(xué)問題解決的角度宋考察，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征包括以下四個(gè)方面：

1.足夠多的觀念

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于“專家系統(tǒng)”的研究表明，在某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)善于解決問題的專家必須具備上萬個(gè)知識(shí)組塊，沒有這些專門的知識(shí)，專家就不能解決該領(lǐng)域內(nèi)的技術(shù)問題。在許多專門領(lǐng)域，如工程學(xué)、計(jì)算機(jī)程序、社會(huì)科學(xué)、閱讀理解、物理、數(shù)學(xué)和醫(yī)療診斷等，將“專家”和“新手”作比較，都證明了解決問題的能力取決于個(gè)人所獲得的有關(guān)知識(shí)的多少及其組織結(jié)構(gòu)。根據(jù)筆者長期從事數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)工作的經(jīng)驗(yàn)，絕人多數(shù)IMO選手，除了具備一定的數(shù)學(xué)天賦之外，他們必需系統(tǒng)接受過各種專題知識(shí)的訓(xùn)練。在各種專家的輔導(dǎo)下，他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中積累了豐富的專門知識(shí)。

2.具備穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式

足夠多的觀念僅僅是問題解決的必要條件。也就是說，你頭腦中的知識(shí)越多，并不意味著你解決問題的能力越強(qiáng)。甚至問題解決者己具備了解決某一問題所需的全部知識(shí)，但卻解決不了這個(gè)問題。一些新教師經(jīng)常向筆者“訴苦”，自己備課十分認(rèn)真，課也講得頭頭是道，學(xué)生對(duì)知識(shí)的提問反應(yīng)也不錯(cuò)，可一讓學(xué)生自己作業(yè)和考試就不行。他們失敗的原因不是缺乏所需的具體知識(shí)觀念，而是缺乏與具體知識(shí)相對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定的產(chǎn)生式。學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)的過程中，其頭腦里逐步貯存了一系列以“如果…，那么…”的形式表示的規(guī)則，這種規(guī)則稱為產(chǎn)生式(Production)；產(chǎn)生式是一種“條件一活動(dòng)”規(guī)則，簡記為C—A，只要條件信息一出現(xiàn)，活動(dòng)就會(huì)自動(dòng)產(chǎn)生。這里所說的活動(dòng)不僅是外顯的行為反應(yīng)，還包括內(nèi)隱的心理活動(dòng)或心理運(yùn)算。

足夠多的觀念僅僅是問題解決的必要條件。也就是說，你頭腦中的知識(shí)越多，并不意味著你解決問題的能力越強(qiáng)。甚至問題解決者己具備了解決某一問題所需的全部知識(shí)，但卻解決不了這個(gè)問題。一些新教師經(jīng)常向筆者“訴苦”，自己備課十分認(rèn)真，課也講得頭頭是道，學(xué)生對(duì)知識(shí)的提問反應(yīng)也不錯(cuò)，可一讓學(xué)生自己作業(yè)和考試就不行。他們失敗的原因不是缺乏所需的具體知識(shí)觀念，而是缺乏與具體知識(shí)相對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定的產(chǎn)生式。學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)的過程中，其頭腦里逐步貯存了一系列以“如果…，那么…”的形式表示的規(guī)則，這種規(guī)則稱為產(chǎn)生式(Production)；產(chǎn)生式是一種“條件一活動(dòng)”規(guī)則，簡記為C—A，只要條件信息一出現(xiàn)，活動(dòng)就會(huì)自動(dòng)產(chǎn)生。這里所說的活動(dòng)不僅是外顯的行為反應(yīng)，還包括內(nèi)隱的心理活動(dòng)或心理運(yùn)算。

3.層次分明的觀念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

解決問題的思路探索過程實(shí)質(zhì)上由一連串的產(chǎn)生式構(gòu)成。在問題解決者具備相關(guān)穩(wěn)定的產(chǎn)生式的前提下，如何從問題情境中識(shí)別出相關(guān)信息并與眾多的產(chǎn)生式中的條件信息相匹配是成功解決問題的關(guān)鍵。我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)指出，某一領(lǐng)域內(nèi)善于解決問題的專家的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有上萬個(gè)知識(shí)塊。這些知識(shí)塊不僅是具體知識(shí)的觀念，而且大多數(shù)是產(chǎn)生式。因此，如果這些數(shù)以萬計(jì)的產(chǎn)生式組織得不好，那么問題解決者是很難從中檢索出與問題情境相匹配的條件信息。就好比一座圖書館，如果里面的書籍雜亂無章，亂堆亂放，那么，要找一本書時(shí)就會(huì)困難重重。反之，如果里面的書籍存放有序，類別分明，那么查找就很容易。所以，除了具備足夠多的觀念和穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式之外，要建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)者還必須對(duì)所習(xí)得的知識(shí)信息進(jìn)行加工整理，使之形成一個(gè)個(gè)的知識(shí)組塊，并對(duì)這些知識(shí)組塊再進(jìn)行組織、分類和概括，使之形成一個(gè)有層次有條理的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這樣，就可以提高信息的檢索效率。

4.一定的問題解決策略的觀念

某一問題領(lǐng)域內(nèi)的專家解決問題的能力之所以比新手強(qiáng)，主要的原因之一是專家的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有著比新手多得多的問題解決策略的觀念。因此，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)必須包括一定的問題解決策略的觀念。如表征問題的策略、波利亞的策略、奧加涅相的策略、舍費(fèi)爾德的策略、化陌生為熟悉的觀念、化繁為簡的觀念、特殊與一般的互化的觀念、正難則反的觀念、順推與逆推之結(jié)合的觀念、動(dòng)靜之轉(zhuǎn)化的觀念等等。這種觀念的形成不是一蹴而就的，要靠長期的學(xué)習(xí)、反思和總結(jié)。