淺談“最短路線”問(wèn)題

雷慶蘭

摘要:文章從例1出發(fā),糾正了同學(xué)們?cè)诮忸}中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤想法,給出了例1的解答過(guò)程,并從解答中提出問(wèn)題,展開(kāi)進(jìn)一步的分析,得出結(jié)論,讓同學(xué)們對(duì)“最短路線”問(wèn)題有更清楚的認(rèn)識(shí)。接著將例2作為思考題加以鞏固。最后總結(jié)解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路。

關(guān)鍵詞:最短路線;展開(kāi)圖;總結(jié)

中圖分類(lèi)號(hào):G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1006-8937(2009)18-0177-01

我們先看下面的問(wèn)題。例1,問(wèn)題一:已知圓柱的底面半徑為4cm,高為6cm,當(dāng)螞蟻從A爬行到B點(diǎn),螞蟻爬行最短路線的長(zhǎng)度為多少?小明方案:從A到C,再由C到B是最短的,即AC+CB。小亮方案:畫(huà)出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖,在Rt△ABC中,CB=4 cm,AC=6cm,AB是最短的。你認(rèn)為誰(shuí)有道理,請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以解釋。問(wèn)題二:探究當(dāng)高度為4cm,其它條件不變時(shí),情況又是怎樣呢?這是一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。讀完題目后,很多同學(xué)會(huì)有下面的想法:

①有的同學(xué)認(rèn)為:根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”,連結(jié)AB,線段AB即為最短路線,如圖1—1。這種想法是錯(cuò)誤的。因?yàn)槲浵伿窃趫A柱體的表面爬行,它不可能按線段AB這個(gè)路線爬行。

②有的同學(xué)認(rèn)為:還有一種方案,從A到C,再走弧CB。這也是一條爬行的路線,但是CB=8cm,而弧CB=4 cm,即弧CB>線段CB。因此,這種方案與小明的方案相比,顯然小明的方案更符合題意。

③有的同學(xué)認(rèn)為:根據(jù)“三角形中任意兩邊之和大于第三邊”,即AC+CB>AB,所以不需通過(guò)計(jì)算可知,小亮的方案有道理。這種想法也是錯(cuò)誤的。因?yàn)镃B為圓柱的底面直徑,而CB為弧CB的長(zhǎng)度,即圓柱底面圓周長(zhǎng)的一半,因此無(wú)法直接比較AC+CB與AB的大小,還需根據(jù)已知條件,通過(guò)計(jì)算得出答案。

問(wèn)題正確的解答過(guò)程如下:

解:(1)依題意可得:

小明所求長(zhǎng)度為:AC+CB=6+4×2=6+8=14cm

在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理得

小亮所求長(zhǎng)度為:AB= cm

∵193.75< =196 ∴AB

∴小亮所選擇的路線最短,即螞蟻爬行最短的路線長(zhǎng)度為cm。

(2)依題意可得:AC+CB=4+4×2=12cmAB= cm

∵173.75> =144

∴AB>AC+CB

∴小明所選擇的路線最短,即螞蟻爬行最短的路線長(zhǎng)度為12cm。

由問(wèn)題的解答過(guò)程,我們發(fā)現(xiàn):(1)中小亮所選擇路線最短,而(2)中小明所選擇路線最短。那有的同學(xué)會(huì)問(wèn):這兩種路線的長(zhǎng)度有可能相等嗎?為解決這個(gè)問(wèn)題,我們可以設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,當(dāng)AC+CB=AB時(shí),當(dāng) 時(shí),AC+CB=AB,即兩種路線的長(zhǎng)度相等,當(dāng) 時(shí), AC+CB>AB,即AB是最短的,按小亮所選的路線爬行,當(dāng) 時(shí), AC+CB

因此,螞蟻有2條可行的路線,但按哪條路線爬行是最短的,還與題中h、r的取值有關(guān)。(注:在解題過(guò)程中, 取3.14,取近似值時(shí)保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位)

有興趣的同學(xué)可以思考下面的這道題。

例2是一個(gè)長(zhǎng)方體底座,AB=10m,BC=3m,BF=4m,求一只小甲蟲(chóng)從點(diǎn)A 出發(fā)爬到G最短的路徑為多少?

分析:本題的關(guān)鍵是畫(huà)出長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖,通過(guò)分類(lèi)討論再比較哪條路徑最短。

你是這樣想的嗎?

解:分3種情況討論:

(1)將前面與右面展開(kāi)。

根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”,連結(jié)AG。

在Rt△ACG中,AC=AB+BC=10+ 3=13m,CG=4m,由勾股定理得路徑AG= m

(2)將下面與右面展開(kāi),連結(jié)AG。

在Rt△AFG中,AF=AB+BF=10+ 4=14m,FG=3m,由勾股定理得路徑AG= m

(3)將前面與上面展開(kāi),如圖2—4,連結(jié)AG。

在Rt△ABG中,BG=BF+FG=4+ 3=7m,AB=10m,由勾股定理得路徑AG= m

∴路徑(3)方式爬行的路徑最短,即最短的路徑為 m。

綜上所述,解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路為:找出符合題意的路線(可能有2種或2種以上),如果不能直接得出它們長(zhǎng)度的大小關(guān)系,就通過(guò)計(jì)算比較,選擇路線,得出答案。

參考文獻(xiàn):

[1] 伍鵬.在線課堂,八年級(jí)數(shù)學(xué)[M].上海:龍門(mén)書(shū)局出版社.

2008.