具無窮時(shí)滯中立型高維非線性系統(tǒng)的周期解

萬舒麗,楊建,馮春華,黃健民

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣西桂林 541004)

具無窮時(shí)滯中立型高維非線性系統(tǒng)的周期解

萬舒麗,楊建,馮春華,黃健民

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣西桂林 541004)

通過構(gòu)造算子利用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理和線性系統(tǒng)的指數(shù)二分性討論了一類具有無窮時(shí)滯非線性中立型高維周期微分系統(tǒng)的周期解存在性問題.得到保證系統(tǒng)存在周期解的新的充分條件.

無窮時(shí)滯;中立型;周期解;不動(dòng)點(diǎn)定理;存在性

1 引言

泛函微分方程的研究一直是熱門課題,而帶時(shí)滯的周期解存在性問題近年來受到很多數(shù)學(xué)家重視[110].其中文[1-3,4]分別對系統(tǒng)(1),(2)T-周期解的存在性問題進(jìn)行了討論

C1=C([?r,0],Rn),且A(t+T,x)=A(t,x),B(t,s)=(bij(t,s))n×n∈C(R×R),B(t+ T,s)=B(t,s).gi:R×Rn→Rn連續(xù)且關(guān)于第一個(gè)分量是T-周期,其中i=1,2,3,…,p. c(t)∈C(R,Rn),c(t+T)=c(t),b(t+T)=b(t).設(shè)x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T是系統(tǒng)滿足初始條件xi(θ)=φi(θ),φi(0)＞0,θ∈(?r,0],i=1,2,3,4,…,n的解,其中φi(θ)是定義(?r0,0]上的連續(xù)函數(shù).

2 預(yù)備知識

3 主要結(jié)果及其證明

易知,F,I和G都是Cr上的自映射.

設(shè)S={u|u∈Cr,‖u‖≤N},則S為Cr有界閉凸子集.下證算子F和I在S上滿足:

(1)F(S)?S,I(S)?S;(2)對任意u,v∈S,Fu+Iv∈S;(3)F在S上全連續(xù),I在S上壓縮.

對任意u,v∈S,有

當(dāng)‖un?u0‖→0(n→∞)時(shí),由上式以及A(t,x(t?τ(t)))在R×Rn上連續(xù)和gi:R×Rn→Rn的連續(xù)性可知:‖F(xiàn)un?Fu0‖→0(n→∞).這說明F在S上連續(xù),從而證得F在S上全連續(xù).

由于q＜1,顯然I在S上是壓縮的,由Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理知I+F在S上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u0(t).即G在S上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u0(t).則

即方程(11)在u(t)=u0(t)時(shí)有解.也說明了方程(5)至少有一個(gè)連續(xù)的T-周期解u0(t).

4 例子

于是方程(17)滿足定理1的條件,于是知道方程至少存在一個(gè)2π周期解.

注文[9]中A(t,x(t?τ(t)))周期解存在性定理要知A(t,x(t?τ(t)))最小特征值,當(dāng)A(t,x(t?τ(t)))的維數(shù)很高時(shí),一般來說,求特征值是不容易的.本文用較易驗(yàn)證的條件(H1)取代求A(t,x(t?τ(t)))的特征值.所給例子表明,即使在二維的情形也比求特征值容易.

[1]曹進(jìn)德,李永昆.具時(shí)滯的高維周期系統(tǒng)周期解的存在性與唯一性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1997,40(2):280-286.

[2]王全義.周期解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性[J].數(shù)學(xué)年刊:A輯,1994,15:537-545.

[3]王克.一類具偏差變元的微分方程的周期解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1994,37(3):409-413.

[4]賀明科.一類中立型高維周期微分系統(tǒng)的周期解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1999,42(2):271-280.

[5]張志信,蔣威.一類中立型泛函微分方程的周期解[J].合肥學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,17(1):1-5.

[6]王曉,李志祥,張浩.具有無窮時(shí)滯中立型泛函積分微分方程周期解的存在性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2006,19(4):804-811.

[7]周宗福.一類高維滯后型泛函微分方程的周期解[J].數(shù)學(xué)雜志,2002,22(4):423-430.

[8]陳鳳德.指數(shù)型二分性和周期系統(tǒng)的周期解[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),1999,15(1):18-24.

[9]胡永珍,斯力更.具有無限時(shí)滯的中立型高維周期微分系統(tǒng)的周期解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,48(2):235-244.

The existence of periodic solutions to high order nonlinear neutral functional differential equations with infinite delay

WAN Shu-li,YANG Jian,FENG Chun-hua,HUANG Jian-min
(Department of Mathematics,Guangxi Normal University,Guilin541004,China)

By means of the Krasnoselskii’s fixed point theorem and exponential dichotomy of linear system, this paper investigates the existence of periodic solutions for a class of high order nonlinear neutral functional differential equations with infinite delay.A new set of sufficient conditions to guarantee the existence of periodic solutions of the system is obtained.

infinite delay,neutral,periodic solution,fixed point theorem,existence

O175.1

A

1008-5513(2009)03-0556-07

2007-11-10.

國家自然科學(xué)基金(10461003),廣西壯族自治區(qū)研究生教育創(chuàng)新基金(2008106020701M234).

萬舒麗(1983-),在讀碩士,研究方向：微分方程.

2000MSC:34K13