善用兩多，妙解平衡

韓　連　牛正軍

同學(xué)們選擇什么樣的方法、通過(guò)什么樣的途徑獲取知識(shí)，直接關(guān)系到其收獲的大小。一題多解與一題多變的學(xué)習(xí)方法可能對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所啟發(fā)，一題多解可以拓寬學(xué)習(xí)思路，實(shí)現(xiàn)巧解；一題多變可以加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的進(jìn)一步理解，實(shí)現(xiàn)巧學(xué)。通過(guò)多解、多變，同學(xué)們既能跳出題海，又能提高分析、解決問(wèn)題的能力。

【例1】 如圖1所示，OA、OB兩繩所能承受的最大拉力分別是35 N、20 N，它們的上端固定在天花板上，若在它們的下端O掛接一物體，為不使繩子斷裂，則該物體的質(zhì)量最大不能超過(guò)多少？（取g=10 m/s2）

圖1

◎ 解法一：力的合成法

圖2

【分析】 物體的受力如圖2所示，由物體的平衡條件可知，F(xiàn)A與FB的合力與mg等大反向。因此，以FA、FB為鄰邊，mg的反向延長(zhǎng)線為對(duì)角線作平行四邊形，由平行四邊形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)短可看出繩OB受的力大，且能承受的最大拉力比繩OA小，先斷的是繩OB。要使繩不斷，應(yīng)以繩OB承受的最大拉力20 N為已知條件，列物體的平衡方程，求出m的極值。

FB sin30°=FA sin60°

FB cos30°+FA cos60°=mg

聯(lián)立解得

m= kg

◎ 解法二：力的分解法

圖3

【分析】 重力mg產(chǎn)生了兩個(gè)效果，一個(gè)是拉OA的力FA，一個(gè)是拉OB的力FB，以此為鄰邊，mg為對(duì)角線作平行四邊形，如圖3所示，由平行四邊形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)短可看出繩OB受的力大，且其能承受的最大拉力比繩OA小，先斷的是繩OB。要使繩不斷，應(yīng)以繩OB承受的最大拉力20 N為已知條件，列物體的平衡方程，求出m的極值。

mg cos30°=FB

解得m= kg

◎ 解法三：正交分解法

圖4

以物體為研究對(duì)象，受力如圖4所示，由物體的平衡條件列方程

FB sin30°=FA sin60°

FB cos30°+FA cos60°=mg

令FA =35 N可求得m1=7 kg

令FB =20 N可求得m2= kg

因?yàn)閙1＞m2，所以為不使繩子斷裂，最大只能掛質(zhì)量為 kg的物體。

◎ 解法四：矢量三角形法

當(dāng)繩的下端O掛接物體的質(zhì)量不斷增大時(shí)，OA、OB兩繩所受的拉力同時(shí)增大，為了判斷哪根繩先斷，可選物體為研究對(duì)象，其受力如圖4所示，假設(shè)兩繩都不斷，則由物體平衡條件可畫(huà)出由三力組成的矢量三角形，如圖5所示，由圖求得

圖5

FA=mg sin30°，令FA=35 N可求得m1=7 kg

FB=mg cos30°，令FB=20 N可求得m2= kg

因?yàn)閙1＞m2，所以為不使繩子斷裂，最大只能掛質(zhì)量為kg的物體。

點(diǎn)評(píng) 解法1、2利用力的合成與分解的方法進(jìn)行列式求解，但關(guān)鍵是要從平行四邊形中分析判斷出在質(zhì)量不斷增大時(shí)哪根繩先斷，只要判斷出哪根繩先斷，就用此繩所能承受的最大拉力為條件代入方程求解。解法3、4根據(jù)力的示意圖列出方程后，分別以FA=35 N、FB=20 N為已知條件求得m1、m2。比較m1、m2得出結(jié)論。

【跟蹤訓(xùn)練】

1. 如圖6所示，兩根長(zhǎng)度相等的輕繩，下端懸掛一質(zhì)量為m的物體，上端分別固定在水平天花板上的M、N點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)間的距離為S，已知兩繩所能承受的最大拉力均為F，則每根繩的長(zhǎng)度不得短于多少？

圖6

【例2】 如圖7所示，將一條輕而柔軟的細(xì)繩一端拴在天花板上的A點(diǎn)，另一端拴在豎直墻上的B點(diǎn)，A 和B到O點(diǎn)的距離相等，繩長(zhǎng)是OA的2倍。一質(zhì)量可忽略的小動(dòng)滑輪K下面懸掛一質(zhì)量為m的物體，不計(jì)摩擦?，F(xiàn)將動(dòng)滑輪和物體一起掛到細(xì)繩上，達(dá)到平衡時(shí)，細(xì)繩受的拉力多大？

圖7

【分析】 因掛鉤光滑，所以繩AK、BK的張力必相等，這是求解此題的關(guān)鍵，利用幾何關(guān)系求出角α是求解此題的難點(diǎn)。

◎ 解法一：相似三角形法

物體的受力圖如圖8所示，由幾何關(guān)系知△AKE∽△KBD

圖8

設(shè)KB為X，KD為Y，由幾何相似三角形知：

=

即=

解得=2

sinα==，得α=30°

由物體的平衡條件知

2F cos30°=mg

解得F=mg

◎ 解法二：矢量三角形法

由物體平衡條件可畫(huà)出由三力組成的矢量三角形，如圖9所示，又由圖8所示幾何關(guān)系知，KB與KC以水平線KD對(duì)稱。

圖9

則KB=KC

故幾何三角形與力的矢量三角形相似

由幾何三角形與力的矢量三角形相似的關(guān)系得

==

解得F= mg

◎ 解法三：對(duì)稱法

如圖8所示，由幾何關(guān)系知KB與KC以水平線KD對(duì)稱

則KB=KC

sinα==，得α=30°

由物體的平衡條件知

2F cos30°=mg

解得F= mg

點(diǎn)評(píng)應(yīng)用對(duì)稱性求解時(shí)，不僅考慮力的對(duì)稱性，也要考慮其他方面的對(duì)稱性。【例1】中的解法與【例2】中的解法都采用力的矢量三角形的思路配合不同的求解過(guò)程，但繁雜差異卻很大，由此可看出，不同的背景材料和已知條件，采用同一方法，解題的過(guò)程卻出現(xiàn)很大的差異。思路是關(guān)鍵，方法是基礎(chǔ)，堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是解決物理問(wèn)題的保證。在解題分析過(guò)程中要考慮解題的方法，更重要的是理清解決問(wèn)題的思路，才能使得解題過(guò)程簡(jiǎn)單、快捷。物理問(wèn)題的研究，如同打一場(chǎng)戰(zhàn)斗，可“正面進(jìn)攻”，也可以采用“迂回”、“包抄”等策略，通過(guò)靈活、精巧的方法提高分析、解決問(wèn)題的能力。

【跟蹤訓(xùn)練】

2. 如圖10所示，長(zhǎng)為5 m的細(xì)繩的兩端分別系于豎立在地面上相距4 m的兩桿頂端A、B。繩上掛一個(gè)光滑的輕質(zhì)掛鉤，其下連著一個(gè)重為12 N的物體，平衡時(shí)，繩中的張力是多少？

圖10

【例3】 質(zhì)量為m的物體放在摩擦因數(shù)為μ的水平地面上，在力F的作用下處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。若力F的方向水平向右，求物體所受力F的大小。

解：物體的受力如圖11所示，由物體的平衡條件列方程

圖11

FN=mg①

f=μFN ②

F=f ③

聯(lián)立解得：F=μmg

【變題1】 例3中的其他條件不變，F(xiàn)與水平方向的夾角為α，求物體所受力F的大??？

【分析】 力F的方向可能斜向上，也可能斜向下，因此要分別求解。

解：斜向上時(shí)，物體的受力如圖12所示，由物體的平衡條件列方程

圖12

FN+Fsinα=mg ①

Fcosα=fμ②

f=μFN ③

聯(lián)立解得F=

斜向下時(shí)，物體的受力如圖13所示，由物體的平衡條件列方程

圖13

FN=mg+Fsinα①

Fcosα=f ②

f=μFN③

聯(lián)立解得F=

【變題2】 例3中的其他條件不變，F(xiàn)斜向下與水平方向的夾角為α，當(dāng)α為何值時(shí)，不論F有多大都不能推動(dòng)物體，這種現(xiàn)象稱物體的自鎖。

解：物體的受力圖如圖13所示，由物體的平衡條件列方程

FN=mg+Fsinα①

Fcosα≤μFN②

聯(lián)立解得

cosα-μsinα≤③

當(dāng)F→∞時(shí)

cosα-μsinα≤0

tanα≥

即α≥arctan時(shí)，不論力有多大都不能推動(dòng)物體。

【跟蹤訓(xùn)練】

3. 變題2中的其他條件不變，當(dāng)α為何值時(shí)F最?。?/p>

4. 如圖14所示， 質(zhì)量為m的木塊靠在豎直的墻壁上，木塊與墻壁的最大靜摩擦因數(shù)為μ，有人用斜向上與墻壁夾角為α的力F推木塊，但木塊處于靜止?fàn)顟B(tài)，求推力的大小。

圖14

5. 4題中的其他條件不變，但木塊處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，求推力的大小。

6. 4題中的其他條件不變，當(dāng)α為何值時(shí)，物體處于自鎖狀態(tài)。

【例4】 如圖15所示，質(zhì)量都是m的A、B、C三個(gè)木塊疊放在一起放在水平地板上，它們之間及與地板間的摩擦因數(shù)均為μ，用大小為F的力拉物體A，使A勻速運(yùn)動(dòng)（B、C運(yùn)動(dòng)情況不明），求摩擦系數(shù)μ的大小。

圖15

解：A、B、C的運(yùn)動(dòng)情況可能有三種：

①只有A運(yùn)動(dòng)，B、C靜止，物體A為隔離體，A物體的受力如圖16所示，由物體的平衡條件可得

F=fBA=μ mg

得μ=

圖16

②只有A、B運(yùn)動(dòng)，C靜止，物體A、B為隔離體，A、B物體的受力如圖17所示，由物體的平衡條件可得

F=fCB=2μmg

得μ=

圖17

③A、B、C一起運(yùn)動(dòng)，A、B、C整體為研究對(duì)象，受力如圖18所示，由物體的平衡條件可得

F=F地C=3μmg

得μ=

圖18

點(diǎn)評(píng)在B、C運(yùn)動(dòng)情況不明時(shí)，要進(jìn)行分析討論，應(yīng)考慮到B、C可能的運(yùn)動(dòng)情況，思維不能局限在只有A勻速運(yùn)動(dòng)。

【變題】 例4中的其他條件不變，用大小為F的力拉物體勻速運(yùn)動(dòng)（不明確F作用在哪個(gè)物體上），求摩擦因數(shù)μ的大小。

【分析】 1. 若力F作用在物體A上，情況完全與例4相同。

2. 若力F作用在物體B上，那可能是A、B一起運(yùn)動(dòng)，C靜止，或是A、B、C一起運(yùn)動(dòng)，情況完全與例4中的②③相同。

3. 若力F作用在物體C上，那只能是A、B、C一起運(yùn)動(dòng)，情況完全與例4中的③相同。

點(diǎn)評(píng) 力F作用在哪個(gè)物體上，哪個(gè)物體在勻速運(yùn)動(dòng)，題目所給條件含糊不清，似乎有問(wèn)題。但細(xì)心的同學(xué)可能會(huì)看出出題者有意識(shí)地在考查、培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力與綜合分析問(wèn)題的能力。

【跟蹤訓(xùn)練】

7. 例4中的其他條件不變，若AB、BC、C地間的摩擦因數(shù)分別為μ1、μ2、μ3，力F作用在物體B上，使B勻速運(yùn)動(dòng)，試求力F的大小。

8. 例4中的其他條件不變，若AB、BC、C地間的摩擦因數(shù)分別為μ1、μ2、μ3，且μ1＞μ2＞μ3，力F作用在物體B上，恰使A、B一起勻速運(yùn)動(dòng)，在力F不變的情況下，要使A、B、C一起勻速運(yùn)動(dòng)，求μ3應(yīng)滿足的條件。

點(diǎn)評(píng) 前面幾個(gè)題目中的背景材料同學(xué)們比較熟悉，有似曾相識(shí)的感覺(jué)，但通過(guò)舊題新編，改變問(wèn)法，立刻給舊題賦予新意，有老樹(shù)發(fā)新芽的感受?！耙活}多變”將命題通過(guò)一定程序由淺入深，不斷加深與擴(kuò)充，不但可以升華所學(xué)知識(shí)，還可以開(kāi)闊思路，實(shí)現(xiàn)思維的再發(fā)散，從而提高解決問(wèn)題的能力。