關于賦范空間上連續(xù)自映射的回歸點

劉洪剛,朱培勇

(電子科技大學應用數(shù)學學院,四川成都 610054)

關于賦范空間上連續(xù)自映射的回歸點

劉洪剛,朱培勇

(電子科技大學應用數(shù)學學院,四川成都 610054)

在賦范空間中討論回歸點的性質,主要得到了結果:(1)如果f是序列緊賦范空間X上的連續(xù)雙射，x是f的任一回歸點,則對于任意整數(shù)N＞0都存在f的回歸點x0∈X使得fn(x0)=x;(2)序列緊賦范空間上連續(xù)自映射的回歸點集是f的強不變子集;(3)如果f是局部連通賦范空間X上的連續(xù)自映射,則f的每一個回歸點或是類周期點或是類周期點的聚點.作為推論,在實直線段上得到了類似的結論.

回歸點;賦范空間;類周期點

1 引言及其預備

周期點、回歸點是拓撲動力系統(tǒng)的兩個重要概念.文[1-4]對實線段上連續(xù)自映射的周期點、回歸點進行了較深入細致的討論,獲得了一些很好的成果.然而,隨著當今動力系統(tǒng)理論向高維化與抽象化研究方向的深入發(fā)展,將區(qū)間上連續(xù)自映射的周期點、回歸點推廣到賦范空間便成為拓撲動力系統(tǒng)的一個值得研究的課題.本文就此問題進行討論,利用泛函分析與點集拓撲的技巧,得到了序列緊的賦范空間和局部連通的賦范空間上連續(xù)自映射的回歸點的一些結果.

定義1[5]設X是實（或復）的線性空間,如果對每一個向量x∈X有一個確定的實數(shù),記為‖x‖并且下列三條被滿足:

(1)‖x‖≥0且‖x‖=0等價于x=0;

(2)‖αx‖=|α|‖x‖;

(2)‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.

則稱‖x‖為向量x的范數(shù);稱〈X,‖·‖〉為關于范數(shù)‖·‖的賦范空間.為了簡便常將這個賦范空間簡記為X.

本文中,?表示空集,N表示自然數(shù)集;若A?X,則ˉA表示集合A在空間X中的閉包.設〈X,‖·‖1〉,〈Y,‖·‖2〉是兩個賦范空間,f是從X到Y的映射,稱f在x0∈X處連續(xù),如果?ε＞0,?δ＞0,使得對X中一切滿足‖x?x0‖1＜δ的x都有‖f(x)?f(x0)‖2＜ε;如果映射f:X→Y在點x0連續(xù)(?x0∈X),則稱f為空間X上一個連續(xù)自映射;設f是集合X到集合Y的一個映射,若f的逆象也具有唯一性,即對X中的任意兩個不同元素x1/=x2,它們的象y1與y2也滿足y1/=y2,則稱f為單射;如果Y中的每一個點都有原象(即映射f滿足f(X)=Y),則稱f為滿射,或稱f為一個從X到Y上的映射;如果映射f既是單射,又是滿射,則稱f為雙射.

類比文[1]中周期點、回歸點等概念,我們在賦范空間中引入如下相應概念并且引入類周期點概念:

定義2設f是賦范空間〈X,‖·‖〉上的連續(xù)自映射,?x∈X.n∈N,記fn(x)=ffn?1(x),并且規(guī)定f0(x)=x.

(1)點x稱為f的一個周期點,如果?n∈N使得fn(x)=x.f的所有周期點的集合記為Per(f);

(2)點x稱為f的一個回歸點,如果?ε＞0.?n∈N,使得‖fn(x)?x‖＜ε.用R(f)表示f的回歸點集;

(3)點x稱為f的一個類周期點,如果?n∈N,使得‖fn(x)‖=‖x‖,f的所有類周期點的集合記為SPer(f).

定義3[6]設X為拓撲空間,A,B是X的任意子集.

(2)稱X是連通空間,如果X不能分解為兩個非空的分離集的并,即沒有X中的兩個非空的分離集A,B使得X=A∪B;

(3)稱X是局部連通空間,如果?x∈X及點x的任何鄰域U中都包含點x的一個連通的鄰域V.即X中任何點x的所有連通鄰域都構成該點的鄰域系的基.

定義4[6]稱拓撲空間X是一個序列緊空間,如果X中的每個序列都有收斂的子序列.

本文有關賦范空間〈X,‖·‖〉的相關概念和內容都來自于文[5,7],有關拓撲空間X的相關概念和內容都來自于文[6].

為了證明本文的主要定理,我們首先在一般賦范空間和拓撲空間上給出下列各引理:

引理1[6]設X,Y是兩個拓撲空間,映射f:X→Y是連續(xù)映射當且僅當Y中任意開集V的原像f?1(V)是X中的開集.

引理2[7]賦范空間X中的范數(shù)‖·‖是關于x∈X的連續(xù)函數(shù).

引理3[6]設f為連通空間X上的一個連續(xù)實值函數(shù),任取a,b∈X,則f在X上必能取得f(a)和f(b)間的一切實數(shù)值.

2 基本引理及其證明

引理4設f是賦范空間〈X,‖·‖〉上的連續(xù)自映射,則per(f)?R(f).

證明對于?x∈per(f),?n∈N使得fn(x)=x,則對?ε＞0有‖fn(x)?x‖=‖0‖=0＜ε.所以x∈R(f).故per(f)?R(f).

?x∈G,由(a),有‖fn2n1(x)‖＜‖x‖;由(b),有‖fn2n1(x)‖＞‖x‖.這就導致了矛盾.因此,本引理中的結論(2)是成立的.

定義5如果G滿足引理6中的條件(2)a,則稱G是(相對于f)的伸展集;如果G滿足引理6中的條件(2)b,則稱G是(相對于f)的壓縮集.

因為實線段是連通的,所以當G取線段I=[0,1],范數(shù)取實數(shù)的絕對值時,自然得到文[8]中結果:

推論1[8]設f是線段I上的連續(xù)自映射,J?I,如果J中沒有f的周期點,那么

(1)對任何一個n∈N,下面兩條件中總有一個成立:

(1)a對任何x∈J有fn(x)＞x;

(1)b對任何x∈J有fn(x)＜x.

(2)下面兩條件中總有一個成立:

(2)a對任何一個n∈N和任何x∈J只要fn(x)∈J便有fn(x)＞x;

(2)b對任何一個n∈N和任何x∈J只要fn(x)∈J便有fn(x)＜x.

3 主要定理

點.因為X是局部連通的,所以可設G是賦范空間〈X,‖·‖〉的連通子集.由引理6知,G或是伸展集或是壓縮集,不妨設G是伸展集.

根據(jù)回歸點的定義可知,有一個整數(shù)n1＞0,使得fn1(x)∈G.由于G是伸展集,所以‖x‖＜‖fn1(x)‖.令

[1]張景中,熊金城.函數(shù)迭代與一維動力系統(tǒng)[M].成都:四川教育出版社,1992.

[2]熊金城.周期點集為閉集的閉線段連續(xù)自映射[J].中國科學技術大學學報,1981,4:14-23.

[3]周作領.線段上自映射的非游蕩點等于周期點集的一個充要條件[J].科學通報,1981,23:1409-1410.

[4]林強.局部凸空間擬非擴張集映射不動點定理[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學,1991,7:23-26.

[5]江澤堅,孫善利.泛函分析[M].北京:高等教育出版社,2006.

[6]Engelking R.General Topology[M].Warszawa,Polish Scientific Publishers:1997.

[7]程其襄,張奠宙.實變函數(shù)與泛函分析基礎[M].北京:高等教育出版社,2006.

[8]熊金城.對于線段連續(xù)自映射f?(f|?(f))=[J].科學通報,1982,9:513-514.

The reurrent points of continuous self-maps on a normed space

LIU Hong-gang,ZHU Pei-yong
(School of Applied Mathematics,University of Electronic Science and Technology,Chengdu610054,China)

This paper mainly discusses some properties of the recurrent points of a continuous mapping from a normed space X to oneself.The following results are showed:(1)Let f be a surjective and injective continuous self-mapping from a sequentially compact normed space X to oneself,if x is a recurrent point of f,then there is some recurrent points x0of such that fn(x0)=x for every positive integer n;(2)If f is a continuous mapping from sequentially compact normed space to oneself,then the set of all recurrent points is a strong invariant set of f;(3)If f be a continuous mapping from a loclly connected space to oneself,then every recurrent point x of f is an almost periodic point or an accumalation point of the set of all almost periodic points.As corollaries, similar results are obtained about a continuous self-mapping on real interval.

recurrent point,normed space,almost periodic point

O189.11

A

1008-5513(2009)03-0617-05

2008-06-05.

國家自然科學基金(10671134).

劉洪剛(1975-),碩士,研究方向：混沌理論.

2000MSC:54H20,58F08