基于系數(shù)線性化模型的逆變器分岔與混沌現(xiàn)象研究

周 林，龍崦平，郭 珂，李懷花，杜金其

（重慶大學(xué) 輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400030）

0 引言

逆變器是電力電子系統(tǒng)中的核心部分，廣泛應(yīng)用于電力電子電路中。尤其隨著現(xiàn)階段新能源發(fā)電、高壓直流輸電以及智能電網(wǎng)等的不斷發(fā)展，逆變器的應(yīng)用領(lǐng)域得到了更廣泛的推廣。然而，由于逆變器屬于非線性系統(tǒng)，在其實(shí)際運(yùn)行過程中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一系列復(fù)雜行為，如電磁噪聲、器件的間歇性振蕩以及系統(tǒng)突然崩潰現(xiàn)象等，嚴(yán)重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性[1-3]。因此，有必要深入研究逆變器中出現(xiàn)的不規(guī)則行為，為系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和運(yùn)行提供指導(dǎo)。

從20世紀(jì)90年代至今，針對(duì)DC／DC變換器中出現(xiàn)的分岔與混沌現(xiàn)象已經(jīng)有了廣泛的研究，并取得了一定的研究成果[4-8]，為后續(xù)更深入的研究奠定了基礎(chǔ)。關(guān)于H橋中出現(xiàn)的分岔與混沌現(xiàn)象研究在21世紀(jì)初才起步，Robert等在2002年首次分析了電流模式下H橋直流斬波器中的邊界碰撞分岔現(xiàn)象，并建立了H橋變換器的離散模型[9]。之后又將混沌控制引入到H橋中，以達(dá)到擴(kuò)大系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定域的目的[10-11]。在此基礎(chǔ)上，有學(xué)者對(duì)邊界碰撞分岔的機(jī)理進(jìn)行了更深入的研究[12-13]。然而，這些研究都是以H橋直流斬波器為研究對(duì)象，其實(shí)質(zhì)仍然屬于DC／DC變換器的研究范疇。目前對(duì)于DC／AC逆變器中出現(xiàn)的分岔現(xiàn)象研究甚少[14-15]。2009 年王學(xué)梅等將正弦信號(hào)作為參考量，首次研究了比例調(diào)節(jié)下H橋逆變器中出現(xiàn)的分岔與混沌現(xiàn)象[14]，將混沌研究由斬波器推廣到逆變器中，并在文獻(xiàn)[15]中引入了快變和慢變2種尺度，建立了H橋正弦逆變器的快變和慢變離散模型，對(duì)其混沌行為進(jìn)行了更深入的研究。

值得注意的是，上述對(duì)H橋的非線性研究都是以一階系統(tǒng)為研究對(duì)象，其離散建模過程相對(duì)簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，數(shù)值仿真速度快。然而將傳統(tǒng)建模方法引入到更高維系統(tǒng)的分析時(shí)[16]，發(fā)現(xiàn)其復(fù)雜程度和運(yùn)算量明顯加大，且仿真速度也相應(yīng)變慢，導(dǎo)致傳統(tǒng)建模方法的實(shí)用性下降。

鑒于上述弊端，本文將傳統(tǒng)建模方法中出現(xiàn)的矩陣指數(shù)函數(shù)運(yùn)算簡(jiǎn)化為基本的矩陣運(yùn)算，提出了一種基于系數(shù)線性化的離散建模方法。以電流模式下帶LC濾波器二階系統(tǒng)為研究對(duì)象，分別運(yùn)用傳統(tǒng)建模方法以及本文提出的系數(shù)線性化建模方法得到了系統(tǒng)的2種離散模型。采用Jacobian矩陣法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，對(duì)比分析了2種模型的差異性，突出了本文所提簡(jiǎn)化模型的優(yōu)越性。最后通過系統(tǒng)分岔圖、折疊圖和相軌跡圖對(duì)穩(wěn)定性分析結(jié)論進(jìn)行了數(shù)值仿真，以驗(yàn)證基于系數(shù)線性化離散模型的有效性，為復(fù)雜系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供有效參考。

1 逆變器離散模型的建立

典型的H橋逆變器工作原理如圖1所示，由電壓源E、開關(guān)管VT1—VT4、LC濾波器以及電阻負(fù)載R組成。在控制部分，把逆變器輸出電流與參考電流iref進(jìn)行比較，將誤差信號(hào)送至比例調(diào)節(jié)器，再通過三角波調(diào)制后送至PWM驅(qū)動(dòng)電路產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)信號(hào)以控制各個(gè)開關(guān)管的工作狀態(tài)。

圖1 逆變器原理圖Fig.1 Schematic diagram of inverter

在逆變器工作的一個(gè)開關(guān)周期T內(nèi)，系統(tǒng)存在2種工作狀態(tài)：狀態(tài)1為VT1和VT3導(dǎo)通，VT2和VT4關(guān)斷；狀態(tài) 2 為 VT2和 VT4導(dǎo)通，VT1和 VT3關(guān)斷。式（1）、（2）分別為對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程。

其中，狀態(tài)變量為電感電流iL和電容電壓UC。設(shè)]，則系統(tǒng)狀態(tài)方程可表示為：

根據(jù)頻閃映射建模方法的主要思想：以時(shí)鐘周期為頻閃采樣間隔，將第（n+1）個(gè)開關(guān)時(shí)刻的狀態(tài)變量值表示成第n個(gè)開關(guān)時(shí)刻的值。由式（3）可知H橋逆變器在頻閃映射下的主電路離散模型為：

其中，p1=eAT；p2=eA（1-dn）T（eAdnT-I）A-1B1+[eA（1-dn）T-I]A-1B2，dn表示第n個(gè)開關(guān)周期內(nèi)的占空比，其值由控制部分決定，具體可表示為：

其中，D 為常數(shù)，k 為比例調(diào)節(jié)系數(shù)，σ=[1 0]，irefn表示參考電流在第n個(gè)開關(guān)點(diǎn)的值。式（4）、（5）即為通過傳統(tǒng)建模方法得到的整個(gè)系統(tǒng)的離散模型。

觀察上述離散模型可知，p1、p2中都含有矩陣指數(shù)函數(shù)eAt。與一階系統(tǒng)不同，此時(shí)的矩陣A為二階矩陣，在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析和數(shù)值仿真驗(yàn)證時(shí)需要進(jìn)行矩陣指數(shù)函數(shù)運(yùn)算，其運(yùn)算過程顯然較一階系統(tǒng)復(fù)雜，且進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真時(shí)占用內(nèi)存空間大，運(yùn)算速度也受到限制，尤其是在大型復(fù)雜的系統(tǒng)中隨著矩陣A階數(shù)的增加，上述離散模型的弊端尤顯突出。

鑒于此，本文提出了一種基于系數(shù)線性化的離散模型，將上述矩陣指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化成線性運(yùn)算，在不失精度的前提下，簡(jiǎn)化計(jì)算過程，提高其運(yùn)算速度。具體實(shí)現(xiàn)方法如下。

根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)展開式

將指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為線性運(yùn)算，則有：

可以推出，主電路的系數(shù)線性化離散模型為：

其中，p′1=I+A T，p′2=B1dnT+A1B1dn（1-dn）T2+ （1-dn）T B2。

可見，式（8）、（5）構(gòu)成了系統(tǒng)的系數(shù)線性化離散模型。對(duì)比式（4）可知，系統(tǒng)離散模型的系數(shù)已經(jīng)不存在矩陣指數(shù)函數(shù)，取而代之的是簡(jiǎn)單的矩陣運(yùn)算，因此大幅簡(jiǎn)化了后續(xù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析以及數(shù)值仿真驗(yàn)證的工作量。

2 逆變器的穩(wěn)定性分析

根據(jù)上述所得的離散模型，本節(jié)利用Jacobian矩陣法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，以期得到系統(tǒng)的運(yùn)行穩(wěn)定域，并就上述2種離散模型的差異性進(jìn)行對(duì)比分析，以體現(xiàn)本文所提簡(jiǎn)化模型的優(yōu)越性。

Jacobian矩陣穩(wěn)定性分析是研究系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定域的常用方法，對(duì)于離散系統(tǒng) Xn+1=f（Xn，dn），其 Ja-cobian矩陣可以表示為：

其中，XQ、DQ表示系統(tǒng)的單周期穩(wěn)態(tài)解，其值可以通過數(shù)值迭代的方法利用 XQ=f（XQ，DQ）求得。

根據(jù)系統(tǒng)離散模型和式（9），可以推出系統(tǒng)的Jacobian矩陣表達(dá)式。傳統(tǒng)離散模型的Jacobian矩陣為：

系數(shù)線性化離散模型對(duì)應(yīng)的Jacobian矩陣可表示為：

本文選擇比例調(diào)節(jié)系數(shù)k為分岔參數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，其他系統(tǒng)參數(shù)選擇如下：E=350 V，R=10 Ω，L=8 mH，C=20 μF，T=50 μs，D=0.4，irefn=5 sin（2πfsnT）（其中 fs=50 Hz，為參考電流頻率；n 為以開關(guān)頻率對(duì)參考電流進(jìn)行采樣時(shí)的開關(guān)周期數(shù)）。利用MATLAB編程可以得到隨著分岔參數(shù)k的變化，系統(tǒng)Jacobian矩陣最大模特征值的變化曲線，如圖2所示。

圖2 k參數(shù)穩(wěn)定性分析圖Fig.2 Chart of stability analysis for k parameter

由圖2可知，在k從0.1變化到1的過程中，系統(tǒng)Jacobian矩陣的最大模特征值由小于1逐漸變化到大于1，可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分界點(diǎn)出現(xiàn)在k=0.46處。同時(shí)，2種方法所得到的系統(tǒng)穩(wěn)定性變化曲線高度一致，但在仿真步長(zhǎng)等其他條件不變的情況下，其數(shù)值仿真完成時(shí)間如表1所示。可以發(fā)現(xiàn)采用系數(shù)線性化離散模型的計(jì)算速度比傳統(tǒng)模型快，耗時(shí)短，可見對(duì)傳統(tǒng)離散模型的系數(shù)進(jìn)行線性化后，降低了穩(wěn)定性分析運(yùn)算量，實(shí)用性更強(qiáng)。

表1 仿真時(shí)間對(duì)比Tab.1 Comparison of simulation time

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提的系數(shù)線性化離散模型的優(yōu)越性，本文還分別選擇了系統(tǒng)輸入端的電壓E、輸出端的濾波電感L以及控制端比例調(diào)節(jié)系數(shù)k作為分岔參數(shù)，研究了雙分岔參數(shù)下系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定參數(shù)域分布，其他參數(shù)設(shè)置同上，則所得結(jié)果見圖3。

圖3 雙參數(shù)穩(wěn)定性分析圖Fig.3 Chart of stability analysis for double parameters

圖3各圖顯示了隨著系統(tǒng)雙參數(shù)的同時(shí)變化，系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定參數(shù)域的變化情況?？梢钥闯觯鶕?jù)2種模型所得的系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定域劃分吻合得很好。當(dāng)輸入電壓E和比例調(diào)節(jié)系數(shù)k增大時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定域逐漸減?。欢?dāng)濾波電感L增大時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)行穩(wěn)定域亦逐漸增大。由于需控制2個(gè)參數(shù)的變化，其穩(wěn)定性分析過程的運(yùn)算量大幅增加。在仿真過程中，如表1所示，可以明顯地發(fā)現(xiàn)本文所提簡(jiǎn)化模型的運(yùn)算速度遠(yuǎn)快于傳統(tǒng)模型。顯然，系數(shù)線性化離散模型的正確性和實(shí)用性得到了很好的驗(yàn)證。

3 數(shù)值仿真驗(yàn)證

上述穩(wěn)定性分析結(jié)論得到了系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定參數(shù)域，因此有必要對(duì)上述理論分析的結(jié)論進(jìn)行仿真驗(yàn)證。為更形象地描述系統(tǒng)狀態(tài)隨著分岔參數(shù)的變化而變化的情況，本節(jié)選擇與第2節(jié)相同的系統(tǒng)參數(shù)，首先利用分岔圖法對(duì)系統(tǒng)從穩(wěn)定到混沌狀態(tài)的演化過程作進(jìn)一步的分析，再通過折疊圖法和相軌跡圖法對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定參數(shù)域進(jìn)行驗(yàn)證。

3.1 系統(tǒng)分岔圖分析

分岔圖是分析動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中出現(xiàn)的復(fù)雜行為的有效工具，該方法能形象地反映出隨著分岔參數(shù)的變化，系統(tǒng)由穩(wěn)定到分岔再進(jìn)入混沌狀態(tài)的具體演化過程。就本文系統(tǒng)而言，其具體實(shí)現(xiàn)方式如下：在不同分岔參數(shù)值下，根據(jù)系統(tǒng)離散模型進(jìn)行迭代運(yùn)算，對(duì)迭代穩(wěn)定后的電感電流正弦波每個(gè)周期固定時(shí)刻的值（如正弦波的90°處）進(jìn)行采樣，并保留采樣點(diǎn)，采樣30個(gè)正弦周期后繪成以分岔參數(shù)為橫坐標(biāo)、電感電流采樣值為縱坐標(biāo)的分岔圖。根據(jù)本文所提的系數(shù)線性化模型，利用MATLAB編程得到了系統(tǒng)關(guān)于比例調(diào)節(jié)系數(shù)k的分岔圖，如圖4所示。

從上述分岔圖中可以看出，系統(tǒng)的穩(wěn)定域分界點(diǎn)在k=0.46處，與前述Jacobian穩(wěn)定性分析的結(jié)論一致。隨著k的繼續(xù)增大，系統(tǒng)進(jìn)入了分岔狀態(tài)，當(dāng)k＞0.55時(shí)，圖中顯示電感電流采樣點(diǎn)在一定區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)了密集且具有相似的層次結(jié)構(gòu)，表示系統(tǒng)已經(jīng)處于混沌狀態(tài)。

圖4 系統(tǒng)分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of system

3.2 系統(tǒng)穩(wěn)定域驗(yàn)證

選取任意初值代入系統(tǒng)的離散方程進(jìn)行迭代，略去過渡過程，將穩(wěn)定后狀態(tài)變量的數(shù)個(gè)周期按采樣時(shí)刻對(duì)齊后折疊，得到一個(gè)周期的波形，即為系統(tǒng)的折疊圖，它能形象地反映出系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)。當(dāng)所得折疊圖都重合于1條單值曲線時(shí)，系統(tǒng)處于單周期穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)折疊圖重合于2條曲線時(shí)，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)處于二周期分岔狀態(tài)；當(dāng)折疊圖出現(xiàn)雜亂的不重合的曲線時(shí)，系統(tǒng)已經(jīng)進(jìn)入了混沌狀態(tài)。

相軌跡圖反映的是系統(tǒng)解曲線在相空間上的投影。如果所得相軌跡圖是一條封閉的曲線，則系統(tǒng)工作在單周期穩(wěn)定狀態(tài)；如果相軌跡圖出現(xiàn)m條封閉曲線，此時(shí)系統(tǒng)工作在m周期狀態(tài)；若相軌跡圖中有無(wú)數(shù)條封閉的曲線，即無(wú)數(shù)混亂的曲線，則系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

利用MATLAB根據(jù)系統(tǒng)折疊圖以及相軌跡圖的實(shí)現(xiàn)方法，選擇不同系統(tǒng)工作狀態(tài)下的分岔參數(shù)值，畫出系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的折疊圖和相軌跡圖，如圖5所示，其中n0表示一個(gè)正弦周期內(nèi)的開關(guān)周期數(shù)。

從圖5各子圖中可以看出，當(dāng)k=0.4時(shí)，所得折疊圖重合于一條單值曲線，相軌跡圖也是一條封閉的曲線，此時(shí)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)k=0.48時(shí)，折疊圖出現(xiàn)了2條曲線，且相軌跡圖也出現(xiàn)了2條封閉的曲線，可見此時(shí)系統(tǒng)處于二周期分岔狀態(tài)；當(dāng)k=0.9時(shí)，所得的電感電流波形折疊后不重合，而是出現(xiàn)了雜亂的正弦波形，其相軌跡圖也出現(xiàn)了大量不規(guī)則點(diǎn)，因此可斷定此時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)進(jìn)入了混沌狀態(tài)。

圖5 數(shù)值仿真圖Fig.5 Diagrams of numerical simulation

綜上所述，數(shù)值仿真結(jié)果很好地驗(yàn)證了穩(wěn)定性分析的正確性，也驗(yàn)證了本文提出的基于系數(shù)線性化離散模型的有效性。

4 結(jié)論

本文對(duì)二階逆變器中的分岔與混沌現(xiàn)象進(jìn)行了深入研究，對(duì)傳統(tǒng)一階系統(tǒng)的離散建模方法作了改進(jìn)，提出了一種基于系數(shù)線性化的離散建模方法。將傳統(tǒng)模型中的矩陣指數(shù)函數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基本的矩陣運(yùn)算。通過2種離散模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，研究結(jié)論表明，本文所提的基于系數(shù)線性化離散模型的建模方法在保證精度的同時(shí)大幅降低了系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的復(fù)雜程度，提高了運(yùn)算速度，證明了其有效性和實(shí)用性，這種優(yōu)越性在高階更大型復(fù)雜的系統(tǒng)中尤為明顯。

本文的研究結(jié)論為實(shí)際電力電子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了重要參考和借鑒，對(duì)實(shí)際工程中更復(fù)雜系統(tǒng)的簡(jiǎn)化運(yùn)算分析具有重要的意義。