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    具有Clifford斷面的正則純正半群

    2009-07-05 14:21:18孫京鋒邵勇
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)系西北大學(xué)正則

    孫京鋒,邵勇

    (西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

    具有Clifford斷面的正則純正半群

    孫京鋒,邵勇

    (西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

    給出了具有Clifford斷面的右正規(guī)純正半群的等價刻畫,得到了具有Clifford斷面的正則純正半群的次直積分解,證明了具有Clifford斷面的正則純正半群一定是正則純正群.

    同余;正則純正半群;Clifford斷面;次直積

    1 預(yù)備知識

    設(shè)S為半群,a∈S,如果存在x∈S,滿足axa=a,則稱a為正則的.如果對于任意的a∈S,a都是正則的,則稱S為正則半群[1].

    定義1[1]稱正則半群S為純正半群,若S的冪等元之集E(S)是S的子半群.

    設(shè)S為純正半群,E(S)為S的冪等元之集.若E(S)為左正則帶,即對任意的x,y∈E(S) 有xyx=xy,則稱S為左逆半群[6].若E(S)為右正則帶,即對任意的x,y∈E(S)有xyx= yx,則稱S為右逆半群[6].若E(S)為正則帶,即對任意的x,y,z∈E(S)有xyxzx=xyzx,則稱S為正則純正半群.

    設(shè)S為半群.a∈S,如果有aa'a=a和a'aa'=a'成立,則稱a'為a的逆元.用V(a)來表示a的逆元的全體.若對于任意的a∈S,|V(a)|=1,則稱S為逆半群.

    定義2[3]設(shè)S為正則半群.S的逆子半群S?稱為S的逆斷面,如果S?含且只含有S的每個元的一個逆元,即對于任意的x∈S,|V(x)∩S?|=1.

    x在逆斷面S?中的唯一逆元記作x?,并且用x??來表示(x?)?.

    命題1[4,5]設(shè)S是具有逆斷面S?的正則半群,則下列結(jié)論成立:

    (η)S是純正的當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的a,b∈S,(ab)?=b?a?.

    (ε)若S是(左,右)正規(guī)純正半群,則對于任意的a,b,c∈S有a?bc?=a?b??c?.

    2 主要結(jié)論

    設(shè)S為具有逆斷面S?的正則半群.若S?為Clifford半群,即對任意的a∈S?有a?a= aa?,則稱S?為Clifford斷面.這樣,就有

    引理1設(shè)S是具有逆斷面S?的純正半群.若V(x)=V(x?x2),則S?為Clifford斷面.

    證明我們只需證明x?x??=x??x?.

    對于任意的x∈S有

    于是就有x??x?=x?x??.故S?為Clifford斷面.

    設(shè)S是純正半群,E(S)為S的冪等元之集.若E(S)為右正規(guī)帶[2],即對任意的e,f,g∈E(S)有ef g=f eg,則稱S為右正規(guī)純正半群.若E(S)為左正規(guī)帶[2],即對任意的e,f,g∈E(S)有ef g=egf,則稱S為左正規(guī)純正半群.

    設(shè)S為半群.稱S為完全正則半群[2],是指S的每一個H-類都是S的子群.純正的完全正則半群稱為純正群[2].設(shè)S為純正群,E(S)為其冪等元之集.若E(S)為右正規(guī)帶,則稱S為右正規(guī)純正群.若E(S)為左正規(guī)帶,則稱S為左正規(guī)純正群.這樣,就有下面引理.

    引理2若S為具有逆斷面S?的右正規(guī)純正半群,則下列命題等價:

    這樣,我們得到本節(jié)的主要結(jié)果.

    定理3設(shè)S為具有Clifford斷面的正則純正半群,則S為正則純正群.

    證明由定理2知S/σ為左逆半群,且S?/σ為S/σ的Clifford斷面.由推論1知S/σ為左正則純正群.由推論2知S/η為右逆半群,且S?/η為S/η逆斷面.由定理1知S/η為右正則純正群.于是,由引理4可得S同構(gòu)于左正則純正群S/σ與右正則純正群S/η的次直積.從而,S為完全正則的.故S為正則純正群.

    [1]How ie JM.Fundam entals of Sem igroup Theory[M].Oxford:Oxford Science Publication,1995.

    [2]Petrich M,Reilly NR.Com p letely Regular Sem igroups[M].New York:W iley,1999.

    [3]B lyth TS,M cfadden R.Regular sem igroups with a mu ltip licative inverse transversal[J].Proc.Roy.Soc. Edinburgh,1982,92A:253-270.

    [4]B lyth TS,A lem ida Santos MH.Congruence associated with inverse transversals[J].Collect.Math.1995, 46:35-48.

    [5]Blyth TS,A lem ida Santos MH.Amenable orders associated with inverse transversals[J].Journal of A lgebra, 2001,240:143-164.

    [6]M iyuki Yamada.Note on a certain class of orthodox sem igroups.Sem igroup Forum[J],1973,6:180-188.

    Onregular orthodox sem igroups with Clifford transversals

    SUN Jing-feng,SHAO Yong

    (Department of Mathematics,Northwest University,Xi’an 710127,China)

    We givean equivalent characterization of right norm alorthodox sem igroup with a Clifford transversal and obtain the decom position of subdirect product of regular orthodox sem igroups with Clifford transversals. We also prove that a regu lar orthodox sem igroup with a Clifford transversal is a regular orthogroup.

    congruence,regular orthodox sem igroup,Clifford transversal,subdirect product

    O152.7

    A

    1008-5513(2009)02-0310-05

    2008-05-21.

    國家自然科學(xué)基金(10471112),陜西省教育廳自然科學(xué)專項(xiàng)基金(07JK 413).

    孫京鋒(1982-),碩士,研究方向:半群代數(shù)理論.

    2000M SC:20M 10,06B10

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