新課程背景下學(xué)生矢量觀的有效建構(gòu)

趙順?lè)?/p>

摘要：本文針對(duì)高中學(xué)生在矢量學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題，探討了在新課程學(xué)習(xí)中如何有效構(gòu)建學(xué)生科學(xué)矢量觀的問(wèn)題，并嘗試進(jìn)行了分層遞進(jìn)的系統(tǒng)性教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)中與矢量相關(guān)的疑難問(wèn)題進(jìn)行了分析和歸納，最后對(duì)教科書(shū)如何進(jìn)一步加強(qiáng)矢量教學(xué)提出了編寫(xiě)建議。

關(guān)鍵詞：矢量；矢量教學(xué)；科學(xué)矢量觀；建構(gòu)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-6148(2009)6(S)-0027-5

1 問(wèn)題提出

從初中進(jìn)入高中，學(xué)生在物理學(xué)習(xí)中面臨著許多思維方式的轉(zhuǎn)變，其中物理量的矢量性和物理規(guī)律的矢量性是學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用物理知識(shí)解決問(wèn)題中較難掌握的重要轉(zhuǎn)變之一。因此，在高中物理教學(xué)中“矢量”的教學(xué)成了眾多物理教師公認(rèn)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

教學(xué)調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，高中物理的“矢量概念”、“矢量運(yùn)算法則”及“矢量方程的運(yùn)用”都成了部分學(xué)生在高中物理學(xué)習(xí)中的障礙。這些障礙體現(xiàn)在：對(duì)矢量的方向及矢量正負(fù)意義的理解模糊；對(duì)矢量變化量的方向理解錯(cuò)誤和矢量合成、分解法則的運(yùn)用不靈活；對(duì)矢量方程的應(yīng)用不規(guī)范及將矢量方程運(yùn)算與標(biāo)量方程運(yùn)算相混淆等。

2 以物理概念和物理規(guī)律的學(xué)習(xí)為載體，構(gòu)建學(xué)生科學(xué)的矢量觀

2.1 在“位移”的教學(xué)中，引入矢量的初步概念和一維矢量的圖解運(yùn)算

在“位移”一節(jié)中，新課標(biāo)教科書(shū)（人教版）通過(guò)從初位置到末位置的有向線段來(lái)表示物體(質(zhì)點(diǎn))的位置變化即位移，從而引出“像位移這樣既有大小又有方向的物理量叫做矢量”，得出了矢量的初步概念。

教科書(shū)指出矢量相加與標(biāo)量相加遵從不同的法則，但此處并沒(méi)有明確告知，而是通過(guò)“思考與討論”欄目中一位同學(xué)在操場(chǎng)上先向北走、再向東走的實(shí)例讓學(xué)生總結(jié)出矢量相加的法則。這對(duì)剛接觸到矢量又沒(méi)有數(shù)學(xué)向量基礎(chǔ)的學(xué)生來(lái)說(shuō)是有較大難度的。接著，教科書(shū)介紹了直線運(yùn)動(dòng)的位置和位移，指出直線運(yùn)動(dòng)物體在數(shù)軸上的末位置坐標(biāo)x₂與初位置坐標(biāo)x₁之差，即坐標(biāo)的變化量(x=x₂-x₁)就表示物體的位移。教材對(duì)直線運(yùn)動(dòng)位移的介紹過(guò)于簡(jiǎn)單，也沒(méi)有涉及到直線上矢量的運(yùn)算，不利于學(xué)生深入理解矢量及一維矢量的運(yùn)算知識(shí)。

在本節(jié)“位移”的教學(xué)中，學(xué)生除了要了解矢量的初步概念外，還應(yīng)該通過(guò)直線運(yùn)動(dòng)的位置和位移的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生了解一維矢量的運(yùn)算知識(shí)，但不要求學(xué)生知道矢量相加的一般法則。這樣的設(shè)計(jì)既考慮到了學(xué)生已有的知識(shí)水平，也符合學(xué)生對(duì)矢量知識(shí)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知過(guò)程，更為后面速度和加速度等概念的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)如下：

(1)直線上兩個(gè)矢量的相加方法：如圖1甲所示，兩個(gè)矢量x₁和x₂分別代表沿直線前進(jìn)的兩段位移(AB和BC)，則從A指向C的有向線段x(圖1甲中虛線)就表示這兩個(gè)位移的矢量和，稱(chēng)為合位移。

可見(jiàn)，兩個(gè)矢量相加時(shí)，將它們的頭尾連接起來(lái)，合矢量總是從第一個(gè)矢量的起點(diǎn)指向第二個(gè)矢量的終點(diǎn)。當(dāng)兩矢量方向相反時(shí)，其合成規(guī)律相同(圖1乙所示)。

(2)一維坐標(biāo)系中的位置表示法：在日常用語(yǔ)中，位置是指一個(gè)地方；但在物理學(xué)中，位置x可認(rèn)為是一個(gè)矢量，它的尾端在坐標(biāo)系的原點(diǎn)，它的箭頭端就是物體所處的這個(gè)地方。圖2甲所示的是A位置矢量，它反應(yīng)了物體離開(kāi)坐標(biāo)原點(diǎn)的距離和方向，它的方向一般都包含在位置坐標(biāo)的正負(fù)號(hào)里。

(3)一維坐標(biāo)系中的位移表示法：物體在坐標(biāo)軸上的末位置坐標(biāo)x₂與初位置坐標(biāo)x₁之差表示的是物體的位移，即位移等于末位置矢量減去初位置矢量(Δx=x₂-x₁)，如圖2乙所示。

(4)直線上兩個(gè)矢量的相減方法：從上面位移表示法中可以看出，兩個(gè)矢量相減時(shí)，需要將兩個(gè)矢量畫(huà)在同一起點(diǎn)上，矢量差就是從減矢量(x₁)的終點(diǎn)指向被減矢量(x₂)終點(diǎn)的有向線段。

上述矢量相減的方法由于從位移表示法中獲得，學(xué)生易于接受，從中獲得的矢量圖解方法也為后面其它矢量變化圖示方法的得出做了重要的方法鋪墊。

2.2 在“加速度”和“勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律”的教學(xué)中，強(qiáng)化一維矢量變化量及矢量正負(fù)的理解

新課標(biāo)教科書(shū)在研究“描述物體運(yùn)動(dòng)速度變化快慢”的特征時(shí)，在引入了加速度概念和得出其定義式之后，接著用速度變化矢量圖討論了加速度方向與速度方向的關(guān)系。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，由于該矢量圖對(duì)矢量知識(shí)的要求較高，前面又沒(méi)有矢量方法的鋪墊，認(rèn)知上跨越較大，學(xué)生理解起來(lái)較為困難。

在有了上述的位移教學(xué)中矢量圖解方法的滲透之后，我們對(duì)加速度的矢量觀教學(xué)可以進(jìn)行如下的教學(xué)設(shè)計(jì)：

(1)作出運(yùn)動(dòng)圖，描述質(zhì)點(diǎn)在相等的時(shí)間間隔里運(yùn)動(dòng)間距的變化，并作出速度矢量，顯示其速度的變化情況，如圖3甲所示。

(2)取兩個(gè)相鄰的速度矢量，按上述位置矢量相減求位移的方法，類(lèi)比得出速度矢量差的圖示方法，即可得到該時(shí)間間隔內(nèi)的速度變化量。如圖3乙所示，在圖中標(biāo)出了加速度矢量，加速度的方向即速度變化量的方向。

(3)圖3和圖4顯示的是物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)可能出現(xiàn)的四種不同情況，分析比較這四種情況后得出：速度矢量和加速度矢量方向相同時(shí)，物體處于加速狀態(tài)，速率增大，反之物體處于減速狀態(tài)，速率減少；當(dāng)物體加速度指向正方向時(shí)，物體有正加速度，反之有負(fù)加速度，但加速度的符號(hào)并不能說(shuō)明物體的速度是增大還是減少。

以上教學(xué)設(shè)計(jì)中用運(yùn)動(dòng)圖的方法直觀顯示了加速度矢量，又統(tǒng)一和加深了學(xué)生對(duì)矢量相減圖解方法的理解。由于有了前面矢量方法的鋪墊，教學(xué)實(shí)踐表明學(xué)生更容易接受。

在勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)勻變速運(yùn)動(dòng)公式中矢量的正負(fù)號(hào)運(yùn)算極易出錯(cuò)。教學(xué)中要經(jīng)常提醒學(xué)生，當(dāng)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的復(fù)雜性增加時(shí)，千萬(wàn)要記住建立坐標(biāo)系并規(guī)定正方向，保持所有符號(hào)的一致性。不管是位移、速度還是加速度，只要與所選擇的正方向相同，它們都是正的，反之就應(yīng)該用負(fù)號(hào)標(biāo)記。而且在整個(gè)解答過(guò)程中，都應(yīng)與約定保持一致，以避免將符號(hào)搞混。

2.3 在“力的合成與分解”教學(xué)中，引入二維矢量的運(yùn)算法則，建立更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氖噶慷x

在“力的合成”教學(xué)中，新教科書(shū)指出了合力產(chǎn)生的效果與分力的共同效果相同，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究得出了二力合成的平行四邊形定則。在教學(xué)中還應(yīng)該讓學(xué)生明確以下內(nèi)容：

(1)合力即幾個(gè)分力矢量的合矢量，力的合成即求幾個(gè)已知力矢量的合矢量。

(2)力的合成不但遵循平行四邊形定則，其實(shí)前面學(xué)過(guò)的矢量加法，對(duì)于不在同一直線上的矢量也是適用的。如圖5所示的兩個(gè)矢量，平行地移動(dòng)其中一個(gè)力矢量，使兩個(gè)力矢量的首尾相接，合力就是由第一個(gè)矢量起點(diǎn)指向第二個(gè)矢量終點(diǎn)的矢量。其實(shí)這種把兩個(gè)矢量首尾相接從而求出合矢量的方法，叫做三角形定則，它與平行四邊形定則的實(shí)質(zhì)是一樣的。

(3)在學(xué)習(xí)了矢量的一般運(yùn)算法則后，可以給矢量下一個(gè)更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x——既有大小又有方向，相加時(shí)遵從平行四邊形定則(或三角形定則)的物理量叫做矢量。

(4)力的分解是合成的逆運(yùn)算，矢量的分解就是求分矢量。力的分解可以根據(jù)力的作用效果進(jìn)行分解，但常用的方法是正交分解法：先建立坐標(biāo)系，根據(jù)問(wèn)題求解的方便選擇x軸和y軸的方向；再將力分別沿平行于x軸和y軸分解為兩個(gè)分量。

力的合成和分解的教學(xué)不但要從等效替代的物理思維角度來(lái)理解其物理意義，也要從矢量相加和矢量分解的數(shù)學(xué)向量運(yùn)算角度來(lái)理解其數(shù)學(xué)處理方法，這樣不但能培養(yǎng)學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的理解能力，還能訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法處理物理問(wèn)題的能力。

2.4 在“牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用”中，強(qiáng)化二維矢量的運(yùn)算

在“牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用”教學(xué)中，求物體的合力往往是解題的關(guān)鍵。這里涉及矢量的相加，通過(guò)選擇坐標(biāo)系，將矢量分解為它們的x分量和y分量，再分別在x軸和y軸方向上相加或相減分矢量，將求合力轉(zhuǎn)化為矢量的代數(shù)加法運(yùn)算，分別求出x軸和y軸上合矢量的大小和方向，從而將牛頓第二定律分別應(yīng)用于x方向和y方向。

當(dāng)物體在多個(gè)共點(diǎn)力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，合力為零，即力的矢量之和為零。如圖6甲所示，一個(gè)物體在三個(gè)力作用下處于平衡狀態(tài)，分別平行移動(dòng)矢量使它們首尾相接，可以看到這三個(gè)矢量組成了一個(gè)封閉的三角形(如圖6乙)，即它們的和為零。從圖中還可以看出，這三個(gè)力中的任意兩個(gè)力的合力與余下的那個(gè)力大小相等、方向相反。

2.5 在“曲線運(yùn)動(dòng)”的教學(xué)中，活化矢量的運(yùn)用

在平拋運(yùn)動(dòng)的教學(xué)中，通過(guò)建立坐標(biāo)系，將平面上的拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題分解為兩個(gè)相互聯(lián)系的直線上的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，在兩個(gè)方向上分別應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)的規(guī)律，再根據(jù)要求進(jìn)行矢量的合成求解。如圖7顯示了小球在水平方向和豎直方向的速度分量，以及兩個(gè)分速度合成后拋體的總速度矢量?？梢钥闯?，小球在水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的勻加速運(yùn)動(dòng)的合成形成了拋體運(yùn)動(dòng)的拋物線軌跡。小球平拋運(yùn)動(dòng)的速度變化矢量圖如圖8所示，可見(jiàn)其速度增量即小球在豎直方向的速度分量。

物體在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體相對(duì)于圓心的位置矢量r的方向不斷變化，在如圖9甲所示的矢量圖中，R₁與R₂相減得到的合矢量就是這段時(shí)間間隔內(nèi)的位移。運(yùn)動(dòng)物體的平均速度為ΔrΔt，當(dāng)時(shí)間間隔Δt趨于零時(shí)，物體的平均速度就是物體的線速度v=ΔrΔt，速度矢量與位置矢量互成直角。圖9乙顯示了物體在某一時(shí)間間隔前后的速度矢量v1和v2，同理可得兩個(gè)矢量之差為Δv(如圖9丙所示)。物體的加速度a=ΔvΔt，從圖示中可見(jiàn)其方向指向圓心，稱(chēng)為向心加速度。比較發(fā)現(xiàn)，上述圖中的位置矢量三角形和速度矢量三角形是相似三角形(夾角相等)，進(jìn)而可推導(dǎo)出向心加速度的大小計(jì)算公式。

2.6 在“動(dòng)量守恒定律”和“動(dòng)量定理”的教學(xué)中，深化矢量式的應(yīng)用

新教科書(shū)將動(dòng)量守恒定律和動(dòng)量定理后移，放在選修3-5中學(xué)習(xí)，這降低了學(xué)生學(xué)習(xí)矢量方程的難度，同時(shí)也鞏固和深化了前面所學(xué)的矢量知識(shí)。動(dòng)量的變化量是某一極短過(guò)程的末動(dòng)量與初動(dòng)量的矢量之差，是矢量。在處理一維問(wèn)題時(shí)，動(dòng)量的變化量可以用兩種方法得到：一是建立坐標(biāo)系選取正方向，用正、負(fù)號(hào)表示動(dòng)量和動(dòng)量變化的方向；二是作矢量圖求解，從初動(dòng)量終點(diǎn)指向末動(dòng)量終點(diǎn)的有向線段就是動(dòng)量的變化量。

動(dòng)量守恒定律的表達(dá)式和動(dòng)量定理的表達(dá)式實(shí)際上都是矢量式。用來(lái)處理一維問(wèn)題時(shí)，要建立坐標(biāo)系選定一個(gè)正方向，化一維矢量運(yùn)算為代數(shù)運(yùn)算。動(dòng)量守恒定律公式中的運(yùn)算符號(hào)均為加號(hào)，但速度本身的值卻可正、可負(fù)，選定一方向?yàn)檎较?，相反的速度則為負(fù)值。

3 通過(guò)對(duì)與矢量相關(guān)問(wèn)題的分析，建構(gòu)學(xué)生科學(xué)的矢量觀

3.1 關(guān)于標(biāo)量的說(shuō)明

只有大小、沒(méi)有方向，求和時(shí)按照算術(shù)法則相加的物理量叫做標(biāo)量。它可分為兩種：大小總為正值的標(biāo)量，又稱(chēng)為算術(shù)量(如：時(shí)間、質(zhì)量、長(zhǎng)度等)；帶有正負(fù)號(hào)的標(biāo)量，又稱(chēng)為雙向標(biāo)量(如：功、電勢(shì)、溫度，電荷量等)，它是基于該物理量具有兩種相反的可能規(guī)定的，通常以正負(fù)號(hào)的形式來(lái)表示。

在物理學(xué)習(xí)中學(xué)生容易將某些雙向標(biāo)量與矢量相混淆，我們可根據(jù)雙向標(biāo)量中正負(fù)號(hào)的來(lái)歷，將其分為以下三種:

(1)基于該物理量的物理意義規(guī)定的相對(duì)性而得出的雙向標(biāo)量，如：溫度、電量、電勢(shì)等。這種標(biāo)量在運(yùn)算時(shí)一般須帶正負(fù)號(hào)。

(2)基于某一公式得出的雙向標(biāo)量，如：功(W＝Flcosα)、熱量(Q=cmΔT)、瞬時(shí)電流(i=i璵sinωt)等。這些量的正負(fù)號(hào)在運(yùn)算時(shí)一定不能丟掉，否則會(huì)得出截然相反的結(jié)論。

(3)基于運(yùn)算的方便，臨時(shí)規(guī)定某一量為雙向標(biāo)量。如：磁通量，討論穿過(guò)某一面積的磁通量或磁通量的變化時(shí)，須規(guī)定某一側(cè)穿入該面的方向?yàn)檎较?，則從另一側(cè)穿入該面的磁通量就為負(fù)值。

3.2 關(guān)于“+”、“-”號(hào)的物理意義

數(shù)學(xué)中表示大于零、小于零的“+”、“-”號(hào)，在物理學(xué)中往往賦予了許多新的意義，許多學(xué)生對(duì)物理中的正負(fù)號(hào)都存在模糊認(rèn)識(shí)。通過(guò)上述對(duì)矢量和標(biāo)量的分析，我們不妨將其分為幾類(lèi)：

(1)研究矢量在同一直線上的加減運(yùn)算，規(guī)定某一方向?yàn)檎较蚝?，通過(guò)在物理量前加上“+”、“-”號(hào)從而將矢量轉(zhuǎn)化為代數(shù)量運(yùn)算，“+”、“-”號(hào)僅表示該矢量的方向。

(2)由雙向標(biāo)量帶來(lái)的正負(fù)號(hào)，其正負(fù)代表兩種相反的物理意義。有時(shí)代表兩個(gè)相反的方向，如：電流強(qiáng)度和磁通量等物理量的正負(fù)表示兩個(gè)相反的方向；有時(shí)表示物理量相對(duì)的大小，如重力勢(shì)能、電勢(shì)等物理量的正負(fù)，其正值總比負(fù)值大。

(3)表示物理量的增加還是減少，如：動(dòng)能增量ΔE璳(ΔE璳=E﹌2-E﹌1)，正值表示該物理量在增加，負(fù)值表示該物理量在減少。

(4)公式中帶有的加減號(hào)，與某一物理量無(wú)關(guān)，如：ΔE璳=E﹌2-E﹌1中的減號(hào)。

4 對(duì)有效建構(gòu)學(xué)生科學(xué)矢量觀的教科書(shū)的編寫(xiě)建議

針對(duì)新課程教科書(shū)，為突破學(xué)生學(xué)習(xí)矢量的思維障礙，我們提出了一些編寫(xiě)建議，僅供參考。

（1）加強(qiáng)對(duì)矢量表示符號(hào)的標(biāo)記，給予學(xué)生強(qiáng)烈的識(shí)記情景。例如：可以對(duì)教科書(shū)中出現(xiàn)的矢量用黑體表示，使學(xué)生在應(yīng)用物理規(guī)律時(shí)能及時(shí)注意到矢量和標(biāo)量的區(qū)別，對(duì)矢量運(yùn)算和矢量方程能做到眼到、手到、心到，這一做法也與數(shù)學(xué)教科書(shū)中向量的表示法相統(tǒng)一。

（2）教科書(shū)在編寫(xiě)“位移”一節(jié)內(nèi)容時(shí)，可以將坐標(biāo)系中物體的位置看作是一個(gè)從坐標(biāo)原點(diǎn)指向物體的矢量(與大學(xué)中普通物理相統(tǒng)一)。這樣處理后，物體的位移就是位置矢量的變化，從中得出矢量變化量的圖解，這為學(xué)習(xí)速度變化、動(dòng)量變化等知識(shí)起到很好的鋪墊。

（3）在物理學(xué)習(xí)中解決涉及矢量的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握水平往往制約其物理解題能力的提高，所以可以在教科書(shū)適當(dāng)?shù)牡胤綕B透相關(guān)的數(shù)學(xué)矢量運(yùn)算知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)。雖然有些知識(shí)在數(shù)學(xué)中已經(jīng)學(xué)過(guò)，但在物理教科書(shū)中插入相應(yīng)的數(shù)學(xué)與物理學(xué)的鏈接知識(shí)，并有針對(duì)性地呈現(xiàn)在教科書(shū)正文的周邊，將更有助于提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力。例如：在《力的合成》一節(jié)中，可以插入勾股定律、余弦定律和正弦定律等數(shù)學(xué)知識(shí)，為求合力做好數(shù)學(xué)知識(shí)的鋪墊；在《力的分解》一節(jié)中，可以插入三角函數(shù)的定義知識(shí)，為力的分解做好數(shù)學(xué)知識(shí)的鏈接。

（4）可以在教科書(shū)附錄或其它欄目中較為簡(jiǎn)單地介紹矢量和標(biāo)量運(yùn)算，包括正負(fù)號(hào)的意義。這些內(nèi)容即便是結(jié)論性的，也會(huì)給予學(xué)生較為系統(tǒng)的指導(dǎo)，使其對(duì)教科書(shū)中出現(xiàn)的正負(fù)號(hào)有一個(gè)總體了解，這樣學(xué)生在解題過(guò)程中就會(huì)有的放矢，少出差錯(cuò)，一遇到正負(fù)號(hào)就不再胡亂解題。

（5）教科書(shū)對(duì)涉及矢量問(wèn)題或例題的分析求解中，多做一些用矢量圖示分析的示范，促使學(xué)生學(xué)會(huì)用矢量圖輔助直觀理解問(wèn)題、分析問(wèn)題、分析物理過(guò)程和發(fā)現(xiàn)物理規(guī)律，養(yǎng)成作矢量圖示分析的習(xí)慣。如：解運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題時(shí)作運(yùn)動(dòng)量的矢量圖示；解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)作運(yùn)動(dòng)量圖示和受力分析圖示；運(yùn)用動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律解題時(shí)作初、末動(dòng)量及動(dòng)量變化圖示等，提高學(xué)生用矢量分析解決物理問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

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(欄目編輯鄧 磊)