淺談實(shí)際問題中的設(shè)元

陳應(yīng)標(biāo)

摘要：根據(jù)問題設(shè)出未知數(shù)——找出問題中的所有等量關(guān)系——用已知量或者設(shè)出的未知數(shù)去表示各個(gè)量——確定相等關(guān)系寫出方程；大膽設(shè)元。

關(guān)鍵詞：實(shí)際問題 相等關(guān)系 設(shè)元 大膽

初中階段，方程與實(shí)際問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。實(shí)際問題與一元一次方程，實(shí)際問題與二元一次方程組，實(shí)際問題與一元二次方程，貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué)始終。用方程解決實(shí)際問題，其實(shí)質(zhì)是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的方程問題來解決，這種轉(zhuǎn)化關(guān)鍵環(huán)節(jié)就是設(shè)未知數(shù)、列方程。

列方程是困擾廣大師生的老大難問題，許多同學(xué)一看到應(yīng)用題就頭疼，不知從何下手，面對(duì)應(yīng)用題的復(fù)雜多樣，變幻莫測(cè)，許多老師也感到束手無策，找不到一種簡(jiǎn)單實(shí)用的方法。

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息、數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用；面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問題的策略；面對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，能主動(dòng)地尋找其實(shí)際背景，并探索其應(yīng)用價(jià)值。

利用方程解決實(shí)際問題從一個(gè)側(cè)面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的建模思想。在新課標(biāo)下的教材一改以往教材的編寫手法，以模型思想為主線，從實(shí)際問題引出方程，以方程解決實(shí)際問題——實(shí)踐與探索為結(jié)尾編寫了方程這塊內(nèi)容，給人以耳目一新的感覺。它不但讓學(xué)生體驗(yàn)到了方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型，深刻認(rèn)識(shí)到方程與現(xiàn)實(shí)世界的密切關(guān)系，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值；同時(shí)也給任課教師帶來了挑戰(zhàn)。

所謂的列方程解應(yīng)用題，就是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，建立方程來解決，方程是含有未知量的等式，由實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成方程就需要找出能表示問題含義的一個(gè)主要的等式，用字母表示適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)(設(shè)元)，其它的未知數(shù)則根據(jù)數(shù)量關(guān)系用含元的代數(shù)式(數(shù)學(xué)符號(hào))表示，最后將一個(gè)主要的等量關(guān)系中的量用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，從而將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化成方程，實(shí)現(xiàn)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型的目的。從這里我們可以看出，實(shí)現(xiàn)從問題到方程的橋梁是問題中的等量關(guān)系及元。尋找等量關(guān)系及合理設(shè)元成了解決問題的關(guān)鍵。

尋找等量關(guān)系，在眾多的等量關(guān)系中，我們不妨對(duì)它們進(jìn)行分類：①基本的等量關(guān)系，它是公式或一些生活常識(shí)，例如：路程=時(shí)間×速度；總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量；雞腳總數(shù)=2×雞的數(shù)量。②顯性的等量關(guān)系，它是問題中明確給出的，相對(duì)明顯。③隱性的等量關(guān)系，它隱含在題意中，學(xué)生必須根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)判斷，如甲乙兩人從異地相向而行到相遇，這里就隱含著等量關(guān)系：甲行走的時(shí)間二乙行走的時(shí)間。找出問題中所有的等量關(guān)系后，選取一個(gè)主要的并能體現(xiàn)題意的等量關(guān)系列方程。

設(shè)元是列方程或方程組解應(yīng)用題的重要環(huán)節(jié)。只有設(shè)得巧，才能解得妙。那么應(yīng)怎樣設(shè)元呢？

設(shè)元方法有間接設(shè)元和直接設(shè)元兩種，直接設(shè)元法就是把要求的量直接用未知數(shù)表示,間接設(shè)元法就是選取一個(gè)與問題有關(guān)的量為未知數(shù),通過這個(gè)未知數(shù)求出題中要求的量。

本人從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)近十年，經(jīng)歷過老教材，在老教材中，給出的例子、模式較單一，許多教師就將它們歸結(jié)為幾類問題，分別針對(duì)每一類型問題，建立一種固定的解決模式，使用起來較為方便。

然而，新課程改革提倡的是，讓知識(shí)來源于生活，服務(wù)于生活，為了更貼近生活，在實(shí)際問題的取材上，范圍就變得更廣，模式更繁多。再采用一一建立模型的方法就不那么容易了。只能籠統(tǒng)地對(duì)它們進(jìn)行大致的概括，通常采用的步驟是：

認(rèn)真審題找出相等關(guān)系——分析各量之間的關(guān)系設(shè)出未知數(shù)——分別表示出相等關(guān)系中的每一個(gè)量，得出方程。

這個(gè)過程中的重中之重是準(zhǔn)確找出相等關(guān)系。在一個(gè)實(shí)際問題中，數(shù)量之間的關(guān)系有幾個(gè)，每個(gè)關(guān)系都舉足輕重，然而能作為相等關(guān)系的往往只有一個(gè)，這個(gè)關(guān)系可能是一句話，也可能就是一個(gè)數(shù)。它就是這個(gè)實(shí)際問題的靈魂。初學(xué)者最好用文字寫下來，便于分析。準(zhǔn)確找出相等關(guān)系后，就是設(shè)未知數(shù)的問題了。想辦法將相等關(guān)系中的每一個(gè)量都表示出來，有的可以直接寫出來，有的需要用其它量來表示。這時(shí)就要權(quán)衡，只需設(shè)一個(gè)（或兩個(gè)）未知數(shù)就能將相等關(guān)系中的所有量表示出來。這是列方程的又一個(gè)關(guān)鍵。只要將這兩個(gè)問題解決了方程基本上就出來了。

然而要解決這兩個(gè)問題又談何容易呢？新課程標(biāo)準(zhǔn)雖然對(duì)問題的形式要求多樣化，但對(duì)解決問題的方法上要求卻降低了。對(duì)于初中階段的實(shí)際問題絕大多數(shù)都能用設(shè)直接未知數(shù)的方式來解決。設(shè)直接未知數(shù)即問題問什么就設(shè)什么為未知數(shù)。既然大多數(shù)實(shí)際問題都是設(shè)直接未知數(shù)，在分析問題時(shí)，能不能先設(shè)出未知數(shù)，再來找相等關(guān)系呢？

例：用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身25個(gè)，或制盒底40個(gè)，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套罐頭盒?，F(xiàn)有36張白鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底可以使盒身與盒底剛好配套？

分析：?jiǎn)栴}中雖然有兩個(gè)未知量要求，我們可以設(shè)其中任一個(gè)為X，若設(shè)制作盒身的是X張，則兩個(gè)等量關(guān)系：

（1）制盒身的鐵皮數(shù)＋制盒底的鐵皮數(shù)=36

（2）制成的盒身數(shù)×2=制成的盒底數(shù)

將未知數(shù)代入第一個(gè)關(guān)系可表示出制盒底的鐵皮數(shù)為(36-x)張，再由第二個(gè)關(guān)系可得方程 2×25x=40(36-x)

這種方法采用的是設(shè)直接未知數(shù)，解題時(shí)先設(shè)出未知數(shù)，這種方法有利于縮小范圍，便于更準(zhǔn)確快捷地找到相等關(guān)系，對(duì)于絕大多數(shù)新課程標(biāo)準(zhǔn)下的初中數(shù)學(xué)實(shí)際問題都行之有效。

本例也許并不能很好地體現(xiàn)先設(shè)未知數(shù)的優(yōu)點(diǎn)。但是通過多次實(shí)踐證明，它能很好地引導(dǎo)學(xué)生的分析思路，對(duì)于找到相等關(guān)系很有幫助，當(dāng)然它不是萬能的，對(duì)于不能設(shè)直接未知數(shù)解決的問題，在先設(shè)直接設(shè)未知數(shù)無法完成時(shí)再考慮設(shè)其它量。這種類型的題目始終是少數(shù)，因此在教學(xué)時(shí)，不妨將順序變一變。

即：根據(jù)問題設(shè)出未知數(shù)——找出問題中的所有等量關(guān)系——用已知量或者設(shè)出的未知數(shù)去表示各個(gè)量——確定相等關(guān)系寫出方程。

新課程標(biāo)準(zhǔn)表面上降低了對(duì)學(xué)生的要求，刪掉了部分難的與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系較少的內(nèi)容，也增加了平常生活中常用的，統(tǒng)計(jì)、概率等方面的知識(shí)。淡化概念，簡(jiǎn)化計(jì)算，注重實(shí)際應(yīng)用與動(dòng)手操作。然而，要想能靈活運(yùn)用，沒有過硬的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能又何談應(yīng)用呢？因此新課程標(biāo)準(zhǔn)其實(shí)對(duì)學(xué)生提出了更高的要求。無形中加重了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，作為教師，則應(yīng)該盡量將知識(shí)濃縮，探究更好的學(xué)習(xí)方法應(yīng)對(duì)之。對(duì)于初中階段困擾師生的方程與實(shí)際問題，采用先設(shè)直接未知數(shù)不失為一種“投機(jī)取巧”的好方法。

不少同學(xué)在學(xué)習(xí)了列方程解應(yīng)用題，受習(xí)慣思維影響，對(duì)一些復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題也只想用一個(gè)未知數(shù)去列方程，從而無法列出方程解決問題。這時(shí)應(yīng)改變思維習(xí)慣，大膽設(shè)元，巧妙消元。這就是設(shè)而不求的解題策略。

例.一個(gè)農(nóng)場(chǎng)的工人們要把兩片草地的草鋤掉，大的一片草地的面積是小的一片草地面積的兩倍。上午工人們都在大的一片草地上鋤草，午后工人們對(duì)半分開，一半留在大片草地上，工作到晚上就把草鋤完了，另一半人到小片草地去鋤草，到晚上還剩下一塊，次日由一個(gè)工人鋤草，恰好要一天的時(shí)間，問這個(gè)農(nóng)場(chǎng)有幾個(gè)工人？

分析：顯然，題目隱含了每個(gè)工人的工作效率是一樣的，題目中未告訴工人的工作效率是多少？?jī)蓧K草地的面積是多少？怎么辦？我們可以大膽設(shè)元；

若設(shè)面積小的草地面積為a，每人每天鋤草為b，工人總數(shù)為x人。根據(jù)題意

有，在這兩個(gè)方程中，有三個(gè)未知數(shù)a、b、x，而我們只關(guān)注x，于是我們有如下解法：

解：設(shè)面積小的草地面積為a，每人每天鋤草為b，工人總數(shù)為x人

則①

②

由①可得：③

由②可得：④

∴x=8

答：這個(gè)農(nóng)場(chǎng)有8個(gè)工人。

因此,在初中階段的實(shí)際問題與方程中，能準(zhǔn)確設(shè)出未知數(shù)，是解決問題的關(guān)鍵，只有熟練掌握了設(shè)元的技巧，才能又快又準(zhǔn)地設(shè)出未知數(shù)，從而列出方程解決實(shí)際問題。

設(shè)元是培養(yǎng)解題策略意識(shí)的重要課題,通過設(shè)元實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化,構(gòu)建條件與結(jié)論之間聯(lián)系的橋梁,有利于優(yōu)化解題的設(shè)計(jì)方案。教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生從“敢”于設(shè)元到“善”于設(shè)元,設(shè)之有益,設(shè)之有用,并引導(dǎo)學(xué)生從思想方法的高度去認(rèn)識(shí)變?cè)幍牡匚缓妥饔?將會(huì)收到良好的效果。

參考文獻(xiàn)

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》、《大膽設(shè)元 巧妙消元》