橋式起重機定位和消擺的非線性優(yōu)化PID控制研究

朱發(fā)淵，汪朝暉，李欣欣

(武漢科技大學(xué) 機械自動化學(xué)院，武漢 430081)

0 引言

現(xiàn)代工業(yè)對橋式起重機自動化控制技術(shù)的要求越來越高，即要求系統(tǒng)具有準(zhǔn)停和消擺功能。當(dāng)小車實現(xiàn)自動準(zhǔn)停后，無需駕駛員反復(fù)調(diào)整，點動操作次數(shù)大幅度下降，有利于起重機驅(qū)動部件壽命的提高，其經(jīng)濟性得到保障。當(dāng)橋式起重機運動狀態(tài)改變后，吊重的擺動近似無阻尼振動，若僅依靠空氣阻尼實現(xiàn)消擺則需占用大量工作時間。因此實現(xiàn)橋式起重機準(zhǔn)停與消擺的同步控制成為近年來橋式起重機自動控制技術(shù)的研究熱點之一[1,2]。

當(dāng)前，國內(nèi)外諸多學(xué)者的研究方向是在建立系統(tǒng)簡化數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，利用各類算法構(gòu)建定位和消擺控制器，從而實現(xiàn)起重機精確定位及安全高效工作，而其中絕大多數(shù)定位和消擺控制器都采用PID控制器，取得了較好的控制效果。Cheng[3]和Jaroslaw[4]利用模糊控制器作為PID控制器的增益調(diào)諧，通過仿真結(jié)果表明，采用模糊控制器取得了較好的消擺效果；馬海峰[5]針對模糊控制中論域范圍選擇的難題，設(shè)計了一種基于模糊推理的速度-位移雙跟蹤變論域控制器，其仿真結(jié)果表明采用該控制器具有較好的精度和實時性。杜文正[6]設(shè)計了一種基于粒子群算法優(yōu)化的PID定位和消擺控制器，并通過仿真實驗驗證了該方法的有效性；李彭安[7]設(shè)計了一種無源性PID反饋控制器，其仿真結(jié)果表明采用該控制器具有實現(xiàn)起重機小車的精確定位和負(fù)載的消擺功能。

然而，實踐發(fā)現(xiàn)PID控制器的設(shè)計進(jìn)程中的參數(shù)的整定對控制效果影響深遠(yuǎn)，對于具有非線性和參數(shù)不確定性的橋式起重機系統(tǒng)，PID控制器參數(shù)整定至今仍然是研究重點和難點[8,9]。針對橋式起重機系統(tǒng)的非線性和不確定性，設(shè)計了一種基于非線性優(yōu)化的定位和消擺控制器，利用兩個非線性優(yōu)化PID控制器分別對小車的位置和吊重的擺角進(jìn)行控制，仿真結(jié)果表明采用該PID控制器具有較好的控制效果，且在系統(tǒng)參數(shù)變化時具有一定魯棒性，研究結(jié)果為橋式起重機定位和消擺控制理論及方法提供了參考。

1 橋式起重機的數(shù)理模型

1.1 橋式起重機物理模型

由于橋式起重機模型較復(fù)雜，而采用牛頓力學(xué)建模較繁瑣，因此為了對橋式起重機系統(tǒng)進(jìn)行定位和消擺控制研究，簡化了系統(tǒng)的物理模型，并采用拉格朗日方程對系統(tǒng)建模，進(jìn)而得到其數(shù)學(xué)模型。

橋式起重機系統(tǒng)物理模型如圖1所示，模型中的大車可以沿Z向平動，相對于大車小車則沿X向平動，并且繩長可變重物可自由擺動。系統(tǒng)控制的目標(biāo)是在橋式起重機的工作區(qū)域內(nèi)以較快的速度將重物從A(x1，y1)搬運到B(x2，y2)，同時限制重物的擺動在允許誤差范圍內(nèi)。

由圖1可知，橋式起重機物理模型小車和大車只在X，Z向做平動無轉(zhuǎn)動，因此繩索在XOY和YOZ平面上的擺角分別由小車在X向平動和大車在Z向平動引起，故兩個方向上的運動是自然解耦的。

1.2 橋式起重機的數(shù)學(xué)模型

論文在考慮系統(tǒng)機械元件的非線性時，而忽略了風(fēng)載、空氣阻力和鋼絲繩質(zhì)量等次要因素對系統(tǒng)的影響，簡化的橋式起重機系統(tǒng)運動模型如圖2所示。

在圖2所示的橋式起重機系統(tǒng)中，小車、大車分別在電機驅(qū)動力fx、fy作用下沿X、Y方向上平動。設(shè)小車質(zhì)量為Mx，大車質(zhì)量為My，重物質(zhì)量為m，繩長為l，小車和大車的粘性摩擦阻尼系數(shù)分別Dx、Dy，重物擺動時的阻尼系數(shù)為η。

設(shè)小車的位置坐標(biāo)為（xM=x、yM=y、zM=0），則重物在圖2所示坐標(biāo)系中的位置（xm、ym、zm）如式(1)所示。

系統(tǒng)的動能為：

系統(tǒng)的勢能為：

系統(tǒng)的動勢為：

解得橋式起重機系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為：

考慮實際操作過程為：首先起重機將重物提升到指定高度后小車平動，到達(dá)準(zhǔn)停位置后電機開始工作放下重物，即考慮起重機小車運行過程中電機處于制動狀態(tài)。且在設(shè)計PID控制器時才考慮繩長等參數(shù)的變化，以此提高控制器對參數(shù)變化的魯棒性，即則橋式起重機系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型化為：

2 非線性優(yōu)化原理

2.1 非線性優(yōu)化工具箱簡介

Response Optimization是與Simulink模型結(jié)合在一起，根據(jù)用戶定義的性能指標(biāo)約束，可以自動調(diào)節(jié)Simulink模型設(shè)計參數(shù)的一種工具，支持連續(xù)、離散以及多速率的模型[10]。采用該工具可以對標(biāo)量形式、矢量形式以及矩陣形式的變量進(jìn)行優(yōu)化，并可對任意層次的模型進(jìn)行變量約束。

當(dāng)模型參數(shù)變化時，Response Optimization可以測試設(shè)計的魯棒性。用戶可以通過蒙特卡羅仿真或fixed-grid仿真來提高不確定性參數(shù)模型的魯棒性，并可以在模型中設(shè)置不確定性參數(shù)的標(biāo)稱值及變化范圍[11]。

2.2 非線性優(yōu)化PID參數(shù)整定過程

使用非線性Response Optimization工具時，必須在Simulink模型中添加信號約束（Signal Constraint）模塊。將此模塊連接到模型中需要進(jìn)行某種約束的信號上，Response Optimization工具會自動將時域約束轉(zhuǎn)換成最優(yōu)化約束問題，然后使用最優(yōu)化工具箱（Optimization Toolbox）或遺傳算法與直接搜索工具箱（Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox）中的最優(yōu)化算法進(jìn)行求解[14]。

如圖3所示，將Response Optimization工具箱中的Signal Constraint模塊連接到小車位置和擺角輸出上，選擇PID的Kp、Kd和Ki為優(yōu)化參數(shù)，并設(shè)置位置上下限 ±0.05m及擺角上下限 ±0.1°，最后設(shè)置優(yōu)化和仿真參數(shù)，即可開始優(yōu)化計算。

3 非線性優(yōu)化PID控制器的設(shè)計

3.1 常規(guī)PID控制器模型

由式(6)可以看出橋式起重機系統(tǒng)模型在X、Y方向上是完全對稱的，即橋式起重機小車的運動在X、Y兩個方向上是完全解耦的。因此論文只研究橋式起重機小車X方向的定位和消擺控制，并將系統(tǒng)的非線性仿真模型進(jìn)行封裝后，以此非線性模型為控制對象，減少了Y方向上不相關(guān)的輸入和輸出信號。根據(jù)方程組(7)，在Simulink環(huán)境下建立的橋式起重機小車定位和消擺控制的常規(guī)PID控制模型如圖4所示。

模型中的外環(huán)為位置環(huán)，以確保小車在指定的位置準(zhǔn)確停車，由PID1模塊調(diào)節(jié)控制；內(nèi)環(huán)為擺角環(huán)，以反饋擺角信號達(dá)到消除擺動的作用，由PID2模塊調(diào)節(jié)控制。其中PID模塊的傳遞函數(shù)如式(8)所示。

3.2 非線性優(yōu)化PID控制器模型

由于常規(guī)PID控制器的參數(shù)不具有自動整定功能，因此當(dāng)系統(tǒng)誤差及其變化率較大時，常規(guī)PID控制器難以滿足控制要求?；诖?，論文采用Simulink中的非線性優(yōu)化模塊，設(shè)計了一種自動整定參數(shù)的PID控制器。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，非線性優(yōu)化模塊能調(diào)用優(yōu)化程序?qū)λx定的PID參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而提高控制器的質(zhì)量。仿照常規(guī)PID控制模型，橋式起重機定位和消擺系統(tǒng)的非線性優(yōu)化PID控制模型如圖5所示。

利用該模型仿真時將Signal Constraint模塊接到輸出端口上，并對模塊進(jìn)行響應(yīng)的設(shè)置，則Simulink中的SRO(simulink response optimization)模塊自動調(diào)用MATLAB中優(yōu)化程序?qū)Υ{(diào)整參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

4 仿真實驗

當(dāng)參數(shù)m、l變化較頻繁時，則PID參數(shù)需要不斷調(diào)整，因而需要設(shè)計出具有一定魯棒性的控制器。分別取可變參數(shù)m、l的變化范圍為1≤ m≤3、0.6≤ m≤1，其他已知參數(shù)設(shè)置的與常規(guī)PID控制器一致，對Signal Constraint模塊進(jìn)行響應(yīng)的設(shè)置后，運行非線性優(yōu)化程序得到的兩個PID模塊的參數(shù)如式(10)所示。

圖6為階躍響應(yīng)的PID控制位移曲線圖。由圖可知，采用常規(guī)PID控制的橋式起重機系統(tǒng)其位置響應(yīng)有比較大的超調(diào)量，調(diào)整時間比較長。而采用非線性優(yōu)化PID控制的橋式起重機系統(tǒng)能夠在4秒內(nèi)準(zhǔn)確停車并消除擺動，其位置的超調(diào)量減小幾乎為零且上升速度快，對起重機的運動狀態(tài)起到了很好的控制作用。

圖7為階躍響應(yīng)的PID控制擺角響應(yīng)曲線圖。由圖可知，采用常規(guī)PID控制的橋式起重機系統(tǒng)擺角響應(yīng)的調(diào)整時間也較長，控制效果不理想。而采用非線性優(yōu)化PID控制的橋式起重機系統(tǒng)擺角響應(yīng)過度時間短，能達(dá)到滿意的控制效果，并且優(yōu)化后的參數(shù)對系統(tǒng)參數(shù)的變化具有一定的魯棒性。

5 結(jié)論

為提高橋式起重機自動化水平，實現(xiàn)起重機目標(biāo)位置的精確停車和快速消擺的同步控制，提出并設(shè)計了一種基于非線性優(yōu)化PID的定位和消擺控制器。

1)橋式起重機非線性系統(tǒng)模型在X、Y方向上是完全對稱的，即橋式起重機小車的運動在X、Y兩個方向上是自然解耦的，因此可以只研究橋式起重機小車在X方向的定位和消擺控制。

2)常規(guī)PID控制器在一定程度上可以確保小車在目標(biāo)位置停車，并起到消除擺動的作用，但有較大的超調(diào)，且調(diào)整時間較長，擺角響應(yīng)的調(diào)整時間也較長，控制效果不太理想。

3)基于非線性優(yōu)化PID控制器比常規(guī)PID控制器具有更好的控制效果，其位置響應(yīng)超調(diào)小，上升速度快，擺角響應(yīng)過渡時間短，且在系統(tǒng)參數(shù)變化時具有一定魯棒性。

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