談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)“二次根式”這一章的教材分析

劉　柱

一、二次根式的課標(biāo)要求：

了解二次根式的概念及其加減乘除運(yùn)算法則，會用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡單四則運(yùn)算（不要求分母有理化）。具體是：

1.了解二次根式的意義；

2.掌握用簡單的一元一次不等式解決二次根式中字母的取值問題；

3.掌握二次根式的性質(zhì)

和，并能靈活應(yīng)用；

4.通過二次根式的計(jì)算培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；

5.通過二次根式性質(zhì)和的介紹滲透對稱性、規(guī)律性的數(shù)學(xué)美。

二、二次根式內(nèi)容結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

在認(rèn)識了平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念和求法，以及實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算的基礎(chǔ)上，本章將進(jìn)一步學(xué)習(xí)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算。通過對二次根式的概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生將對實(shí)數(shù)的概念有更深刻的認(rèn)識，通過對二次根式的加減乘除運(yùn)算的學(xué)習(xí)，學(xué)生將對實(shí)數(shù)的簡單四則運(yùn)算有進(jìn)一步的了解，進(jìn)一步理解二次根式與整式之間的關(guān)系，明確整式的運(yùn)算性質(zhì)、公式和法則與二次根式相關(guān)內(nèi)容的一致性，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、討論等探究活動歸納出結(jié)論的過程，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高歸納概括能力。

三、教材的地位及作用

本章內(nèi)容“二次根式”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，它與已學(xué)內(nèi)容“實(shí)數(shù)”、“整式”、“勾股定理”緊密聯(lián)系，同時也是以后將要學(xué)習(xí)的“解直角三角形”、“一元二次方程”、“二次函數(shù)”等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，并為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中的不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識作好準(zhǔn)備。本章通過對二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則、運(yùn)算規(guī)律等的探究，發(fā)展學(xué)生的思維能力，有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生掌握認(rèn)識事物的一般規(guī)律。本章內(nèi)容不論在知識、數(shù)學(xué)思考方法上，還是在對學(xué)生的能力培養(yǎng)上都是非常重要的。

四、課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1）理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由、理解二次根式的性質(zhì)。

(2）掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則，會用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡單四則運(yùn)算。

(3)利用逆向思維得出二次根式的乘（除）法規(guī)定的逆向等式并運(yùn)用它進(jìn)行化簡。

(4)通過分析前面的計(jì)算和化簡結(jié)果，抓住它們的共同特點(diǎn)，給出最簡二次根式的概念；利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進(jìn)行合并，達(dá)到對二次根式進(jìn)行計(jì)算和化簡的目的。

(5)通過本章的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)精神。經(jīng)過探索二次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力，進(jìn)一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系等方面的作用。

五、內(nèi)容安排及處理：

(1)第一節(jié)研究二次根式的概念和性質(zhì)

首先教材給出四個實(shí)際問題，要求學(xué)生根據(jù)已學(xué)的平方根和算術(shù)平方根的知識寫出這四個問題的答案，并分析所得結(jié)果在表達(dá)式上的特點(diǎn)，由此引出二次根式的概念。在二次根式概念中，重要的一點(diǎn)是理解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)的要求。教材結(jié)合例題對此進(jìn)行了較詳細(xì)的分析，并從算術(shù)平方根的定義出發(fā)，探討了結(jié)論是非負(fù)數(shù)。接著采用由特殊到一般的方法，歸納出結(jié)論，并根據(jù)算術(shù)平方根的定義對這條結(jié)論進(jìn)行分析，對于結(jié)論同樣采用讓學(xué)生通過具體計(jì)算、分析運(yùn)算過程和運(yùn)算結(jié)果，最后歸納出一般結(jié)論的方法進(jìn)行了研究。第一節(jié)的內(nèi)容是學(xué)習(xí)后面兩節(jié)內(nèi)容的直接基礎(chǔ)。

(2)第二節(jié)研究二次根式的乘除運(yùn)算

本節(jié)首先研究了二次根式的乘法運(yùn)算。教材通過設(shè)置探究欄目，要求學(xué)生利用二次根式的性質(zhì)和計(jì)算器等進(jìn)行一些具體運(yùn)算。發(fā)現(xiàn)之間的關(guān)系，從而由特殊到一般地歸納得出二次根式的乘法的運(yùn)算法則，繼而得到積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，引出化簡二次根式的方法。對二次根式的除法運(yùn)算，類似于乘法運(yùn)算，采用由特殊到一般的方法，歸納得出二次根式的除法的運(yùn)算法則，繼而得到商的二次根式的性質(zhì)，進(jìn)一步完善化簡二次根式的方法。本節(jié)最后，教材結(jié)合本節(jié)例題，給出了最簡二次根式的概念，明確了化簡二次根式的方向，并為下一節(jié)學(xué)習(xí)二次根式的加減運(yùn)算作好鋪墊。

(3)第三節(jié)研究二次根式的加減運(yùn)算

教材首先結(jié)合一個實(shí)際問題引出二次根式的加法，然后結(jié)合已學(xué)過的結(jié)論“在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立”，并利用分配律得出了二次根式的加減運(yùn)算法則。本節(jié)最后，在二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算的基礎(chǔ)上，教材通過幾個例題研究了二次根式的混合運(yùn)算，突出了二次根式與整式之間的關(guān)系，體現(xiàn)了整式的運(yùn)算性質(zhì)、公式和法則與二次根式相關(guān)內(nèi)容的一致性。

六、實(shí)施本章教學(xué)應(yīng)注意：

(1)注意加強(qiáng)知識的縱向聯(lián)系

學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識已經(jīng)由有理數(shù)的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)的范圍，并對實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則有了初步的感受。因此，教學(xué)時要注意與已有的經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，要在“實(shí)數(shù)”一章的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)。

比如：讓學(xué)生對“有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立”有所體驗(yàn)，使學(xué)生進(jìn)一步體會運(yùn)算律在數(shù)的擴(kuò)充過程中的一致性。又如：整式的運(yùn)算法則和公式在二次根式的運(yùn)算中繼續(xù)適用。再如：利用多項(xiàng)式的乘法法則和乘法公式進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算，突出二次根式運(yùn)算的本質(zhì)。

(2)適當(dāng)加強(qiáng)練習(xí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中較基礎(chǔ)的內(nèi)容，尤其是二交根式的加、減、乘、除運(yùn)算是后續(xù)學(xué)習(xí)解直角三角形、一元二次方程和二次函數(shù)的重要基礎(chǔ)，也為高中數(shù)學(xué)中不等式、函數(shù)以及解析幾何等大部分知識作好準(zhǔn)備。另外，本章內(nèi)容與整式、勾股定理聯(lián)系緊密，因此加強(qiáng)練習(xí)的同時，還要注意強(qiáng)調(diào)知識之間相互聯(lián)系。

(3)注意引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。本章的重點(diǎn)是讓學(xué)生理解二次根式的概念和性質(zhì)，并會熟練運(yùn)用法則進(jìn)行運(yùn)算，注重說明性質(zhì)和法則成立的合理性，突出了它的數(shù)學(xué)本質(zhì)。另外，“求二次根式中字母的取值范圍”學(xué)生就很好理解了，關(guān)鍵是實(shí)際問題中字母的取值范圍的求法。通過例題的講解，使學(xué)生了解到實(shí)際上求字母的取值范圍就是要轉(zhuǎn)化成求不等式的解集問題，通過題型的概括、方法的歸納，學(xué)生基本上掌握了重點(diǎn)。