兩種神奇的拓?fù)鋱D形

潘楷林

拓?fù)鋵W(xué)是19世紀(jì)發(fā)展起來的一個(gè)重要的幾何分支。早在歐拉或更早的時(shí)代，就已有拓?fù)鋵W(xué)的萌芽，那時(shí)候發(fā)現(xiàn)的個(gè)別問題，例如哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等，都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史上的重要問題，后來在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。拓?fù)渌芯康氖菐缀螆D形的一些性質(zhì)，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同的點(diǎn)重合為同一個(gè)點(diǎn)，又不產(chǎn)生新點(diǎn)，換句話說，這種變換的條件是：在原來圖形的點(diǎn)與變換了圖形的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，并且鄰近的點(diǎn)還是鄰近

的點(diǎn)，這樣的變換叫做拓?fù)渥儞Q。拓?fù)溆幸粋€(gè)形象的說法——橡皮幾何學(xué)：因?yàn)槿绻麍D形都是用橡皮做成的，就能把許多圖形進(jìn)行拓?fù)渥儞Q。例如一個(gè)橡皮圈能變形成一個(gè)圓圈或一個(gè)方圈，但是一個(gè)橡皮圈不能由拓?fù)渥儞Q成為一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字8，因?yàn)椴话讶ι系膬蓚€(gè)點(diǎn)重合在一起，圈就不會變成8。拓?fù)鋵W(xué)專家創(chuàng)造出了許許多多迷人的物體。今天我們就來認(rèn)識兩種神奇的拓?fù)鋱D形——莫比烏斯帶和克萊因瓶。

“莫比烏斯帶”

數(shù)學(xué)上流傳著這樣一個(gè)故事：有人曾提出，先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一介紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個(gè)紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個(gè)紙圈應(yīng)該怎樣粘?如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個(gè)面，勢必要涂完一個(gè)面再重新涂另一個(gè)面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個(gè)面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢?

曾作過著名數(shù)學(xué)家高斯助教的莫比烏斯(Mobius,1790—1868)，在1858年與另一位數(shù)學(xué)家各自獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了單側(cè)的曲面，其中最聞名的是“莫比烏斯帶”。如果想制作這種曲面，只要取一片長方紙條，把一個(gè)短邊扭轉(zhuǎn)180°，然后把這邊跟對邊粘貼起來，這樣就形成了一條“莫比烏斯帶”(如圖1所示)。這樣的紙帶已不再具有兩面，它只有單面。設(shè)想一只蜘蛛開始沿著莫比烏斯帶爬，那么它能夠爬遍整條帶子而無須跨越帶的邊緣。要證實(shí)這一點(diǎn)，只要拿一支鉛筆，筆不離紙連續(xù)地畫線。那么，你將會經(jīng)過整條的帶子，并返回你原先的起點(diǎn)。

莫比烏斯帶的另一個(gè)有趣的性質(zhì)，只要你沿著如圖2所示的帶子中央的虛線剪開，把這個(gè)圈一分為二，照理應(yīng)得到兩個(gè)圈兒，奇怪的是，剪開后竟然是一個(gè)大圈兒。如果在紙條上畫兩條線，把紙條三等分，再粘成“莫比烏斯圈”用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個(gè)圈竟然又回到原出發(fā)點(diǎn)。猜一猜，剪開后的結(jié)果是什么，是一個(gè)大圈，還是三個(gè)圈兒?都不是。它究竟是什么呢?同學(xué)們自己動(dòng)手做這個(gè)實(shí)驗(yàn)就知遭了。你就會驚奇地發(fā)現(xiàn)，紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出一個(gè)兩倍長的紙圈。有趣的是：新得到的這個(gè)較長的紙圈，本身卻是一個(gè)雙側(cè)曲面，它的兩條邊界自身雖不打結(jié)，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了!得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結(jié)罷了。

“莫比烏斯帶”有點(diǎn)神秘，一時(shí)又派不上用場，但是人們還是根據(jù)它的特性編出了一些故事。據(jù)說有一個(gè)小偷偷了一位很老實(shí)農(nóng)民的東西，并被當(dāng)場捕獲，將小偷送到縣衙，縣官發(fā)現(xiàn)小偷正是自己的兒子。于是在一

張紙條的正面寫上：小偷應(yīng)當(dāng)放掉，而在紙的反面寫了：農(nóng)民應(yīng)當(dāng)關(guān)押?？h官將紙條交給執(zhí)事官由他去辦理。聰明的執(zhí)事官將紙條扭了個(gè)彎，用手指將兩端捏在一起，然后向大家宣布：根據(jù)縣太爺?shù)拿罘诺艮r(nóng)民，關(guān)押小偷?？h官聽了大怒，責(zé)問執(zhí)事官。執(zhí)事官將紙條捏在手上給縣官看，從“應(yīng)當(dāng)”二字讀起，確實(shí)沒錯(cuò)。仔細(xì)觀看字跡，也沒有涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認(rèn)倒霉。

縣官知道執(zhí)事官在紙條上做了手腳，懷恨在心，伺機(jī)報(bào)復(fù)。一日，又拿了一張紙條，要執(zhí)事官一筆將正反兩面涂黑，否則就要將其拘役。執(zhí)事官不慌不忙地把紙條扭了一下，粘住兩端。提筆在紙環(huán)上一畫，又拆開兩端，只見紙條正反面均涂上黑色?？h官的毒計(jì)又落空了。

現(xiàn)實(shí)中可能根本不會發(fā)生這樣的故事，但是這個(gè)故事卻很好地反映出“莫比烏斯帶”的特點(diǎn)。

“莫比烏斯帶”在生活和生產(chǎn)中已經(jīng)有了一些用途。例如，用皮帶傳送的動(dòng)力機(jī)械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀，這樣皮帶就不會只磨損一面了。一種從莫比烏斯帶得到靈感的針式打印機(jī)色帶能使用更長的時(shí)間——因?yàn)榭梢愿玫睦谜麄€(gè)帶子。如果把錄音機(jī)的磁帶做成“莫比烏斯帶”狀，就不會存在正反兩面的問題，磁帶就只有一個(gè)面了。在世界特殊奧林匹克運(yùn)動(dòng)史上，莫比烏斯環(huán)也有著特殊的意義，它象征著連接起全世界智障人士的友誼，彰顯出特奧會所崇尚的“轉(zhuǎn)換一種生命方式，您將獲得無限發(fā)展”的理念。以2007年世界夏季特奧會會標(biāo)“眼神”為主題的紀(jì)念雕塑，其采用的就是象征著無限發(fā)展的莫比烏斯環(huán)。瑞典1982年發(fā)行的《不可能的圖形》郵票，圖案是一個(gè)古里古怪的圖形，如果你用指尖沿著這個(gè)古怪的圖形上任何一個(gè)面順著一個(gè)方向畫下去，結(jié)果會發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)在現(xiàn)實(shí)中不可能造出來的東西。但如果你就這樣一直順著畫下去。又會回到原來的出發(fā)點(diǎn)，似乎這個(gè)物體又不荒謬。其實(shí)這是一個(gè)立體化的“莫比烏斯圈”。發(fā)行這枚“不可能的圖形”郵票，意在引導(dǎo)人們關(guān)注科學(xué)，探索宇宙不解之謎。

“克萊因瓶”

莫比烏斯帶很神奇，但是，莫比烏斯帶具有一條非常明顯的邊界。這似乎是一種美中不足。公元1882年，另一位德國數(shù)學(xué)家費(fèi)力克斯·克萊茵(Felix Klein，1849—1925)，終于找到了一種自我封閉而沒有明顯邊界的模型，以他的名字命名的著名“瓶子”——“克萊因瓶”(如圖3所示)。這種怪瓶實(shí)際上可以看作是由一對莫比烏斯圈沿邊界粘合而成。如果把一個(gè)克萊因瓶適當(dāng)?shù)丶糸_來，我們就能得到兩條莫比烏斯帶。

這是一個(gè)像球面那樣封閉的(也就是說沒有邊)曲面，但是它卻只有一個(gè)面。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，克萊因瓶是

指一種無定向性的平面，比如二維平面，就沒有“內(nèi)部”和“外部”之分?！翱巳R因瓶”這個(gè)名字的翻譯其實(shí)是有些錯(cuò)誤的，因?yàn)樽畛跤玫抡Z命名的時(shí)候名字中“Flache”是表面的意思，大概是誤寫為“Flasche”，這個(gè)詞才是瓶子的意思。不過不要緊，“瓶子”這個(gè)詞用起來也非常合適。在圖片上我們看到，克萊因瓶的確就像是一個(gè)瓶子。它的結(jié)構(gòu)非常簡單，只是沒有瓶底，它的瓶頸被拉長，然后似乎是穿過了瓶壁，最后瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會得到一個(gè)輪胎面。

我們可以說一個(gè)球有兩個(gè)面——外面和內(nèi)面，如果一只螞蟻在一個(gè)球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一個(gè)洞，就無法爬到內(nèi)表面上去。輪胎面也是一樣，有內(nèi)外表面之分。但是克萊因瓶卻不同，我們很容易想象，一只爬在“瓶外”的螞蟻，可以輕松地通過瓶頸而爬到“瓶內(nèi)”去——事實(shí)上，克萊因瓶并無內(nèi)外之分。如果我們觀察克萊因瓶的圖片，有一點(diǎn)似乎令人困惑——克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點(diǎn)和瓶壁上的某些點(diǎn)占據(jù)了三維空間中的同一個(gè)位置。但是事實(shí)并非如此?？巳R因瓶是一個(gè)在四維空間中才可能真正表現(xiàn)出來的，曲面，如果我們一定要把它表現(xiàn)在我們生活的三維空間中。只好把它表現(xiàn)得似乎是自己和自己相交一樣。也就是說，克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，并不穿過瓶壁。如果我們把兩條莫比烏斯帶沿著它們唯一的邊粘合起來，就會得到一個(gè)克萊因瓶(當(dāng)然，我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個(gè)黏合，否則的話就不得不把紙撕破一點(diǎn))。同樣地。如果把一個(gè)克萊因瓶適當(dāng)?shù)丶糸_來，我們就能得到兩條莫比烏斯帶。除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的“8”字形克萊因瓶(如圖4所示)。它看起來和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中。它們其實(shí)就是同一個(gè)曲面——克萊因瓶。

克萊因瓶和莫比烏斯帶一樣，都是不可定向的。但是與之不同的是?？巳R因瓶是一個(gè)閉合的曲面，也就是說它沒有邊界。莫比烏斯帶可以嵌入到三維或更高維的歐幾里德空間，而克萊因瓶只能嵌入到四維或更高維?？臻g。