數(shù)形結(jié)合思想與解題教學(xué)研究

黃　珊

做任何事情都要講究方法。中學(xué)數(shù)學(xué)中掌握更多科學(xué)方法，是教師鉆研教材的鑰匙，具有積極的指導(dǎo)意義。數(shù)與形結(jié)合的思想，有助于學(xué)生思維的開拓、創(chuàng)新，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，使問題的解決具有獨(dú)特策略，把復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，達(dá)到化難為易的目的。

解題是實(shí)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一種手段，是教學(xué)活動(dòng)的重要形式。解題教學(xué)是教師對(duì)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行獨(dú)立思考活動(dòng)的指導(dǎo)過程，也是使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)基本技能，提高數(shù)學(xué)能力和發(fā)展智力的必要途徑。通過解題，我們還可以培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義世界觀，以及刻苦鉆研精神和獨(dú)立工作能力等優(yōu)良品質(zhì)。

數(shù)學(xué)在其漫長的發(fā)展過程中，不僅建立了嚴(yán)密的知識(shí)體系，而且形成了一套行之有效的方法。一般認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法的概括，是貫穿于該類數(shù)學(xué)方法中的基本精神、思維策略和調(diào)節(jié)原則。它制約著數(shù)學(xué)活動(dòng)中主觀意識(shí)的指向，對(duì)方法的取舍具有規(guī)范和調(diào)節(jié)作用。形和數(shù)這兩個(gè)概念，是數(shù)學(xué)的兩塊基石。數(shù)學(xué)大體上都是圍繞這兩個(gè)概念的提煉、演變、發(fā)展而展開的。在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，形與數(shù)常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下互相轉(zhuǎn)化。

早在數(shù)學(xué)的萌芽時(shí)期，人們?cè)诙攘块L度、面積和體積的過程中，就把數(shù)和形聯(lián)系起來了。我國宋元時(shí)期，系統(tǒng)引進(jìn)了幾何問題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，圓形中的幾何關(guān)系表達(dá)成代數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系。17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾，通過建立坐標(biāo)系，建立了形與數(shù)之間聯(lián)系，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。后來，幾何學(xué)中許多長期沒有解決的問題，如盡規(guī)作圓三大不能問題，最終也都借助代數(shù)方法得到解決。形與數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，也使許多代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析課具有鮮明的直觀性，而且往往由于借用了幾何術(shù)語或運(yùn)用了幾何的類比從而開拓了新的發(fā)展方向。例如，線性代數(shù)正是借用了幾何空間、線性等概念與類比方法，把自己充實(shí)起來，從而獲得迅猛的發(fā)展。形與數(shù)的結(jié)合正是在上述背景下逐步形成的。它在數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要意義，正如在《數(shù)學(xué)發(fā)展史》中法國數(shù)學(xué)家拉格朗日所指出：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的發(fā)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但是兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶的，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善?！币虼耍诮虒W(xué)中我們必須重視形與數(shù)相結(jié)合思路的應(yīng)用。

在現(xiàn)實(shí)世界中，形與數(shù)不可分離地結(jié)合在一起。這是直觀與抽象相結(jié)合、感知與思維相結(jié)合的體現(xiàn)。形與數(shù)相結(jié)合不僅是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，而且是加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、發(fā)展智力、培養(yǎng)能力的需要。從表面上看，中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容可分為形與數(shù)兩大部分，中學(xué)代數(shù)是研究數(shù)和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，中學(xué)幾何是研究形和空間形式的學(xué)科，中學(xué)解析幾何是數(shù)與形結(jié)合的內(nèi)容。從以下幾例便能說明其數(shù)形結(jié)合妙之所在。

1.研究數(shù)與數(shù)軸相結(jié)合。在中學(xué)所學(xué)的實(shí)數(shù)中，把每一個(gè)數(shù)與相應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，把這些點(diǎn)按順序構(gòu)成一條直線。又由數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)反映了二者之間的“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系，能直觀地通過數(shù)軸反映數(shù)之?dāng)?shù)之間的連續(xù)性、稠密性，使得中學(xué)數(shù)學(xué)更加具體、生動(dòng)。

2.當(dāng)在平面上建立了坐標(biāo)系后，平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，任何一條直線都可以寫成關(guān)于X、Y的二次方程，任何X、Y的二元一次方程都表示一條直線。這樣我們就可以利用直線的方程討論兩直線的位置關(guān)系、兩條直線所成的角、點(diǎn)到直線的距離，這種通過方程研究圖形性質(zhì)的方法提示了“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系。首先根據(jù)圖形特點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（所謂適當(dāng)，就是保證題目的解證過程中運(yùn)算簡便，過程簡單，結(jié)果明確）；其次根據(jù)已知條件，標(biāo)出已知點(diǎn)坐標(biāo)，給出已知直線或曲線的方程，然后由題設(shè)或圖形的幾何性質(zhì)，已知的點(diǎn)或曲線方程，推導(dǎo)出要求或要證結(jié)果。由上題可看出，用這樣的方法解證題目，思維流暢，方法靈活，幾何問題完全通過代數(shù)方法得到解決。

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”?！皵?shù)形結(jié)合”仿佛神來之筆，為問題的解決提供了探索途徑，其獨(dú)到的思維風(fēng)格給人以享受，并且?guī)Ыo人以成功的巨大喜悅。

3.研究函數(shù)與其圖像相結(jié)合。函數(shù)是數(shù)學(xué)的概念之一。函數(shù)是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的、抽象的概念，函數(shù)作為兩個(gè)集之間的特殊關(guān)系貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)課程。函數(shù)作為運(yùn)算出現(xiàn)，例如兩個(gè)數(shù)的和與這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)；在初中代數(shù)中，函數(shù)表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系：在幾何中函數(shù)表示下一個(gè)點(diǎn)集到它的象集的變換（平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等）。如研究二次函數(shù)y=（x+a）2+b，根據(jù)作圖法畫函數(shù)的圖像，是一個(gè)由數(shù)到形的變化。對(duì)學(xué)生來說，圖像性質(zhì)是最難掌握的，尤其二次函數(shù)的圖像的變化，需要高度的數(shù)形結(jié)合的思路，包括“看圖算數(shù)”與“以數(shù)想圖”兩方面。前面作圖時(shí)已有了數(shù)到形的變化。如果改變圖形的形狀、大小、位置后，函數(shù)式中的系數(shù)又隨之怎樣變化呢？

通過圖形，我們就可以總結(jié)出有關(guān)結(jié)論。這又是形到數(shù)的變化，再如指數(shù)函數(shù)的有關(guān)教學(xué)通過圖解，充分說明了這又是一個(gè)數(shù)形結(jié)合思路貫穿于始終。有關(guān)數(shù)形結(jié)合的思路在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中隨處可見：代數(shù)方程可表示各種關(guān)系，它可解決有關(guān)長度、面積等問題；一元一次方程、二元一次方程分別表示平面直線、二次曲線等。

在數(shù)學(xué)解題時(shí)，我們要注意把形和數(shù)結(jié)合起來考察，根據(jù)問題的具體情況，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案。以形數(shù)相結(jié)合的思路進(jìn)行教學(xué)，這就要求我們切實(shí)掌握形數(shù)相結(jié)合的觀點(diǎn)，鉆研教材，理解數(shù)學(xué)中的有關(guān)概念、公式與法則，掌握數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析問題和解決的方法，從而提高運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和解題能力。