趣談逆向思維

毛國永

逆向思維就是在分析、處理問題時(shí)，從習(xí)慣思維（正向思維）相反的方向去探索、研究，從而解決問題的一種思維方法。運(yùn)用逆向思維往往能使我們另辟蹊徑，有效地找到解決問題的鑰匙。

一、反彈琵琶

解決物理問題時(shí)，一般總是從條件出發(fā)按照習(xí)慣思維模式進(jìn)行正面的思考。這對(duì)解決大多數(shù)問題是有效的，而對(duì)某些特殊問題，若一味地進(jìn)行正面順向思考，思維往往會(huì)受阻。此時(shí)，若能引導(dǎo)學(xué)生沖破思維定勢(shì)的束縛，從反面入手進(jìn)行思考，常常能出奇制勝。

例1 用一輕彈簧把兩塊質(zhì)量分別為m1、m2的木塊連起來，放在光滑的水平地面上，如圖1所示。問：至少應(yīng)在上面的木塊上加多大的壓力才能使撤去此力后，上面的木塊反彈過程中，恰能將下面的木塊提起。

分析 本題用常規(guī)方法求解很繁雜，這里采用逆推法。若在輕質(zhì)彈簧上端連結(jié)一物體，再用力F向下壓，則松手后彈簧的伸長(zhǎng)情況與用同樣大小的力F拉彈簧，所產(chǎn)生的情形相當(dāng)。反之，當(dāng)我們用力F向上拉彈簧，松手后彈簧縮短的情形，效果上相當(dāng)于用同樣的力壓縮彈簧的情形，由彈簧的可逆性，不難求出F=（m1+m2）g。

二、過程反演

物理學(xué)中不少現(xiàn)象存在可逆性。對(duì)于有的問題，如果正向思維遇到困難，可以充分利用其中的可逆性（如運(yùn)動(dòng)可逆、光路可逆、電路可逆等），將過程進(jìn)行反演，利用逆向思維求解。

例2 如圖2，一充電的平行板電容器，板長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩板間距為d?，F(xiàn)將一帶電微粒（重力不計(jì)）從下極板的左邊緣斜射入電場(chǎng)中，結(jié)果帶電微粒剛好從上極板的右邊緣射出。試確定帶電微粒射入電場(chǎng)時(shí)，速度方向與下極板的夾角θ應(yīng)是多少？

逆向思維就是在分析、處理問題時(shí)，從習(xí)慣思維（正向思維）相反的方向去探索、研究，從而解決問題的一種思維方法。運(yùn)用逆向思維往往能使我們另辟蹊徑，有效地找到解決問題的鑰匙。

一、反彈琵琶

解決物理問題時(shí)，一般總是從條件出發(fā)按照習(xí)慣思維模式進(jìn)行正面的思考。這對(duì)解決大多數(shù)問題是有效的，而對(duì)某些特殊問題，若一味地進(jìn)行正面順向思考，思維往往會(huì)受阻。此時(shí)，若能引導(dǎo)學(xué)生沖破思維定勢(shì)的束縛，從反面入手進(jìn)行思考，常常能出奇制勝。

例1 用一輕彈簧把兩塊質(zhì)量分別為m1、m2的木塊連起來，放在光滑的水平地面上，如圖1所示。問：至少應(yīng)在上面的木塊上加多大的壓力才能使撤去此力后，上面的木塊反彈過程中，恰能將下面的木塊提起。

分析 本題用常規(guī)方法求解很繁雜，這里采用逆推法。若在輕質(zhì)彈簧上端連結(jié)一物體，再用力F向下壓，則松手后彈簧的伸長(zhǎng)情況與用同樣大小的力F拉彈簧，所產(chǎn)生的情形相當(dāng)。反之，當(dāng)我們用力F向上拉彈簧，松手后彈簧縮短的情形，效果上相當(dāng)于用同樣的力壓縮彈簧的情形，由彈簧的可逆性，不難求出F=（m1+m2）g。

二、過程反演

物理學(xué)中不少現(xiàn)象存在可逆性。對(duì)于有的問題，如果正向思維遇到困難，可以充分利用其中的可逆性（如運(yùn)動(dòng)可逆、光路可逆、電路可逆等），將過程進(jìn)行反演，利用逆向思維求解。

例2 如圖2，一充電的平行板電容器，板長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩板間距為d?，F(xiàn)將一帶電微粒（重力不計(jì)）從下極板的左邊緣斜射入電場(chǎng)中，結(jié)果帶電微粒剛好從上極板的右邊緣射出。試確定帶電微粒射入電場(chǎng)時(shí)，速度方向與下極板的夾角θ應(yīng)是多少？

分析 乍看此題，已知條件少，而且屬于斜拋問題，況且斜拋運(yùn)動(dòng)在高考中不作考試要求，但利用運(yùn)動(dòng)的可逆性，求解則十分簡(jiǎn)捷直觀。

設(shè)微粒質(zhì)量為m，帶電荷量為q，初速度為v0，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，若將微粒從上極板右邊緣以v0cosθ沿板水平射入，帶電微粒在電場(chǎng)中做的是類平拋運(yùn)動(dòng)，如圖3，此時(shí)的運(yùn)動(dòng)與原題的運(yùn)動(dòng)顯然是可逆的。又設(shè)微粒在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)需要時(shí)間為t。

則L=v0 cosθt①

v0sinθ=t ②

d=t2③

聯(lián)立①②③，得tanθ=，θ=arctan。

三、逆向轉(zhuǎn)換

逆向轉(zhuǎn)換就是在解決問題時(shí)，利用逆向思維，把試題所述的情景轉(zhuǎn)換為我們熟悉的物理情景，再進(jìn)行具體求解。常見的有運(yùn)動(dòng)的逆向轉(zhuǎn)換（如本文例2）、光路的逆向轉(zhuǎn)換、結(jié)論的逆向轉(zhuǎn)換等。

例３ 質(zhì)量m=10 g的子彈，以v0=400 m/s的速度水平射入一固定木塊，穿出后的速度v=100 m/s。若將該木塊放在光滑的水平面上，要使子彈仍以v0的速度水平射向木塊，且要穿過木塊，試求木塊質(zhì)量M的取值范圍。

分析 由于子彈穿過木塊后，與木塊的速度不同，討論起來較麻煩。如果逆向轉(zhuǎn)換，先討論子彈射不穿木塊的情況，由于這種情況中子彈、木塊的末速度相同，因此討論起來比較簡(jiǎn)單。

因水平面光滑，故子彈、木塊系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，又由于子彈射不穿木塊，子彈、木塊系統(tǒng)消耗的機(jī)械能一定大于mv20－mv2，于是有

mv=（m+M）vt，

mv20－（m+M） v2t>mv20－mv2

由以上兩式可得

M>－m=－0.01kg=0.15 kg

因?yàn)镸>0.15 kg時(shí)，子彈射不穿木塊，所以，M≤0.15 kg是本題所求的取值范圍。

四、反證歸謬

從思維方法的意義上來說，反證法就是一種特定的逆向思維方法。通常，反證的基本方法是這樣：（1）反設(shè)，根據(jù)原命題提出與它對(duì)立的反命題；（2）歸謬，即從假設(shè)的反命題出發(fā)，運(yùn)用已知條件、物理規(guī)律進(jìn)行分析推理，論證反命題不成立（不正確）；（3）結(jié)論，即肯定原命題成立（或正確）。

例４ 半徑為r、電阻為R的閉合金屬圓環(huán)垂直磁場(chǎng)放置，磁感強(qiáng)度B隨時(shí)間均勻增大，即B＝kt，圖4中C、D所對(duì)圓心角為90°，試確定C、D之間的電勢(shì)差UCD？

分析 用計(jì)算直接求UCD也可，但常會(huì)算錯(cuò)。如用反證法，則很方便。在圖中左邊的圓環(huán)上任取一點(diǎn)A，先假設(shè)D點(diǎn)電勢(shì)比C點(diǎn)高（提出反命題），則A點(diǎn)的電勢(shì)就比D點(diǎn)高，而C點(diǎn)的電勢(shì)就比A點(diǎn)高，這樣就會(huì)得到C點(diǎn)的電勢(shì)反而比D點(diǎn)高了，這就與原先的假設(shè)相矛盾（歸謬），可見上述反命題不成立；同理可證C點(diǎn)電勢(shì)比D點(diǎn)高也不可能。因此，只能得出UCD＝0的結(jié)論。

五、執(zhí)果索因

執(zhí)果索因就是先假定所要證明的結(jié)論成立，由此出發(fā)，利用一定的物理知識(shí)，推導(dǎo)出符合題設(shè)物理模型的條件。這樣把結(jié)論轉(zhuǎn)化為判斷條件（推理的每一步均可逆），以此判斷所證結(jié)論確實(shí)成立。

例5 長(zhǎng)度為L(zhǎng)的橡皮帶，一端拴住一個(gè)質(zhì)量為m的小球，以另一端為中心，使小球在光滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ω。若橡皮帶每伸長(zhǎng)單位長(zhǎng)度產(chǎn)生的彈力為 f，試證明橡皮帶的張力為F＝。

分析 假設(shè)所證結(jié)論正確，則將F＝展開，逐步上溯得Ff－Fmω2＝mω2fL，F(xiàn)f＝mω2fL＋Fmω2，F(xiàn)＝mω2L＋＝mω2L＋，由題意知f＝k，故F＝mω2（L＋ΔL）。上式正是反映小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，所需要的向心力是由橡皮帶的張力提供的，物理意義明確且步步可逆，所以得證。

六、反客為主

反客為主就是改變問題中不同事物的主次地位，把原來處于相對(duì)次要地位的事物突出來，成為我們的主要研究對(duì)象，從而順利地解決問題。

例６ 一人站在車廂中向左推著車廂側(cè)壁，車廂向前以加速度a做勻加速運(yùn)動(dòng)。試判斷人對(duì)車廂做功的正負(fù)。

分析 因?yàn)槿藢?duì)車廂的作用力有手的推力和腳的壓力、摩擦力，其中壓力不做功，但腳的摩擦力方向如何？手和腳的作用力哪個(gè)大？一時(shí)難以看出。因此，先思考一個(gè)相反的問題，即判斷車廂對(duì)人做功的正負(fù)，因?yàn)槿俗黾铀龠\(yùn)動(dòng)，車廂對(duì)人做正功，且人和車廂之間沒有相對(duì)位移，人對(duì)車廂做的功與車廂對(duì)人做的功大小相等，一正一負(fù)，由此即可推知，人對(duì)車廂做負(fù)功。

分析 乍看此題，已知條件少，而且屬于斜拋問題，況且斜拋運(yùn)動(dòng)在高考中不作考試要求，但利用運(yùn)動(dòng)的可逆性，求解則十分簡(jiǎn)捷直觀。

設(shè)微粒質(zhì)量為m，帶電荷量為q，初速度為v0，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，若將微粒從上極板右邊緣以v0cosθ沿板水平射入，帶電微粒在電場(chǎng)中做的是類平拋運(yùn)動(dòng)，如圖3，此時(shí)的運(yùn)動(dòng)與原題的運(yùn)動(dòng)顯然是可逆的。又設(shè)微粒在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)需要時(shí)間為t。

則L=v0 cosθt①

v0sinθ=t ②

d=t2③

聯(lián)立①②③，得tanθ=，θ=arctan。

三、逆向轉(zhuǎn)換

逆向轉(zhuǎn)換就是在解決問題時(shí)，利用逆向思維，把試題所述的情景轉(zhuǎn)換為我們熟悉的物理情景，再進(jìn)行具體求解。常見的有運(yùn)動(dòng)的逆向轉(zhuǎn)換（如本文例2）、光路的逆向轉(zhuǎn)換、結(jié)論的逆向轉(zhuǎn)換等。

例３ 質(zhì)量m=10 g的子彈，以v0=400 m/s的速度水平射入一固定木塊，穿出后的速度v=100 m/s。若將該木塊放在光滑的水平面上，要使子彈仍以v0的速度水平射向木塊，且要穿過木塊，試求木塊質(zhì)量M的取值范圍。

分析 由于子彈穿過木塊后，與木塊的速度不同，討論起來較麻煩。如果逆向轉(zhuǎn)換，先討論子彈射不穿木塊的情況，由于這種情況中子彈、木塊的末速度相同，因此討論起來比較簡(jiǎn)單。

因水平面光滑，故子彈、木塊系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，又由于子彈射不穿木塊，子彈、木塊系統(tǒng)消耗的機(jī)械能一定大于mv20－mv2，于是有

mv=（m+M）vt，

mv20－（m+M） v2t>mv20－mv2

由以上兩式可得

M>－m=－0.01kg=0.15 kg

因?yàn)镸>0.15 kg時(shí)，子彈射不穿木塊，所以，M≤0.15 kg是本題所求的取值范圍。

四、反證歸謬

從思維方法的意義上來說，反證法就是一種特定的逆向思維方法。通常，反證的基本方法是這樣：（1）反設(shè)，根據(jù)原命題提出與它對(duì)立的反命題；（2）歸謬，即從假設(shè)的反命題出發(fā)，運(yùn)用已知條件、物理規(guī)律進(jìn)行分析推理，論證反命題不成立（不正確）；（3）結(jié)論，即肯定原命題成立（或正確）。

例４ 半徑為r、電阻為R的閉合金屬圓環(huán)垂直磁場(chǎng)放置，磁感強(qiáng)度B隨時(shí)間均勻增大，即B＝kt，圖4中C、D所對(duì)圓心角為90°，試確定C、D之間的電勢(shì)差UCD？

分析 用計(jì)算直接求UCD也可，但常會(huì)算錯(cuò)。如用反證法，則很方便。在圖中左邊的圓環(huán)上任取一點(diǎn)A，先假設(shè)D點(diǎn)電勢(shì)比C點(diǎn)高（提出反命題），則A點(diǎn)的電勢(shì)就比D點(diǎn)高，而C點(diǎn)的電勢(shì)就比A點(diǎn)高，這樣就會(huì)得到C點(diǎn)的電勢(shì)反而比D點(diǎn)高了，這就與原先的假設(shè)相矛盾（歸謬），可見上述反命題不成立；同理可證C點(diǎn)電勢(shì)比D點(diǎn)高也不可能。因此，只能得出UCD＝0的結(jié)論。

五、執(zhí)果索因

執(zhí)果索因就是先假定所要證明的結(jié)論成立，由此出發(fā)，利用一定的物理知識(shí)，推導(dǎo)出符合題設(shè)物理模型的條件。這樣把結(jié)論轉(zhuǎn)化為判斷條件（推理的每一步均可逆），以此判斷所證結(jié)論確實(shí)成立。

例5 長(zhǎng)度為L(zhǎng)的橡皮帶，一端拴住一個(gè)質(zhì)量為m的小球，以另一端為中心，使小球在光滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ω。若橡皮帶每伸長(zhǎng)單位長(zhǎng)度產(chǎn)生的彈力為 f，試證明橡皮帶的張力為F＝。

分析 假設(shè)所證結(jié)論正確，則將F＝展開，逐步上溯得Ff－Fmω2＝mω2fL，F(xiàn)f＝mω2fL＋Fmω2，F(xiàn)＝mω2L＋＝mω2L＋，由題意知f＝k，故F＝mω2（L＋ΔL）。上式正是反映小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，所需要的向心力是由橡皮帶的張力提供的，物理意義明確且步步可逆，所以得證。

六、反客為主

反客為主就是改變問題中不同事物的主次地位，把原來處于相對(duì)次要地位的事物突出來，成為我們的主要研究對(duì)象，從而順利地解決問題。

例６ 一人站在車廂中向左推著車廂側(cè)壁，車廂向前以加速度a做勻加速運(yùn)動(dòng)。試判斷人對(duì)車廂做功的正負(fù)。

分析 因?yàn)槿藢?duì)車廂的作用力有手的推力和腳的壓力、摩擦力，其中壓力不做功，但腳的摩擦力方向如何？手和腳的作用力哪個(gè)大？一時(shí)難以看出。因此，先思考一個(gè)相反的問題，即判斷車廂對(duì)人做功的正負(fù)，因?yàn)槿俗黾铀龠\(yùn)動(dòng)，車廂對(duì)人做正功，且人和車廂之間沒有相對(duì)位移，人對(duì)車廂做的功與車廂對(duì)人做的功大小相等，一正一負(fù)，由此即可推知，人對(duì)車廂做負(fù)功。