可靠度的M-Bayes可信限

唐燕貞,韓明

(1.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建福州 350007;2.福建工程學(xué)院數(shù)理系,福建福州 350108)

可靠度的M-Bayes可信限

唐燕貞1,2,韓明2

(1.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建福州 350007;2.福建工程學(xué)院數(shù)理系,福建福州 350108)

在可靠性試驗(yàn)中,有時(shí)會(huì)出現(xiàn)無失效數(shù)據(jù),特別是在高可靠性、小樣本試驗(yàn)中更容易產(chǎn)生無失效數(shù)據(jù).本文提出了無失效數(shù)據(jù)情形,產(chǎn)品可靠度的一種新的參數(shù)估計(jì)方法–“M-Bayes可信限法”,給出了產(chǎn)品可靠度的M-Bayes可信下限的定義和M-Bayes可信下限的估計(jì)公式,并給出了M-Bayes可信下限估計(jì)的性質(zhì).最后,給出了數(shù)值算例,通過例子可以看出,本文提出的方法可行且便于應(yīng)用.

可靠度;無失效數(shù)據(jù);M-Bayes可信限;經(jīng)典置信限

1 引言

對一些高可靠性產(chǎn)品,要想獲得其失效數(shù)據(jù),不但要花費(fèi)很長的試驗(yàn)時(shí)間,而且對價(jià)格昂貴產(chǎn)品的破壞性也是令人難以忍受的.隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,產(chǎn)品的可靠性不斷提高,高可靠性產(chǎn)品在定時(shí)截尾可靠性試驗(yàn)中經(jīng)常出現(xiàn)無失效數(shù)據(jù).無失效數(shù)據(jù)問題的研究,對于建立在失效數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的現(xiàn)有可靠性理論來說,是一個(gè)有一定難度的問題.自從文[1]發(fā)表以來,對無失效數(shù)據(jù)問題的研究逐漸引起了國內(nèi)外的重視,并且已取得了一些成果.關(guān)于無失效數(shù)據(jù)問題的若干研究進(jìn)展情況,見文[2-3].

在有些情況下,很難確定產(chǎn)品的壽命分布類型,有時(shí)雖然產(chǎn)品的壽命分布類型已知,但獲得的數(shù)據(jù)僅僅是失效個(gè)數(shù),而無精確的失效時(shí)間,這時(shí)我們可以借助非參數(shù)方法來獲得可靠度的估計(jì).設(shè)某產(chǎn)品的壽命分布類型是未知的,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取n個(gè)樣品進(jìn)行定時(shí)截尾試驗(yàn),若在截尾時(shí)間段內(nèi)有X個(gè)樣品失效,又產(chǎn)品的失效與否是互相獨(dú)立的,則X是一個(gè)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量,于是有

其中0＜R＜1,R為產(chǎn)品的可靠度.

這樣研究可靠度的非參數(shù)估計(jì)問題,就轉(zhuǎn)化為研究二項(xiàng)分布(1)式中參數(shù)R的估計(jì)問題.關(guān)于參數(shù)估計(jì),近年來用Bayes方法取得了一些進(jìn)展.特別是在文獻(xiàn)[4]中提出了多層先驗(yàn)分布的想法以來,Bayes方法和多層Bayes方法在無失效數(shù)據(jù)的處理上取得了一些進(jìn)展.在文[5]中,對二項(xiàng)分布,給出了一種Bayes估計(jì).在文[6]中,對二項(xiàng)分布無失效數(shù)據(jù)情形,給出了可靠度的多層Bayes估計(jì).

2 可靠度的M-Bayes可信限

2.1 R的M-Bayes可信限的定義

若R的先驗(yàn)分布為冪分布,其密度函數(shù)為

2.2 R的M-Bayes可信限的估計(jì)

以上在定義1中給出了R的M-Bayes可信下限的定義,以下將在這個(gè)定義的基礎(chǔ)上給出R的MBayes可信下限的估計(jì).

定理1對二項(xiàng)分布(1)式,在無失效數(shù)據(jù)情況下,若R的先驗(yàn)密度函數(shù)π(R|a)由(2)式給出,則有:

3 可靠度的M-Bayes可信限的性質(zhì)

為了給出可靠度的M-Bayes可信限的性質(zhì)–可靠度的M-Bayes可信下限與經(jīng)典置信下限的關(guān)系,以下先給出可靠度的經(jīng)典置信下限.

3.1 可靠度的經(jīng)典置信下限

在文[7]中,給出了無失效數(shù)據(jù)情況下,R的置信水平為1?α(0＜α＜1)的經(jīng)典置信下限的估計(jì),現(xiàn)在敘述在如下的定理2中.

3.2 可靠度的M-Bayes可信下限與經(jīng)典置信下限的關(guān)系

在定理1和定理2中分別給出了可靠度的M-Bayes可信下限與經(jīng)典置信下限,那么它們之間有什么關(guān)系呢?以下將要給出的定理3回答了這個(gè)問題.

4 數(shù)值算例

當(dāng)α=0.05,0.10,0.15,0.20,0.25,0.30和n=5,10,20,50,100時(shí),根據(jù)定理1和定理2,可以得到可靠度的可信水平為1?α的M-Bayes可信下限的估計(jì)、置信水平為1?α的經(jīng)典置信下限的估計(jì),其計(jì)算結(jié)果見表1–5.

表1和的計(jì)算結(jié)果(n=5)

表1和的計(jì)算結(jié)果(n=5)

α 0.050.100.150.200.250.30 ?RCL0.549 2800.630 9570.684 2550.724 7800.757 8580.786 003 ?RMBL0.580 0280.657 9330.708 2690.746 3020.777 2030.803 399 ?RMBL??RCL0.030 7480.026 9760.024 0140.021 5220.019 3450.017 396

表2和的計(jì)算結(jié)果(n=10)

表2和的計(jì)算結(jié)果(n=10)

α 0.050.100.150.200.250.30 ?RCL0.741 1340.794 3280.827 1970.851 3400.870 5510.886 568 ?RMBL0.751 7830.803 0860.834 7040.857 8900.876 3160.891 666 ?RMBL??RCL0.010 6490.008 7580.007 5070.006 5500.005 7650.005 098

表3 ?RMBL和?RCL的計(jì)算結(jié)果(n=20)

表4和的計(jì)算結(jié)果(n=50)

表4和的計(jì)算結(jié)果(n=50)

α 0.050.100.150.200.250.30 ?RCL0.941 8450.954 9930.962 7680.968 3240.972 6550.976 208 ?RMBL0.942 4040.955 4280.963 1300.968 6320.972 9220.976 441 ?RMBL??RCL0.000 5590.000 4350.000 3620.000 3080.000 2670.000 233

表5和的計(jì)算結(jié)果(n=100)

表5和的計(jì)算結(jié)果(n=100)

α 0.050.100.150.200.250.30 ?RCL0.970 4870.977 2370.981 2080.984 0340.986 2330.988 032 ?RMBL0.970 6320.977 3490.981 3000.984 1130.986 3010.988 092 ?RMBL??RCL0.000 1450.000 1120.000 0920.000 0790.000 0680.000 060

5 結(jié)束語

本文給出了可靠度的M-Bayes可信下限的定義(定義1),在此基礎(chǔ)上給出了可靠度的MBayes可信下限的估計(jì)(定理1)與經(jīng)典置信下限的估計(jì)(定理2),并給出了可靠度的M-Bayes可信限的性質(zhì)(定理3).從數(shù)值算例可以看出,對于同一可信(或置信)水平,可靠度的M-Bayes可信下限的估計(jì)“優(yōu)于”經(jīng)典置信下限的估計(jì),但隨著n的增加,這種“優(yōu)于”性逐漸減小.從數(shù)值算例還可以看出,本文提出的方法可行且便于應(yīng)用.

[1]Martz H F,Waller R A.A Bayesian zero-failure(BAZE)reliability demonstration testing procedure[J]. Journal of Quality Technology,1979,11(3):128-137.

[4]韓明.無失效數(shù)據(jù)可靠性進(jìn)展[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,2002,31(1):7-19.

[3]韓明.基于無失效數(shù)據(jù)的可靠性參數(shù)估計(jì)[M].北京:中國統(tǒng)計(jì)出版社,2005.

[4]Lindley D V,Smith A F M.Bayes estimaters for the linear model[J].Journal of the Royal Statistical Society, Series B,1972,34:1-41.

[5]Miller K W,Morell L J,Noonan R E,et al.Estimating the probability of failure when testing reveals no failures[J].IEEE Trans,on Software Engineering.1992,18(1):33-43.

[6]韓明.Estimation of reliability based on zero-failure data[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2002,18(2):165-169.

[7]韓明,趙任杰.成敗型無失效數(shù)據(jù)的可靠性分析[J].信息工程學(xué)院學(xué)報(bào),1992,11(3):27-35.

M-Bayesian credible limit of reliability

TANG Yan-zhen1,2,HAN Ming2
(1.School of Mathematics and Computer Science,Fujian Normal University,Fuzhou350007,China; 2.Department of Mathematics and Physics,Fujian University of Technology,Fuzhou350108,China)

For high reliability products,zero-failure data situation happens sometimes in the reliability tests, eapecially in high reliability and small sample tests.In this paper,introduces a new parameter estimation method—M-Bayesian credible limit method,in zero-failure data situation.The definition,formula and properties of the M-Bayesian credible lower limit for reliability are given.Finally,example is given.Through the example show that the provided method is feasible and easy to perform.

reliability,zero-failure data,M-Bayesian credible limit,classics confidence limit

O213.2

A

1008-5513(2009)03-0521-05

2007-06-21.

福建省自然科學(xué)基金(2009J01001).

唐燕貞(1974-),講師,在職研究生,研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用.

2000MSC:62N05,62F15