電磁導(dǎo)軌問題解題規(guī)律

宋連義

電磁導(dǎo)軌問題是高考命題的熱點(diǎn)問題，在2008年的高考試卷中，寧夏理綜卷16題、廣東物理卷18題、山東理綜卷22題、全國(guó)Ⅱ理綜卷24題、上海物理卷24題、江蘇物理卷15題均與此有關(guān)，這些考題以計(jì)算題居多，分值較高，考查內(nèi)容涉及力學(xué)、功能關(guān)系、電磁學(xué)等一系列基本概念、基本規(guī)律和科學(xué)思維方法。分清不同性質(zhì)的導(dǎo)軌，熟悉各種導(dǎo)軌中導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)、能量轉(zhuǎn)化特點(diǎn)和極值規(guī)律，對(duì)于領(lǐng)會(huì)基本概念，掌握基本規(guī)律，提高科學(xué)思維和綜合分析能力，順利解決高考中的壓軸題具有重要的意義。

一、發(fā)電式導(dǎo)軌的基本特點(diǎn)和規(guī)律

如圖1所示，間距為l的平行導(dǎo)軌與電阻R相連，整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體從靜止開始沿導(dǎo)軌滑下，已知導(dǎo)體與導(dǎo)軌的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。

圖1

圖2

1. 電路特點(diǎn)：導(dǎo)體為發(fā)電邊，與電源等效。當(dāng)導(dǎo)體的速度為v時(shí)，其中的電動(dòng)勢(shì)為E=Blv。

2. 安培力的特點(diǎn)：安培力為運(yùn)動(dòng)阻力，并隨速度按正比規(guī)律增大。

F=BIl=Bl=∝v

3. 加速度特點(diǎn)：加速度隨速度增大而減小，導(dǎo)體做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)。

a=

4. 兩個(gè)極值的規(guī)律

當(dāng)v=0時(shí)，F(xiàn)B=0，加速度最大為am=g（sinθ－μcosθ）

當(dāng)a=0時(shí)，∑F=0，速度最大。根據(jù)平衡條件有

mgsinθ=μmgcosθ+

所以，最大速度為

v=

5. 勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)能量轉(zhuǎn)化規(guī)律

當(dāng)導(dǎo)體以最大速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力的機(jī)械功率等于安培力功率（即電功率）和摩擦力功率之和，并均達(dá)到最大值。

P=P+PP=mgvsinθP=Fv=IE==I（R+r）P=μmgvcosθ

當(dāng)μ=0時(shí)，重力的機(jī)械功率就等于安培力功率，也等于電功率，這是發(fā)電導(dǎo)軌在勻速運(yùn)動(dòng)過程中，最基本的能量轉(zhuǎn)化和守恒規(guī)律。

mgvsinθ=Fv=IE==I（R+r）

【例1】 （2008?上海）如圖3所示，豎直平面內(nèi)有一半徑為r、內(nèi)阻為R1、粗細(xì)均勻的光滑半圓形金屬環(huán)，在M、N處與相距為2r、電阻不計(jì)的平行光滑金屬軌道ME、NF相接，EF之間接有電阻R2，已知R1＝12R，R2＝4R。在MN上方及CD下方有水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)I和II，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。現(xiàn)有質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的導(dǎo)體棒ab，從半圓環(huán)的最高點(diǎn)A處由靜止下落，在下落過程中導(dǎo)體棒始終保持水平，與半圓形金屬環(huán)及軌道接觸良好，平行軌道足夠長(zhǎng)。已知導(dǎo)體棒ab下落r/2時(shí)的速度大小為v1，下落到MN處的速度大小為v2。

（1）求導(dǎo)體棒ab從A下落r/2時(shí)的加速度大小。

（2）若導(dǎo)體棒ab進(jìn)入磁場(chǎng)II后棒中電流大小始終不變，求磁場(chǎng)I和II之間的距離h和R2上的電功率P2。

（3）若將磁場(chǎng)II的CD邊界略微下移，導(dǎo)體棒ab剛進(jìn)入磁場(chǎng)II時(shí)速度大小為v3，要使其在外力F作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a，求所加外力F隨時(shí)間變化的關(guān)系式。

圖3

【解析】 （1）以導(dǎo)體棒為研究對(duì)象，棒在磁場(chǎng)I中切割磁感線，棒中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，導(dǎo)體棒ab從A下落r/2時(shí)，導(dǎo)體棒在重力與安培力作用下做加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，得mg－BIl＝ma，式中l(wèi)＝r

I=

R＝＝4R

由以上各式可得到a=g－

（2）當(dāng)導(dǎo)體棒ab通過磁場(chǎng)II時(shí)，若安培力恰好等于重力，棒中電流大小始終不變，即

mg=BI×2r=B××2r=

式中R′＝＝3R，解得v==

導(dǎo)體棒從MN到CD做加速度為g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有

v－v=2gh得h=－

此時(shí)導(dǎo)體棒重力的功率為P=mgv=

根據(jù)能量守恒定律，此時(shí)導(dǎo)體棒重力的功率全部轉(zhuǎn)化為電路中的電功率，即

P=P1+P2=PG＝，所以P2=P＝

（3）設(shè)導(dǎo)體棒ab進(jìn)入磁場(chǎng)II后經(jīng)過時(shí)間t的速度大小為v，此時(shí)安培力大小為F′=，由于導(dǎo)體棒ab做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有v=v3+at

根據(jù)牛頓第二定律，有

F＋mg－F′＝ma

即F+mg－=ma

由以上各式解得

F=t++ma－mg

點(diǎn)評(píng) 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是高中物理知識(shí)最重要的一個(gè)窗口，通過這個(gè)窗口可以與很多知識(shí)綜合在一起。導(dǎo)體切割磁感線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為E=Blv，如果產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與電容器、電阻連接，那么我們?cè)诮獯饡r(shí)就可把感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)當(dāng)作直流電源，聯(lián)系有關(guān)電容器中的電場(chǎng)問題，聯(lián)系閉合電路歐姆定律進(jìn)行分析與求解。

二、電動(dòng)式導(dǎo)軌的基本特點(diǎn)和規(guī)律

如圖4所示，間距為l的平行導(dǎo)軌水平放置，與電動(dòng)勢(shì)為E、內(nèi)阻為r的電源連接，處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。當(dāng)電路閉合時(shí)，質(zhì)量為m、電阻為R的導(dǎo)體從靜止開始沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，與導(dǎo)軌的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。

圖4

1. 電路特點(diǎn)：導(dǎo)體為電動(dòng)邊，與反電動(dòng)勢(shì)用電器（電動(dòng)機(jī)）等效。

2. 安培力的特點(diǎn)：安培力為運(yùn)動(dòng)動(dòng)力，并隨速度增大而減小。

F=BIl=Bl=Bl

3. 加速度特點(diǎn)：加速度隨速度增大而減小，導(dǎo)體做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)。

a=

4. 兩個(gè)極值的規(guī)律：當(dāng)v＝0時(shí)，E=0，電流、安培力和加速度最大且分別為

I=，F(xiàn)=BIl，a=

這就是大型電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)時(shí)，為了防止電流過大而燒壞繞組線圈時(shí)串聯(lián)啟動(dòng)電阻的原因。

當(dāng)∑F=0時(shí)，速度最大，電流最小，安培力最小。

I=，F(xiàn)=BIl

根據(jù)平衡條件有

μmg=F=BIl=Bl

所以，最大速度為

v=－

當(dāng)μ＝0時(shí)，v=，即E=Blv=E，這時(shí)電路中電流為零。

5. 勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的能量轉(zhuǎn)化規(guī)律

當(dāng)導(dǎo)體以最大速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，電源功率等于導(dǎo)體的機(jī)械功率（即安培力功率）、焦耳熱功率和摩擦力功率之和。

IE=IE+I（R+r）+μmgv

當(dāng)μ＝0時(shí)，電源功率等于導(dǎo)體的機(jī)械功率和焦耳熱功率之和，這是電動(dòng)式導(dǎo)軌在勻速運(yùn)動(dòng)過程中最基本的能量轉(zhuǎn)化和守恒規(guī)律。

IE=IE+I（R+r）

式中導(dǎo)體的機(jī)械功率等于反電動(dòng)勢(shì)功率，即安培力功率，也可以定量地證明如下

P=IE=IBlv=Fv。

【例2】 （2008?江蘇）如圖5所示，間距為l的兩條足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ，導(dǎo)軌光滑且電阻忽略不計(jì)。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面垂直，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d1，間距為d2。兩根質(zhì)量均為m、有效電阻均為R的導(dǎo)體棒a和b放在導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直。（設(shè)重力加速度為g）

圖5

（1）若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b以與a同樣的速度進(jìn)入第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域，求b穿過第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過程中增加的動(dòng)能ΔE。

（2）若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b恰好離開第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域；此后a離開第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b又恰好進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域。且a、b在任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域或無磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相等。求b穿過第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過程中，兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q。

（3）對(duì)于第（2）問所述的運(yùn)動(dòng)情況，求a穿出第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v。

【解析】 （1）a和b不受安培力作用，由機(jī)械能守恒知 ΔE=mgd1sinθ ①

（2）設(shè)導(dǎo)體棒剛進(jìn)入無磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度為v1，剛離開無磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度為v2，由能量守恒知：在磁場(chǎng)區(qū)域中，mv+Q=mv+mgd1sinθ②

在無磁場(chǎng)區(qū)域中 mv=mv+mgd2sinθ③

解得 Q=mgd1+d2sinθ④

（3）在無磁場(chǎng)區(qū)域，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有 v2-v1=gtsinθ ⑤

且平均速度= ⑥

有磁場(chǎng)區(qū)域，棒a受到合力

F=mgsinθ-BIl⑦

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Blv⑧

感應(yīng)電流I=⑨

解得F=mgsinθ-v ⑩

根據(jù)牛頓第二定律，在t到t+Δt時(shí)間內(nèi)∑Δv=∑Δt?輥?輯?訛

則有∑Δv=∑gsinθ-Δt ?輥?輰?訛

解得v1-v2=gsinθ-d1?輥?輱?訛

聯(lián)立⑤⑥?輥?輱?訛解得

v1=sinθ-

由題意知

v=v1=sinθ-。

點(diǎn)評(píng) 解決感應(yīng)電路綜合問題的一般思路是“先電后力”，即：

先作“源”的分析——分離出電路中由電磁感應(yīng)所產(chǎn)生的電源，求出電源參數(shù)E和r；

再進(jìn)行“路”的分析——分析電路結(jié)構(gòu)，弄清串并聯(lián)關(guān)系，求出相關(guān)部分的電流大小，以便安培力的求解；

然后是“力”的分析——分析力學(xué)研究對(duì)象（常是金屬桿、導(dǎo)體線圈等）的受力情況，尤其注意其所受的安培力；

接著進(jìn)行“運(yùn)動(dòng)”狀態(tài)分析——根據(jù)力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，判斷出正確的運(yùn)動(dòng)模型；

最后是“能量”分析——尋找電磁感應(yīng)過程和力學(xué)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程中其能量轉(zhuǎn)化和守恒的關(guān)系。