小波變換分析信號(hào)的瞬時(shí)頻率分析

姜 敏

[摘要]小波變換可以用來(lái)取代短時(shí)DFT,已經(jīng)成為數(shù)字信號(hào)處理(DSP)的主流部分。在數(shù)字信號(hào)處理中,小波的尺度和頻率有密切的關(guān)系。分析多個(gè)信號(hào)時(shí)不存在交差項(xiàng)的干擾,能夠克服時(shí)頻分布固有的缺點(diǎn)。

[關(guān)鍵詞]小波變換信號(hào)頻率

中圖分類號(hào):TM1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1671-7597(2009)1210038-01

像Fourier序列一樣,小波變換也是把一個(gè)信號(hào)分解成它的分量,對(duì)Fourier序列來(lái)說(shuō),分量是正弦和余弦(或等價(jià)的復(fù)指數(shù)),對(duì)小波變換來(lái)說(shuō),分量是小波。

小波變換對(duì)分析時(shí)變信號(hào)特別有用,也就是說(shuō)特征隨時(shí)間變化的信號(hào)。DFT不能將特性隨時(shí)間變化的信號(hào)(即非平穩(wěn)信號(hào))與特性不隨時(shí)間變化的信號(hào)(即平穩(wěn)信號(hào))區(qū)分開(kāi)來(lái)。雖然采用較短的窗可以改進(jìn)DFT對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析能力,但牽連到分辨率的問(wèn)題。如果采樣頻率保持不變,窗越短采樣點(diǎn)就越少,這意味著DFT不能夠提供更多關(guān)于信號(hào)真實(shí)頻率的細(xì)節(jié),較短的窗意味著好的時(shí)間分辨率,因?yàn)樗峁┓浅＞植康募?xì)節(jié),但是頻率分辨率很差,這是因?yàn)橛^測(cè)信號(hào)特性的時(shí)間太短。提高頻率分辨率唯一的方法就是將窗加長(zhǎng),但這樣一來(lái)又降低了時(shí)間分辨率,因?yàn)镈FT不能精確地描述窗內(nèi)的信號(hào)特性。因此,好的時(shí)間分辨率和好的頻率分辨率不可能同時(shí)達(dá)到。除了選擇合適的窗長(zhǎng)度這個(gè)問(wèn)題之外,若沒(méi)有大量關(guān)于信號(hào)的信息,選取合適的窗邊界位置也是很困難的。所以試圖用多個(gè)窗來(lái)處理非平穩(wěn)信號(hào)是困難和不切實(shí)際的。

小波分析方法是一種窗口大小(即窗口面積)固定但形狀可改變,時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局部化分析方法。信號(hào)分析一般是為了獲得時(shí)間和頻率域之間的相互關(guān)系。傅立葉變換提供了有關(guān)頻率域的信息,但時(shí)間方面的局部化信息卻基本丟失。與傅立葉變換不同,小波變換通過(guò)平移母小波(Mother Wavelet)可獲得信號(hào)的時(shí)間信息,而通過(guò)縮放小波的寬度(或者叫做尺度)可獲得信號(hào)的頻率特性。對(duì)母小波的縮放和平移操作是為了計(jì)算小波的系數(shù),這些系數(shù)代表小波和局部信號(hào)之間的相互關(guān)系。

小波變換可以用來(lái)取代短時(shí)DFT,已經(jīng)成為數(shù)字信號(hào)處理(DSP)的主流部分。小波變換的最主要的特點(diǎn)是,它用不同的分辨率分析信號(hào)中不同的頻率分量。對(duì)于高頻分量采用好的時(shí)間分辨率,因?yàn)樾盘?hào)變化非常快,重要的是要了解信號(hào)的高頻分量何時(shí)出現(xiàn)何時(shí)消失。這相當(dāng)于采用一個(gè)窄的窗,意味著頻率分辨率將相對(duì)較差。對(duì)于低頻信號(hào)分量,由于信號(hào)變化慢,較低的時(shí)間分辨率是可以接受的。這相當(dāng)于采用一個(gè)寬的窗,意味著較長(zhǎng)的信號(hào)采樣時(shí)間和較好的頻率分辨率,而這是有好處的,因?yàn)槿绱舜罅康男畔⑹沟靡暂^低頻率出現(xiàn)的聲音能夠識(shí)別。

為了實(shí)現(xiàn)在不同頻率上的不同分辨率,需要不同尺度的函數(shù)概念。就像地圖上的比例尺一樣,小的尺度顯示細(xì)節(jié),而大的尺度只顯示總的特征。函數(shù)的尺度變換形式是函數(shù),對(duì)于任何尺度s。當(dāng)時(shí),得到一個(gè)較低頻率的函數(shù):它表示基尺度的擴(kuò)大,能夠描述信號(hào)緩慢變化的趨勢(shì)。當(dāng) 時(shí),得到一個(gè)較高頻率的函數(shù),基尺度的縮小能夠描述快速變化信號(hào)的細(xì)節(jié)。尺度是與頻率成反比的。也就是說(shuō)對(duì)某一個(gè)常數(shù),尺度=/頻率。

下面舉例說(shuō)明用小波變換分析信號(hào)時(shí)頻分布問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)。假設(shè)一個(gè)線性調(diào)頻信號(hào),它是信號(hào)處理中廣泛應(yīng)用的信號(hào)形式,我們可以用小波變換提取它的頻率參數(shù)。信號(hào)的頻率在時(shí)間間隔64s內(nèi)從0.1變化到0.5,信號(hào)采樣數(shù)目N=500。定義偽頻率(pseudo-frequencies)為根據(jù)小波尺度A,小波函數(shù)name和采樣間隔計(jì)算出的頻率。下面是從理論上得出的小波變換提取的偽頻率與信號(hào)實(shí)際頻率的關(guān)系。

對(duì)一個(gè)線性調(diào)頻信號(hào),頻率平滑地從0.1變化到0.5。連續(xù)小波變換是信號(hào)時(shí)-頻分析的另一種重要工具。它的時(shí)頻窗在低頻時(shí)自動(dòng)變寬,而在高頻時(shí)自動(dòng)變窄,具有自動(dòng)變焦作用。結(jié)果,在很短暫的高頻現(xiàn)象上,小波變換能比窗口Fourier變換更好地“移近”觀察。

利用小波處理工具箱scal2frq、cwt、centfrq等函數(shù)對(duì)上述過(guò)程進(jìn)行仿真,分別畫出時(shí)間-尺度圖,和時(shí)間-頻率圖,如圖1所示,這里只畫出了它的2維等高線圖(Contour)。由圖可以看出線性調(diào)頻信號(hào)的頻率變化為0.1～0.5Hz,與實(shí)際信號(hào)一致,利用小波得出了信號(hào)的參數(shù)?？墒欠直媛蔬€不令人滿意,利用多層分解也許會(huì)解決這個(gè)問(wèn)題。

圖1(a) LFM信號(hào)時(shí)間-尺度圖圖1(b) LFM信號(hào)時(shí)間-頻率圖

短時(shí)Fourier變換、小波變換和Gabor變換是三種線性的時(shí)頻表示,他們使用時(shí)間和頻率的聯(lián)合函數(shù)(取線性變換形式)描述信號(hào)的頻譜隨時(shí)間的變化情況。時(shí)頻分布是非平穩(wěn)的一種非線性變換,使用時(shí)間和頻率的聯(lián)合函數(shù)來(lái)描述信號(hào)的能量密度隨時(shí)間變化的情況。非平穩(wěn)信號(hào)的這種“能量化”表示簡(jiǎn)稱為信號(hào)的時(shí)頻分布。

利用Wigner-Ville時(shí)頻分布(WVD)、連續(xù)小波變換(CWT)估計(jì)出的兩個(gè)LFM信號(hào)的時(shí)頻等高線圖,分別如圖2(a)、圖2(b)所示。

圖2(a) WVD得出的兩個(gè)LFM信號(hào)時(shí)頻圖

圖2(b) CWT得出的兩個(gè)LFM信號(hào)時(shí)頻圖

從上面的圖形可以看出,在數(shù)字信號(hào)處理中,小波的尺度和頻率有密切的關(guān)系,且由于小波是一種線性的時(shí)頻表示,當(dāng)分析多個(gè)信號(hào)時(shí)不存在交差項(xiàng)的干擾,能夠克服時(shí)頻分布固有的缺點(diǎn)。當(dāng)分析相位編碼信號(hào)和多相信號(hào)等由于交叉項(xiàng)影響很難提取信號(hào)參數(shù)的問(wèn)題時(shí),好處顯而易見(jiàn)。