高考中應用題的新方向

張艷敏

(河北 唐山 遷西縣第二中學064300)

在新課標實施后，高考中在考查能力和素質上越來越突出。尤其在應用題的考查上比以往更靈活多變。以往在應用題的考查上只是與二次函數、均值不等式、數列等的一些簡單結合。而現在結合點越來越多，如：一，利用導數求解最值型的應用題；二，利用線性規(guī)劃求解最值型的應用題；三，與數列有關的應用題；四，與概率、期望、方差相結合的應用題等。

題型一 利用導數求解最值型的應用題。

例1．（06福建）統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數解析式可以表示為： 。已知甲、乙兩地相距100米。

（Ⅰ）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？

（Ⅱ）當汽車以多少速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油最少？最少為多少升？

分析：本小題主要考查函數、導數及應用等基本知識，考查運用數學知識分析和解決問題的能力。

解：（Ⅰ）當x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了 =2.5小時，

要耗油 （升）

答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油17.5升。

（Ⅱ）當速度x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了 小時，設耗油量為h（x）升，依題意得

）

令 =0，得x=80，

當x （0，80）時， 〈0，h（x）是減函數；當x（80，120）時， 〉0，h（x）是增函數。所以當x=80時，h（x）取得極小值h（80）=11.25。

因為h（x）在 上只有一個極值，所以它是最小值。

答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油最少，最少為11.25升。

【探究】函數在實際中的應用主要體現在通過建模求最值上，主要考查函數的單調性、導數等知識。特別是新教材引入以來，對導數的考查有所加強。一般考查通過求導數判斷單調性與最值函數的應用。有時侯也體現在方程的解等問題中，要注意函數與方程關系的互相轉化。

題型二 利用線性規(guī)劃求最值型的應用題。

例二（07山東）本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為 元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？

解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為 分鐘和 分鐘，總收益為 元，由題意得

目標函數為 ．

二元一次不等式組等價于

作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．

如圖：

作直線 ，

即 ．

平移直線 ，從圖中可知，當直線 過 點時，目標函數取得最大值．

聯(lián)立 解得 ．

點 的坐標為 ．

（元）

【探究】把實際問題轉化成線性規(guī)劃問題，包括兩方面：第一個是建模，建模是解決線性規(guī)劃問題的極為重要的環(huán)節(jié)，解決這個問題的關鍵是根據問題中的已知條件，找出約束條件和目標函數，并從數學角度有條理的表述出來；第二尋找整點最優(yōu)解的問題，求整點最優(yōu)解有兩種解法：平移法和調整優(yōu)值法。

題型三 與數列有關的應用題。

例三。（05上海）假設某市2004年新建住房400萬平方米,其中有250萬平方米是中低價房.預計在今后的若干年內,該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外,每年新建住房中,中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么,到哪一年底,

(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2004年為累計的第一年)將首次不少于4750萬平方米?

(2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?

[解](1)設中低價房面積形成數列{an},由題意可知{an}是等差數列,

其中a1=250,d=50,則Sn=250n+ =25n2+225n,

令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整數, ∴n≥10.

到2013年底,該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米.

(2)設新建住房面積形成數列{bn},由題意可知{bn}是等比數列,

其中b1=400,q=1.08,則bn=400?(1.08)n-1?0.85.

由題意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)?50>400?(1.08)n-1?0.85.

由計箅器解得滿足上述不等式的最小正整數n=6.

到2009年底,當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%

【探究】有關平均增長率、利率（復利）以及等值增減等問題，都需利用數列知識建立數學模型。

題型四 與概率、期望、方差等相結合的應用題。

例四（07全國Ⅰ）某商場經銷某商品,根據以往資料統(tǒng)計,顧客采用的付款期為ζ的分布列為

商場經銷一件該商品，采用1期付款，基利潤為200元；分2期或3期付款，基利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元.η表示經銷一件該商品的利潤.

(Ⅰ)求事件A：“購買該商品的3位顧客中，至少有1件位采用1期付款的概率P(A)；

(Ⅱ)求η的分布列及期Eη.

解：

（Ⅰ）由A表示事件：“購買該商品的3位顧客中至少有一位采用1期付款”，

知 表示事件：“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”

E =200 0.4+250 0.4+300 0.2

=240（元）

【探究】高考在選修部分的命題中，努力體現文理內容上的不同和要求水平上的不同文科試卷集中在抽樣方法，總體分布的估計，總體的期望值和方差；理科試卷則集中在離散型隨即變量的分布列、期望和方差上。處理有關離散型隨即變量的應用問題，關鍵在于根據實際問題確定恰當的隨即變量，迅速準確的運算出概率，求出期望和方差。

收稿日期：2009-03-28