數(shù)學(xué)技巧在物理競(jìng)賽中的靈活運(yùn)用

井　淼

一、利用“微元”使規(guī)律從不能用變?yōu)槟苡?/p>

微元法是分析、解決物理問(wèn)題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過(guò)程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地解決，使所求的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在使用微元法處理問(wèn)題時(shí)，需將其分解為眾多微小的“元過(guò)程”，而且每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律是相同的。這樣，我們只需分析這些“元過(guò)程”，然后再將“元過(guò)程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想的處理，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決。

例1 粗細(xì)均勻質(zhì)量分布也均勻的，半徑分別為R和r的兩圓環(huán)相切。若在切點(diǎn)放一質(zhì)點(diǎn)m，恰使兩邊圓環(huán)對(duì)m的萬(wàn)有引力的合力為零，則大小圓環(huán)的線密度必須滿(mǎn)足什么條件？

解析 若要直接求整個(gè)圓對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬(wàn)有引力比較難，若用到圓的對(duì)稱(chēng)性及要求所受合力為零的條件，考慮大、小圓環(huán)上關(guān)于切點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的微元與質(zhì)量m的相互作用，然后推及整個(gè)圓環(huán)即可求解。

如圖1所示，過(guò)切點(diǎn)作直線交大小圓分別于P、Q兩點(diǎn)，并設(shè)與水平線夾角為α，當(dāng)α有微小增量時(shí)，大小圓環(huán)上就有對(duì)應(yīng)微小的線元。

ΔL1=R?2Δα，ΔL2=r?2Δα

其對(duì)應(yīng)的質(zhì)量分別為Δm=ρΔl=ρR?2Δα

Δm=ρΔL=ρr?2Δα，由于Δα很小，

故Δm、Δm與m的距離可以認(rèn)為分別是

r=2Rcosα，r=2rcosα

所以Δm、Δm與m的萬(wàn)有引力分別為

ΔF==，ΔF==

由于α具有任意性，若ΔF與ΔF的合力為零，則兩圓環(huán)對(duì)m的引力的合力也為零， 即 =

解得大小圓環(huán)的線密度之比為：=

二、實(shí)施近似處理，解決物理規(guī)律不明顯的問(wèn)題

在觀察物理現(xiàn)象、進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)、建立物理模型、推導(dǎo)物理規(guī)律和求解物理問(wèn)題時(shí)，為了認(rèn)識(shí)所研究問(wèn)題的本質(zhì)屬性，往往突出問(wèn)題的主要方面，忽略某些次要方面，進(jìn)行近似處理。這種采用近似處理的手段簡(jiǎn)化求解過(guò)程的方法叫近似法。

例2 在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細(xì)管軌道ABC，光滑小球從頂點(diǎn)A處沿斜邊軌道自靜止出發(fā)自由地滑到端點(diǎn)C處所需時(shí)間，恰好等于小球從頂點(diǎn)A處自靜止出發(fā)自由地經(jīng)兩直角邊軌道滑到端點(diǎn)C處所需的時(shí)間。這里假設(shè)鉛垂軌道AB與水平軌道BC的交接處B有極小的圓弧，可確保小球無(wú)碰撞地拐彎，且拐彎時(shí)間可忽略不計(jì)。

在此直角三角形范圍內(nèi)可構(gòu)建一系列如圖2中虛線所示的光滑軌道，每一軌道是由若干鉛垂線軌道與水平軌道交接而成，交接處都有極小圓?。ㄗ饔猛希壍谰鶑腁點(diǎn)出發(fā)到C點(diǎn)終止，且不越出該直角三角形的邊界，試求小球在各條軌道中，由靜止出發(fā)自由地從A點(diǎn)滑行到C點(diǎn)所經(jīng)時(shí)間的上限與下限之比值。

解析 直角三角形AB、BC、CA三邊的長(zhǎng)分別記為l、l、l，如圖3所示，小球從A到B的時(shí)間記為T(mén)，再?gòu)腂到C的時(shí)間為T(mén)，而從A直接沿斜邊到C所經(jīng)歷的時(shí)間記為T(mén)，由題意知T+T=T，可得l∶l∶l=3∶4∶5。

由此能得T與T的關(guān)系

因?yàn)閘=gT21，l2=gTT

所以=

因?yàn)閘∶l=3∶4，所以T=T

小球在圖4中每一虛線所示的軌道中，經(jīng)各垂直線段所需時(shí)間之和為t=T，經(jīng)各水平段所需時(shí)間之和記為t，則從A到C所經(jīng)時(shí)間總和為t=T+t，最短的t對(duì)應(yīng)t的下限tmin，最長(zhǎng)的t對(duì)應(yīng)t的上限tmax。

小球在各水平段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分別為勻速運(yùn)動(dòng)，同一水平段路程放在低處運(yùn)動(dòng)速度大，所需時(shí)間短，因此，所有水平段均處在最低位置（即與BC重合）時(shí)t最短，其值即為T(mén)，故tmin=T+T=T。

t的上限顯然對(duì)應(yīng)各水平段處在各自可達(dá)到的最高位置，實(shí)現(xiàn)它的方案是垂直段每下降Δl，便接一段水平距離Δl，這兩段之間恒有Δl=Δlcotα，角α即為∠ACB，水平段到達(dá)斜邊邊界后，再下降并接一段水平距離，如此繼續(xù)下去，構(gòu)成如圖４所示的微齒形軌道，由于Δl、Δl均為小量，小球在其中的運(yùn)動(dòng)可處理為勻速運(yùn)動(dòng)，分別經(jīng)歷的時(shí)間小量Δt（i）與Δt（i）之間有如下關(guān)聯(lián)： ==cotα

于是作為Δt（i）之和的t上限與作為Δt（i）之和的T之比也為cotα。故t的上限必為T(mén)cotα，即得：tmax=T+Tcotα=T。

這樣tmax:tmin=7:5。

三、利用遞推關(guān)系，巧求多物體多作用問(wèn)題

當(dāng)問(wèn)題中涉及相互聯(lián)系的物體較多并且有規(guī)律時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想將所研究的問(wèn)題歸類(lèi)，然后求出通式。具體方法是先分析某一次作用的情況，得出結(jié)論，再根據(jù)多次作用的重復(fù)性和它們的共同點(diǎn)，把結(jié)論推廣，然后結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解，解題的關(guān)鍵是導(dǎo)出聯(lián)系相鄰兩次作用的遞推關(guān)系式。

例3 有許多質(zhì)量為m的木塊相互靠著沿一直線排列于光滑的水平面上。每相鄰的兩個(gè)木塊均用長(zhǎng)為L(zhǎng)的柔繩連接著?，F(xiàn)用大小為F的恒力沿排列方向拉第一個(gè)木塊，以后各木塊依次被牽而運(yùn)動(dòng)，求第n個(gè)木塊被牽動(dòng)時(shí)的速度。

解析 每一個(gè)木塊被拉動(dòng)起來(lái)后，就和前面的木塊成為一體，共同做勻加速運(yùn)動(dòng)一段距離L后，把繩拉緊，再牽動(dòng)下一個(gè)木塊。在繩子繃緊時(shí)，有部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。因此，如果列出（n－1）FL=nmv2n這樣的關(guān)系式是錯(cuò)誤的。

設(shè)第（n－1）個(gè)木塊剛被拉動(dòng)時(shí)的速度為vn－1，它即將拉動(dòng)下一個(gè)木塊時(shí)速度增至v′n－1，

第n個(gè)木塊剛被拉動(dòng)時(shí)速度為vn。對(duì)第（n－1）個(gè)木塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到它把下一段繩子即將拉緊這一過(guò)程，由動(dòng)能定理有：

FL=（n－1）mv′2n-1－（n－1）mv2n-1 ①

對(duì)繩子把第n個(gè)木塊拉動(dòng)這一短暫過(guò)程，由動(dòng)量守恒定律，有

（n－1）mv′n-1=nmvn得：v′n－1=vn ②

把②式代入①式得：FL=（n－1）mvn2－（n－1）mv2n-1

整理后得：（n－1）=n2v2n－（n－1）2v2n-1③

③式就是反映相鄰兩木塊被拉動(dòng)時(shí)速度關(guān)系的遞推式，由③式可知

當(dāng)n=2時(shí)有：=22v22－v21

當(dāng)n=3時(shí)有：2?=32v23－22v22

當(dāng)n=4時(shí)有：3?=42v24－32v23 …

一般地有（n－1）=n2v2n－（n－1）2v2n-1

將以上（n－1）個(gè)等式相加，得：（1+2+3+…+n－1） =n2v2n－v21

所以有?=n2v2n－v21

在本題中v=0，所以vn=

四、非對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題可看成若干個(gè)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的疊加

應(yīng)用對(duì)稱(chēng)性不僅能幫助我們認(rèn)識(shí)和探索物質(zhì)世界的某些基本規(guī)律，而且也能幫助我們?nèi)デ蠼饽承┚唧w的物理問(wèn)題。如果是非對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題，我們可以把它巧妙地轉(zhuǎn)化成對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題，直接抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，出奇制勝。

例4 如圖5所示，在一實(shí)心大球體內(nèi)挖去一個(gè)較小的球形孔，余下部分均勻帶電，體電荷密度為ρ，試證明小球形孔內(nèi)為勻強(qiáng)場(chǎng)區(qū)。

解析 挖去小球形孔的實(shí)心球體可視為電荷體密度分別為ρ和-ρ的兩個(gè)帶電球的復(fù)合體。于是帶電系統(tǒng)為帶電ρ的大球與帶電-ρ的小球的組合。利用均勻帶電球的場(chǎng)強(qiáng)分布，結(jié)合場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，即可計(jì)算小球孔內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)。

根據(jù)高斯定理，在電荷體密度均勻分布的帶電球的場(chǎng)強(qiáng)為：

E=r≤R r>R

為證明小球孔內(nèi)任一點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)均勻，可先計(jì)算小球球心O′點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，再證明小球孔內(nèi)任一點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)與O′點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)相等即可。

如圖5所示，根據(jù)高斯定理，O′點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為EO′=a

式中a是O到O′的矢量。小球孔-ρ在O′點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為0。

在孔內(nèi)任取另一點(diǎn)P，則帶電ρ的大球和帶電-ρ的小球在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)EP1與EP2之和即為P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，即

EP=EP1+EP2=r+r′=（r－r′）=a=EO′

式中r和r′如圖6所示。

因任一點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)與小球O′點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)相同，故小球孔內(nèi)為勻強(qiáng)場(chǎng)區(qū)。

五、巧用數(shù)學(xué)求導(dǎo)，求物理極值問(wèn)題

如果當(dāng)Δx→0時(shí)， f（x）有極限，我們把這個(gè)極限叫做 f（x）在該點(diǎn)（x=x）的導(dǎo)數(shù)。它正是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率tanα。如果 f′（x）=0，則在x處函數(shù)有極值。

例5 如圖7所示，相距2L的A、B兩點(diǎn)固定著兩個(gè)正點(diǎn)電荷，帶電量均為Q，在它們的中垂線上的C點(diǎn)，由靜止釋放一電量為q，質(zhì)量為m的正檢驗(yàn)電荷（不計(jì)重力）。試求檢驗(yàn)電荷運(yùn)動(dòng)到何處加速度最大，最大加速度為多少？

解析 由于對(duì)稱(chēng)性，在AB的中點(diǎn)受力為零，在AB中垂線上的其它點(diǎn)所受合力均是沿中垂線方向的。當(dāng)q運(yùn)動(dòng)到中垂線上的D點(diǎn)時(shí)，由圖可知

F=2Fsinθ=2sinθ

故其加速度為：

a===（sinθ－sin3θ）

顯然加速度是一個(gè)關(guān)于θ的函數(shù)，令 f（θ）=sinθ－sin3θ

則 f（θ）的導(dǎo)數(shù)為 f′（θ）=cosθ－3sin2θcosθ

令 f'（θ）=0，即cosθ－3sin2θcosθ=0

解得：sinθ=，（θ=900有極值，不合題意）

即θ=arcsin時(shí) f（θ）有極大值為－3 =

所以當(dāng)θ=arcsin時(shí)，加速度有最大值為：

六、引入?yún)?shù)方程，簡(jiǎn)解未知量多于方程數(shù)的問(wèn)題

參數(shù)方程中的參數(shù)常具有一定的物理意義，參數(shù)方程的引入，可以使對(duì)曲線的認(rèn)識(shí)不只是在孤立的、靜止的層面，而是提高到在相互聯(lián)系的層面，不僅可以深化對(duì)物理問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，而且可以?xún)?yōu)化未知量多于方程數(shù)的問(wèn)題的求解方法。

例6 1 ｍｏｌ理想氣體緩慢的經(jīng)歷了一個(gè)循環(huán)過(guò)程，在ｐ－Ｖ圖中這一過(guò)程是一個(gè)橢圓，如圖8所示。已知此氣體若處在與橢圓中心Ｏ′點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)時(shí)，其溫度為Ｔ＝300 Ｋ，求在整個(gè)循環(huán)過(guò)程中氣體的最高溫度Ｔ和最低溫度Ｔ各是多少。

解析 由題給條件，可列出兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的方程。即氣體循環(huán)過(guò)程的橢圓方程和理想氣體的狀態(tài)方程，即

+=1①

ｐＶ＝ＲＴ ②

①、②兩方程中含三個(gè)未知量ｐ、Ｖ、Ｔ，直接對(duì)①、②兩式進(jìn)行演算，要求出循環(huán)過(guò)程中的最高溫度Ｔ或最低溫度Ｔ，是較為困難的?，F(xiàn)根據(jù)①式引入含參數(shù)定義的方程為

V=V0+cosαｐ=ｐ0+sinα

②式則轉(zhuǎn)化為Ｔ＝（1／Ｒ）［ｐ＋（ｐ／2）ｓｉｎα］［Ｖ＋（Ｖ／2）ｃｏｓα］，即Ｔ＝［1＋（1／2）（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）＋（1／4）ｓｉｎαｃｏｓα］Ｔ，③

（上式中Ｔ＝ｐＶ／Ｒ，為Ｏ′點(diǎn)對(duì)應(yīng)的溫度）

因?yàn)椋螅椋瞀粒悖铮螃粒剑螅椋睿郏é校?）＋α］，

ｓｉｎαｃｏｓα＝［（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２－1］／2，④

而－1≤ｓｉｎ［（π／4）＋α］≤1，

所以－≤ｓｉｎα＋ｃｏｓα≤，當(dāng)ｓｉｎα＋ｃｏｓα≤，?。螅椋瞀粒悖铮螃粒綍r(shí)，由④式知ｓｉｎαｃｏｓα＝1／2

將上式代入③式得Ｔ≤［1＋（1／2）×＋（1／4）×（1／2）］Ｔ，即最高溫度Ｔ＝549 Ｋ。

當(dāng)ｓｉｎα＋ｃｏｓα≥－，?。螅椋瞀粒悖铮螃粒剑瓡r(shí)，由④式知

ｓｉｎαｃｏｓα＝1／2，

代入③式，得

Ｔ≥［1＋（1／2）（－×（1／4）?（1／2））］Ｔ０，

即最低溫度Ｔ２＝125 Ｋ。

七、巧用降維，顯示物理量空間關(guān)系

由于三維問(wèn)題不好想像，選取適當(dāng)?shù)慕嵌?，可用降維的方法求解。降維的優(yōu)點(diǎn)是把不易觀察的空間物理量的關(guān)系在二維圖中表示出來(lái)，使我們很容易找到各物理量之間的關(guān)系，從而正確解決問(wèn)題。

例7 如圖9所示，將質(zhì)量為M的勻質(zhì)鏈條套在一個(gè)表面光滑的圓錐上，圓錐頂角為α，設(shè)圓錐底面水平，鏈條靜止時(shí)也水平，求鏈條內(nèi)的張力。

解析 要求張力，應(yīng)在鏈條上取一段質(zhì)量元Δm進(jìn)行研究。因?yàn)樵搯?wèn)題是三維問(wèn)題，各力不在同一平面內(nèi)，所以用“降維法”作出不同角度的平面圖進(jìn)行研究。

作出俯視圖10，設(shè)質(zhì)量元Δm兩端所受張力為T(mén)，其合力為F，因?yàn)樗鶎?duì)的圓心角θ很小，所以F=2Tsin，即F=Tθ。

再作出正視圖11，質(zhì)量元受重力Δmg、支持力N和張力的合力F而處于平衡狀態(tài)，由幾何知識(shí)可得：F=Δmg?cot=Mg?cot

所以鏈條內(nèi)的張力T==?cot

八、巧用一次函數(shù)的平均值化難為易

用一次函數(shù)，我們不但能正確地表達(dá)諸如由時(shí)間決定的變力，彈簧類(lèi)物體的彈力，線性變化的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，靜液體的壓強(qiáng)，共軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體各點(diǎn)的線速度等等一般的物理規(guī)律，更重要的是，我們還可以利用一次函數(shù)在定義區(qū)間x1~x2內(nèi)的平均值=，來(lái)分析和解決許多比較復(fù)雜乃至極其困難的物理問(wèn)題，從而刪繁就簡(jiǎn)，化難為易。

例8 如圖12所示，兩條平行的虛線M、N之間存在著垂直紙面向內(nèi)、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在磁場(chǎng)的左側(cè)另有一個(gè)等腰梯形線框ABCD，已知它的AB邊的長(zhǎng)度d，底角α，且總電阻為R?，F(xiàn)使線框自左至右以速度v勻速進(jìn)入磁場(chǎng)，自AB邊進(jìn)入直到CD邊與磁場(chǎng)左邊界M重合為止，所用的時(shí)間為t，那么求在此過(guò)程中通過(guò)線框某一橫截面的電荷量。

解析 分析可知，在題設(shè)過(guò)程中梯形線框切割部分的有效長(zhǎng)度為

L=d+2vtcotα

由電磁感應(yīng)規(guī)律得線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

E=BLv=Bvd+2Bv2tcotα

顯見(jiàn)，它是時(shí)間的一次函數(shù)。

然后，該電動(dòng)勢(shì)在時(shí)間0~t內(nèi)的平均值為

==

最后由歐姆定律求出通過(guò)線框某一橫截面的電荷量

q=?t=