一個(gè)包含Z(n)和D(n)函數(shù)的方程及其它的正整數(shù)解

葛鍵

(西安財(cái)經(jīng)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西西安 710061)

一個(gè)包含Z(n)和D(n)函數(shù)的方程及其它的正整數(shù)解

葛鍵

(西安財(cái)經(jīng)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西西安 710061)

對(duì)于任意正整數(shù)n,著名的偽Smarandache函數(shù)Z(n)定義為最小的正整數(shù)m使得n|m(m+1)/2.而數(shù)論函數(shù)D(n)定義為最小的正整數(shù)m使得n|d(1)d(2)d(3)…d(m),其中d(n)為Dirichlet除數(shù)函數(shù).本文的主要目的是利用初等方法研究一類包含偽Smarandache函數(shù)Z(n)和數(shù)論函數(shù)D(n)的方程2Z(n)=D(n)的可解性,并獲得了該方程的所有正整數(shù)解.

偽Smarandache函數(shù)Z(n);函數(shù)D(n);初等方法;方程;正整數(shù)解

1 引言及結(jié)論

例如：Z(1)=1,Z(2)=3,Z(3)=2,Z(4)=7,Z(5)=4,Z(6)=3,Z(7)=6,Z(8)= 15,Z(9)=8,Z(10)=4,Z(11)=10,Z(12)=8,Z(13)=12,Z(14)=7,Z(15)=5, Z(16)=31,Z(17)=16,Z(18)=8,Z(19)=18,….這一函數(shù)是美籍羅馬尼亞著名數(shù)論專家Smarandache教授中提出的[1],并建議人們研究它的性質(zhì).關(guān)于這一問(wèn)題,許多學(xué)者進(jìn)行了研究,獲得了不少有價(jià)值的研究結(jié)果[25].例如文[2]的作者中利用初等方法及其素?cái)?shù)分布定理給出了漸近公式X

其中c1和c2為常數(shù).這是兩個(gè)沒(méi)有解決的問(wèn)題.

另一方面,在文[8]中,作者引入了一個(gè)新的數(shù)論函數(shù)D(n),它定義為最小的正整數(shù)m使得n|d(1)d(2)d(3)…d(m),其中d(n)為Dirichlet除數(shù)函數(shù).即就是

例如：D(1)=1,D(2)=2,D(3)=4,D(4)=3,D(5)=24,D(6)=4,D(7)=26,D(8)=4, D(9)=9,D(10)=16,D(11)=210,D(12)=4,D(13)=212,D(14)=64,D(15)=16, D(16)=6,…,D(p)=2p?1,其中p為素?cái)?shù).關(guān)于D(n)的一些初等性質(zhì),文[7]以及文[8]都進(jìn)行了研究,文[7]還利用解析方法給出了漸近公式

這里k為任意給定的正整數(shù),ci(i=2,3,…,k)是可計(jì)算的常數(shù).

最近,張文鵬教授建議我們研究一個(gè)包含數(shù)論函數(shù)D(n)及偽Smarandache函數(shù)Z(n)的方程2Z(n)=D(n)的可解性,并求出它的所有正整數(shù)解.關(guān)于這一問(wèn)題,目前似乎沒(méi)有人進(jìn)行研究,至少我們沒(méi)有看到過(guò)這方面的文章.本文利用初等方法研究了這一問(wèn)題,并得到完全解決.具體地說(shuō)也就是證明了下面的:

2 定理的證明

這節(jié)我們利用初等方法以及Z(n)和D(n)的性質(zhì)直接給出定理的證明.關(guān)于Z(n)的性質(zhì),參閱文[34].關(guān)于D(n)的性質(zhì),只有文[8]中討論的比較仔細(xì),可以參考.現(xiàn)在我們分以下幾種情況進(jìn)行討論:

[1]Smarandache F.Only Problems,Not Solutions[M].Chicago:Xiquan Publishing House,1993.

[2]Lou Yuanbing.On the pseudo the Smarandache function[J].Scientia Magna,2007,3(4):48-50.

[3]Le Maohua.Two functional equations[J].Smarandache notions journal,2004,14:180-182.

[4]張文鵬.關(guān)于Smarandache函數(shù)的兩個(gè)問(wèn)題[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào),2008,173(2):173-176.

[5]Daivd Gorski.The Pseudo-Smarandache function[J].Smarandche Notions,2002,13:140-149.

[6]Hardy G H,Wright E M.An Introduction to the Theory of Numbers[M].Oxford:Oxford Univ.Press,1937.

[7]Shang Songye,Chen Guohui.An New Smarandache Multiplicative Function and Its Mean Value Formula, Research on Number Theory and Smarandache Notions(Collected Papers)[M].USA:Hexis,2009.

[8]Li Ling.An new Smarandache Multiplicative Function and Its Arithmetical Properties,Research on Number Theory and Smarandache Notions(Collected Papers)[M].USA:Hexis,2009.

[9]Apostol T M.Introduction to Analytic Number Theory[M].New York:Springer-Verlag,1976.

An equation involving the functions Z(n)and D(n) and its all positive integer solutions

GE Jian
(School of Statistics,Xi’an University of Finance and Economics,Xi’an710061,China)

For any positive integer n,the famous pseudo Smarandache function Z(n)is defined as the smallest positive integer m such that n|m(m+1)/2.The number theory function D(n)is defined as the smallest positive integer m such that n divides d(1)d(2)…d(m),where d(n)is the Dirichlet divisor function.The main purpose of this paper is using the elementary method and the properties of the pseudo Smarandache function Z(n)and number theory function D(n)to study the solvability of the equation 2Z(n)=D(n),and obtain its all positive integer solutions.

the pseudo Smarandache function Z(n),function D(n),elementary method,equation,positive integer solutions

O156.4

A

1008-5513(2009)03-0622-03

2008-06-05.

國(guó)家自然科學(xué)基金(10671155),陜西省教育廳自然科學(xué)基金(08JK291).

葛鍵(1961-),副教授,研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué).

2000MSC:11B83,58F08