圍長為2的本原無限布爾方陣類的本原指數(shù)集

張德全,李修清

(桂林航天工業(yè)高等?？茖W(xué)校計(jì)算機(jī)系,廣西桂林 541004)

圍長為2的本原無限布爾方陣類的本原指數(shù)集

張德全,李修清

(桂林航天工業(yè)高等專科學(xué)校計(jì)算機(jī)系,廣西桂林 541004)

研究了圍長為2的無限布爾方陣的本原性,通過無限有向圖D(A)的直徑給出了這類矩陣的本原指數(shù)的上確界,最后證明了直徑小于等于d且圍長為2的本原無限布爾方陣所構(gòu)成的矩陣類的本原指數(shù)集為={2,3,…,3d}.

無限布爾方陣;本原指數(shù);有向圖;直徑

1 引言

設(shè)β={0,1}是由兩個(gè)元素所組成的布爾代數(shù),具有布爾加法:a+b=max{a,b}和布爾乘法:a·b=min{a,b},這里β={0,1}中約定0＜1.定義在β={0,1}上的具有無限行和無限列的矩陣稱為無限布爾方陣.按通常矩陣的加法、數(shù)量乘法和矩陣乘法,我們給出無限布爾方陣的加法,數(shù)量乘法和乘法的定義.

定義1設(shè)A=(aij),B=(bij)都是無限布爾方陣,λ∈β,

由無限布爾方陣的乘法定義,無限布爾方陣的冪運(yùn)算是有意義的,設(shè)A是一個(gè)無限布爾方陣,若存在有限的正整數(shù)k,使Ak＞0(即Ak中的每個(gè)元素均為1),則稱A是本原無限布爾方陣(簡稱本原的),使Ak＞0成立的最小正整數(shù)k稱為A的本原指數(shù),記作γ(A)=k.設(shè)A=(aij)是一個(gè)無限布爾方陣,則A可自然地對(duì)應(yīng)一個(gè)無限階有向圖D(A)=(V,E),其中V={v1,…,vn,…}是頂點(diǎn)集,E是弧集,aij=1當(dāng)且僅當(dāng)有弧(vi,vj)∈E(i,j=1,2,… ),稱為A的伴隨有向圖,顯然有向圖D(A)=(V,E)中可以有自環(huán),但沒有重復(fù)弧.

無限布爾方陣的本原性可以自然地用圖的語言表述,設(shè)D是一個(gè)無限階有向圖(圖中允許有自環(huán),但不允許有重復(fù)弧),若存在有限的正整數(shù)k,使得任取圖中兩點(diǎn)i,j,對(duì)于任意一個(gè)≥k的正整數(shù)m,都有點(diǎn)i到點(diǎn)j長為m的途徑,且圖D中存在兩點(diǎn)u,v,使得點(diǎn)u到點(diǎn)v沒有長為k?1的途徑,則稱D是本原有向圖,且稱k為D的本原指數(shù),記作γ(D)=k.顯然,A是本原無限布爾方陣的充分必要條件是A的伴隨有向圖D(A)為本原有向圖,且γ(A)=γ(D(A))；因此研究無限布爾方陣的本原性及其本原指數(shù)集就完全等同于研究相應(yīng)的伴隨有向圖的本原性及其指數(shù)集.

若A=(aij)是一個(gè)無限布爾方陣,且主對(duì)角線上的元素均為零且至少有一對(duì)非零對(duì)稱元,則A對(duì)應(yīng)的伴隨有向圖D(A)=(V,E)是一個(gè)沒有自環(huán)且最小圈長為2的無限階有向圖,我們將一個(gè)圖的最小圈長稱為這個(gè)圖的圍長,這樣主對(duì)角線上的元素均為零且至少有一對(duì)非零對(duì)稱元的無限布爾方陣的伴隨有向圖是一個(gè)圍長為2的無限階有向圖,反之一個(gè)圍長為2的無限階有向圖的鄰接矩陣也是一個(gè)主對(duì)角線上的元素均為零且至少有一對(duì)非零對(duì)稱元的無限布爾方陣.

通過D(A)的直徑估計(jì)本原矩陣A的本原指數(shù)是一個(gè)十分有意義的課題,關(guān)于n階本原矩陣的本原指數(shù),文[2]給出了n階對(duì)稱本原矩陣本原指數(shù)的上界估計(jì):γ(D)≤2d,文[3]給出了一般的n階本原矩陣的本原指數(shù)上界估計(jì):γ(A)≤d2+1,其中d為D(A)的直徑.但對(duì)于無限布爾方陣A通過D(A)的直徑來估計(jì)A的本原指數(shù)及本原指數(shù)集等問題的研究還很不深入,文[1]中研究了含有非零對(duì)角元的無限布爾方陣,通過D(A)的直徑給出了其本原指數(shù)的上界估計(jì),并給出了這類矩陣的本原指數(shù)集的刻劃,文[4]中研究了對(duì)稱無限布爾方陣,并通過D(A)的直徑給出了對(duì)稱本原無限布爾方陣的本原指數(shù)集的刻劃.本原指數(shù)研究的另一個(gè)方面是對(duì)各種特殊的本原矩陣類的本原指數(shù)以及本原指數(shù)集的研究.本文研究主對(duì)角線上的元素均為零且至少有一對(duì)非零對(duì)稱元的一類無限布爾方陣,即伴隨有向圖D(A)的圍長為2的一類無限布爾方陣,記這類方陣的集合為B0,即B0={A|A是無限布爾方陣,且伴隨有向圖D(A)的圍長為2};本文研究這類無限階布爾方陣的本原性,通過伴隨有向圖D(A)的直徑給出本原指數(shù)的上確界,最后給出直徑小于等于d的圍長為2的本原無限布爾方陣所構(gòu)成的矩陣類的本原指數(shù)集的刻劃.

2 B0中無限布爾方陣為本原陣的一個(gè)充分必要條件

設(shè)D是一個(gè)無限階有向圖,i,j是圖中的兩個(gè)頂點(diǎn),k是一個(gè)正整數(shù),若從頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有長為m≥k(其中m是大于或等于k的任意一個(gè)正整數(shù))的途徑,但從頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j沒有長為k?1的途徑,則稱k為頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j的局部本原指數(shù),記作γ(i,j)=k;由以上對(duì)無限階有向圖D的本原性以及圖D的本原指數(shù)的定義,顯然可得:

命題2設(shè)D是一個(gè)無限階有向圖,則D是本原的當(dāng)且僅當(dāng)集合{γ(i,j)|i,j∈V(D)}是有限集,且當(dāng)D是本原圖時(shí)有γ(D)=max{γ(i,j)|i,j∈V(D)}.

設(shè)D(A)=(V,E)是無限布爾方陣A的伴隨有向圖,i,j是圖中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)(這兩點(diǎn)可以相同也可以不同),若既有從頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j的長度有限的途徑,也有從頂點(diǎn)j到頂點(diǎn)i的長度有限的途徑,則稱圖D(A)是強(qiáng)連通圖,稱A為不可約無限布爾方陣(簡稱不可約的);本文用d(i,j)表示頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j的距離,若集合{d(i,j)|i,j∈V(D)}是有界集,則稱D(A)具有有限的直徑,并稱max{d(i,j)|i,j∈V(D)}為D(A)的直徑,記作d(D(A));為了方便我們將有向圖D(A)具有有限直徑也稱為A具有有限的直徑,將D(A)的直徑也稱為A的直徑;用RD(A)表示D(A)的所有有限圈(有限圈:即長度有限的圈)的長度的集合,即RD(A)={r|r為D(A)中有限圈的長度}.

下面給出B0中無限布爾方陣為本原陣的一個(gè)等價(jià)刻劃.首先給出Schur的一個(gè)引理.

引理1[5](Schur)設(shè)k≥2,ri(i=1,2,…,k)是正整數(shù),且gcd(r1,r2,…,rk)=1,則存在僅與r1,r2,…,rk有關(guān)的非負(fù)整數(shù)N(r1,r2,…,rk),當(dāng)n≥N(r1,r2,…,rk)時(shí),方程r1x1+…+rkxk=n有非負(fù)整數(shù)解.

我們把使引理1成立的最小的非負(fù)整數(shù)N(r1,r2,…,rk)記作φ(r1,r2,…,rk),稱為r1,r2,…,rk的Frobenius數(shù),特別當(dāng)k=2時(shí)有:φ(r1,r2)=(r1?1)(r2?1).

設(shè)R={r1,r2,…,rk}?RD是無限階有向圖D中k個(gè)不同的圈長,且gcd(r1,r,…,rk)= 1,D中從頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j且和長度分別為r1,r2,…,rk的圈都接觸(只要和一個(gè)長為r的圈有公共點(diǎn)就稱為接觸了長為r的圈)的最短途徑長記為dR(i,j),稱為從頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j的相應(yīng)于R的廣義相對(duì)距離,記φR為r1,r2,…,rk的Frobenius數(shù),即φR=φ(r1,r2,…,rk),則顯然頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有長為m的途徑,其中m大于等于dR(i,j)+φR的任意一個(gè)正整數(shù),從而由局部本原指數(shù)的定義有:γ(i,j)≤dR(i,j)+φR.即

引理2設(shè)R={r1,r2,…,rk}?RD是無限階有向圖D中k個(gè)不同的圈長,且gcd(r1,r2, …,rk)=1,任取D中i,j兩點(diǎn),則頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有長為m≥dR(i,j)+φR的途徑,從而有γ(i,j)≤dR(i,j)+φR.

文[1]中給出了無限布爾方陣為本原陣的一個(gè)等價(jià)刻劃.

定理1[1]設(shè)A是一個(gè)無限布爾方陣,D(A)是A的伴隨有向圖,RD={D(A)中所有有限圈的長度},則A是本原陣的充分必要條件為:

(i)D(A)是強(qiáng)連通有向圖;

(ii)D(A)有有限直徑,存在RD中的有限元素r1,r2,…,rk且滿足gcd(r1,r2,…,rk)=1.

由定理1,我們易給出B0中的無限布爾方陣為本原陣的一個(gè)充分必要條件.

定理2設(shè)A∈B0,D(A)是A的伴隨有向圖,則A是本原陣的一個(gè)充分必要條件為:

(i)D(A)是強(qiáng)連通有向圖;

(ii)D(A)具有有限的直徑,且D(A)含有奇圈.

3 PB0中直徑為d的無限布爾方陣的本原指數(shù)的上確界

情形1若y1和y2中至少有一個(gè)為0,不妨設(shè)y1=0,則有x1+k0≡2k0?y1≡0(mod 2),即x1+k0＜2k0且為偶數(shù),由上述討論知在圖D(A)中存在一條u0點(diǎn)到u2點(diǎn)的長度為x1+k0的偶途徑,矛盾.

情形2若y1和y2均為1,則x1+x2≡2k0?(y1+y2)≡0(mod 2),即x1+x2是一個(gè)小于2k0的偶數(shù),則同樣u0點(diǎn)到u2點(diǎn)存在一條長度為x1+x2的偶途徑,矛盾.

于是我們就證明了假設(shè)是錯(cuò)誤的,故定理結(jié)論成立.

定理3設(shè)A∈PB0,且D(A)的直徑為d,則γ(A)≤3d,并且上界是可以達(dá)到的.

證明因?yàn)锳∈PB0,由定理2知D(A)具有有限的直徑,設(shè)D(A)的直徑為d,由A∈PB0知,D(A)是一個(gè)沒有自環(huán)且至少含有一個(gè)2圈的本原圖,設(shè)D(A)的一個(gè)2圈為Γ2,且設(shè)Γ2上的兩個(gè)點(diǎn)為i,j,則i,j點(diǎn)在圖D(A2)中均有自環(huán),由引理3知D(A2)的直徑≤d,于是圖D(A2)中i點(diǎn)或j點(diǎn)到圖D(A2)中的任何一點(diǎn)都有長度恰為d的途徑,從而在圖D(A)中i點(diǎn)和j點(diǎn)到圖D(A)中的任何一點(diǎn)都分別有長度恰為2d的途徑;在圖D(A)中任取兩點(diǎn)u,v,由于D(A)的直徑為d,易知從u點(diǎn)用長度恰為m≥d(m是不小于d的任意一個(gè)正整數(shù))的途徑可以到達(dá)圖D(A)中的i點(diǎn)或j點(diǎn),而i點(diǎn)或j點(diǎn)又可用長度恰為2d的途徑到達(dá)圖D(A)中的v點(diǎn),于是對(duì)于圖D(A)的任意兩點(diǎn)u,v,u點(diǎn)到v點(diǎn)都存在長度恰為m+2d(m≥d是任意一個(gè)正整數(shù))的途徑,于是由局部本原指數(shù)的定義得:γ(u,v)≤3d,注意到u,v兩點(diǎn)的任意性得γ(A)≤3d;上界的可達(dá)性證明由下一節(jié)給出.

4 無限布爾方陣類PB0的本原指數(shù)集的刻劃

定理4={2,3,…,3d}(d≥3).

本文我們使用下列記號(hào):設(shè)D是一個(gè)無限階有向圖,用(i,j)表示頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j的一條弧,[i,j]表示頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j之間的雙向連通邊,即一個(gè)2圈.

定理5{2,3,…,d+1,d+2}?(d≥3).

證明(1)設(shè)3≤k≤d(d≥3),考慮下列無限階有向圖D=D(V,E),其中V= {1,2,…,d,…},E={(1,2),(2,3),…,(k?2,k?1),[k?1,k];(k,1),(k,2),…,(k,k?2); [k,k+1],[k,k+2],[k,k+3],…}.易知,圖D=D(V,E)強(qiáng)連通,沒有自環(huán),有2圈和3圈,且直徑≤d,即D=D(V,E)的鄰接無限布爾方陣A∈P;取圖D=D(V,E)中圈長為2和3的集合R={2,3},則由引理1知,Frobenius數(shù)φR=2,考慮圖中1點(diǎn)和k+1點(diǎn),顯然dR(1,k+1)=k,于是由引理2知γ(1,k+1)≤k+2,但1點(diǎn)到k+1點(diǎn)顯然沒有長為k+1的途徑,故有γ(1,k+1)=k+2,另一方面易知dR(i,j)≤k(i,j=1,2,3,…),于是有γ(i,j)≤k+2(i,j=1,2,3,…),故有γ(D)=k+2(3≤k≤d),即{5,6,…,d+1,d+2}?;

(2)考慮主對(duì)角線上的元素均為零,其余元素均為1的無限布爾方陣A,易知γ(A)= 2即2∈;

(3)考慮下列無限有向圖D=D(V,E),其中E={[1,2],(3,1);[i,j](i/=j且i,j= 2,3,…)},V={1,2,…,d,…}.顯然D=D(V,E)強(qiáng)連通,沒有自環(huán),有2圈和3圈,且直徑為2,則D所對(duì)應(yīng)的鄰接無限布爾方陣A∈P;易驗(yàn)證A和A2都不是全1矩陣,而A3是全1矩陣,于是γ(A)=3即γ(D)=3,所以3∈

(4)考慮下列無限有向圖D=D(V,E),其中V={1,2,…,d,…},E={[1,2];[2,3],[2,4],[2,5],…;[3,4]}.顯然圖D=D(V,E)強(qiáng)連通,沒有自環(huán),有2圈和3圈,且直徑為2,即所對(duì)應(yīng)的無限布爾方陣A∈P;取圖D=D(V,E)中圈長的集合R={2,3},考慮圖中1點(diǎn)和5點(diǎn),顯然dR(1,5)=2,Frobenius數(shù)φR(2,3)=2,于是γ(1,5)≤4,但顯然1點(diǎn)到5點(diǎn)沒有長為3的途徑,故有γ(1,5)=4,另一方面顯然dR(i,j)≤2(i,j=1,2,3,…),于是有γ(i,j)≤4(i,j=1,2,3,…),故γ(D)=4,即4∈.

定理6{d+3,d+4,…,2d}?(d≥3).

證明設(shè)3≤k≤d(d≥3),考慮下列無限階有向圖D=D(V,E),其中V= {1,2,…,d,…},E={[1,2],[2,3],[3,4],…;[k?2,k?1],[k?1,k];(k,k+1),(k+1,k+2),…,(d?1,d),(d,d+1);(d+1,1);(3,1),(4,2),…,(k,k?2);[2,d+2],[2,d+3],[2,d+4],…}.易知,圖D= D(V,E)強(qiáng)連通,沒有自環(huán),有2圈和3圈,且直徑=d,即D=D(V,E)的鄰接無限布爾方陣A∈P;取圖D=D(V,E)中圈長為2和3的集合R={2,3},則Frobenius數(shù)φR=2,考慮圖中k+1點(diǎn)和d+1點(diǎn),顯然dR(k+1,d+1)=(d?k)+(d+1),由引理2知,γ(k+1,d+1)≤2d?k+3,顯然k+1點(diǎn)到d+1點(diǎn)沒有長為2d?k+2的途徑,故有γ(k+1,d+1)=2d?k+3;另一方面顯然dR(i,j)≤2d?k+1(i,j=1,2,3,…),于是有γ(i,j)≤2d?k+3(i,j=1,2,3,…),故有γ(D)=2d?k+3(3≤k≤d),即{d+3,d+4,…,2d}?,(d≥3).

定理7當(dāng)d為奇數(shù)時(shí),{2d+1,2d+2,…,3d}?,(d≥3).

證明(1)設(shè)4≤k≤d+2(d≥3),考慮下列無限階有向圖D=D(V,E),其中V= {1,2,…,d,…},E={(1,2),[2,3],(3,4);[4,5],[5,6],…,[k?2,k?1];(k?1,k),(k,k+1), (k+1,k+2),…,(d,d+1),(d+1,d+2);(1,3),(2,4);(d+2,1);[3,3+d],[3,d+4],[3,d+ 5],…;(d+3,1),(d+4,1),(d+5,1),…}.易知,圖D=D(V,E)強(qiáng)連通,沒有自環(huán),有2圈和只有長為d+2的奇圈,且直徑=d,即D=D(V,E)的鄰接方陣A∈P;取圖D=D(V,E)中圈長為2和d+2的集合R={2,d+2},則由引理2知,Frobenius數(shù)φR=d+1,考慮圖中k點(diǎn)和d+2點(diǎn),顯然dR(k,d+2)=(d+2?k)+(d+1),于是由引理2知γ(k,d+2)≤3d?k+4,易知k點(diǎn)到d+2點(diǎn)沒有長為3d?k+3的途徑,故有γ(k,d+2)=3d?k+4,另一方面易證dR(i,j)≤2d?k+3(i,j=1,2,3,…),于是有γ(i,j)≤3d?k+4(i,j=1,2,3,…),故有γ(D)=3d?k+4(4≤k≤d+2),即{2d+2,2d+3,…,3d}?,(d≥3);

(2)考慮下列無限階有向圖D=D(V,E),其中V={1,2,…,d,…},E={[1,2];(2,3), (3,4),…,(d?1,d),(d,d+1);(d+1,1);[2,d+2],[2,d+3],[2,d+4],…;[1,d+2],[1,d+3],[1,d+ 4],…}.易知,圖D=D(V,E)強(qiáng)連通,沒有自環(huán),有2圈和3圈,且直徑=d,即D=D(V,E)的鄰接無限布爾方陣A∈P;取圖D=D(V,E)中圈長的集合R={2,3},則Frobenius數(shù)φR= 2,考慮圖中3點(diǎn)和d+1點(diǎn),顯然dR(3,d+1)=(d?2)+(d+1),于是γ(3,d+1)≤2d+1,且易知3點(diǎn)到d+1點(diǎn)沒有長為2d的途徑,故有γ(3,d+1)=2d+1,另一方面易證dR(i,j)≤2d?1(i,j=1,2,3,…),于是有γ(i,j)≤2d+1(i,j=1,2,3,…),故有γ(D)=2d+1,即2d+1∈(d≥3);綜合(1),(2)就證明了,當(dāng)d為奇數(shù)時(shí){2d+1,2d+2,…,3d}?,(d≥3且為奇數(shù)).

定理8當(dāng)d為偶數(shù)時(shí),{2d+1,2d+2,…,3d}?,(d≥3).

證明(1)4≤k≤d+2(d≥3),考慮下列無限階有向圖D=D(V,E),其中V= {1,2,…,d,…},E={(1,2),[2,3],(3,4);[4,5],[5,6],…,[k?2,k?1];(k?1,k),(k,k+1),…,(d, d+1),(d+1,d+2);(1,3),(2,4);(d+2,1);[3,d+3],[3,d+4],[3,d+5],…;(d+3,1),(d+ 4,1),(d+5,1),…}.易知,圖D=D(V,E)強(qiáng)連通,沒有自環(huán),有2圈,且只有長為d+1的奇圈且直徑=d,即D=D(V,E)的鄰接方陣A∈P;取圖D=D(V,E)中圈長為2和d+1的集合R={2,d+1},則Frobenius數(shù)φR=d,考慮圖中k點(diǎn)和d+2點(diǎn),顯然dR(k,d+2)=(d+2?k)+(d+1),于是γ(k,d+2)≤3d?k+3,且易知k點(diǎn)到d+2點(diǎn)沒有長為3d?k+2的途徑,故有γ(k,d+2)=3d?k+3,另一方面易證dR(i,j)≤3d?k+3(i,j= 1,2,3,…),于是有γ(i,j)≤3d?k+3(i,j=1,2,3,…),故有γ(D)=3d?k+3(4≤k≤d+2),即{2d+1,2d+2,…,3d?1}?,(d≥3).

(2)考慮下列無限階有向圖D=D(V,E),其中V={1,2,…,d,…},E={[1,2];(2,3), (3,4),…,(d?1,d),(d,d+1),(d+1,d+2);(1,3);(d+2,1),(d+2,2);[2,d+3],[2,d+4],[2,d+ 5],…;(d+3,3),(d+4,3),…;(d+2,d+3),(d+2,d+4),(d+2,d+5),…}.易知,圖D= D(V,E)強(qiáng)連通,沒有自環(huán),有2圈,且只有長為d+1的奇圈,且直徑=d,即D=D(V,E)的鄰接方陣A∈P;取圖D=D(V,E)中圈長的集合R={2,d+1},則Frobenius數(shù)φR=d,考慮圖D=D(V,E)中3點(diǎn)和d+2點(diǎn),顯然dR(3,d+2)=(d?1)+(d+1),于是γ(3,d+2)≤3d,且易知3點(diǎn)到d+2點(diǎn)沒有長為3d?1的途徑,故有γ(3,d+2)=3d,另一方面易證dR(i,j)≤2d(i,j=1,2,3,…),于是有γ(i,j)≤3d(i,j=1,2,3,…),故有γ(D)=3d,即3d?,(d≥3).(且d為偶數(shù));

綜合(1)、(2)就證明了,當(dāng)d為偶數(shù)時(shí),{2d+1,2d+2,…,3d}?(d≥3且d為偶數(shù)).綜合定理5到定理8我們就證明了定理4的結(jié)論成立.

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On primitive exponent set for the class of primitive infinite Boolean matrices with girth 2

ZHANG De-quan,LI Xiu-qing
(Department of Computer Science,Guilin College of Aerospace Technology,Guilin541004,China)

This paper studies the primitiveness of infinite Boolean matrices with girth 2.And it offers the least upper bound of the primitive exponent through the diameter of the infinite digraph D(A).In the end we completely determine the primitive exponent set of the matrices which are class of primitive infinite Boolean matrices with girth 2 and whose diameters are not more than d is={2,3,…,3d}.

infinite Boolean matrices,primitive exponent,digraph,diameter

O157.5

A

1008-5513(2009)03-0464-06

2008-12-30.

廣西區(qū)教育廳科研項(xiàng)目(桂教科研[2006]26號(hào)).

張德全(1959-),副教授,研究方向：組合數(shù)學(xué).

2000MSC:05C50