小議添加輔助線

丘志華

(廣東省翁源縣鐵龍學(xué)校512629）

在平面幾何的解題中，我們常遇到有的命題必須添加輔助線才能把題目中的已知條件和結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，添加輔助線為解題創(chuàng)造了有利條件。在教學(xué)中如何教會(huì)學(xué)生恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線？下面從五方面談?wù)勌砑虞o助線的方法。

1.化為能直接運(yùn)用定理推論

所謂能直接運(yùn)用定理、推論，前提是學(xué)生必須熟悉定理推論和定義等，通過(guò)添加輔助線，就能直接運(yùn)用定理推論等解題。此法適合難度較小的題目。

例1，如圖，已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)。求證：∠BPC>∠BAC

分析：可以利用推論“三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角”，在連結(jié)AP并延長(zhǎng)到D后得到：∠BPD>∠BAD，∠DPC>∠DAC……。

例2，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=7。求CD的取值范圍。

分析：過(guò)D作DE∥AB,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)定理，則AD＝BE=3，AB＝DE=5

∴CE=BC-BE=7-3=4

在△CDE中，5-4

在例2中運(yùn)用了把梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行四邊形與一個(gè)三角形。

2.化分散為集中

所謂化分散為集中，就是通過(guò)添加輔助線將已知和未知中的有關(guān)幾何元素相對(duì)集中到同一個(gè)或兩個(gè)相關(guān)基本幾何圖形中去，使之產(chǎn)生聯(lián)系。

例3，如圖，已知，C為⊙O的直徑AB上的一點(diǎn)，DT是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，CE⊥DT于點(diǎn)E。

求證：AC?CB+CD2=CE?AB

分析：求證式有五條線段且此五條線段分散，從AC?CB聯(lián)想相交弦定理，延長(zhǎng)DC與⊙O相交于F，過(guò)O作直徑DG，連結(jié)GF，則有AC?BC=CD?CF,求證式變?yōu)镃D?CF+CD2=CE?ABCD?(CF+CD)=CE?ABCD?DF=CE?AB(至此把分散的五條線段變?yōu)榧械乃臈l線段），事實(shí)上易證△DGF∽△DGFDGDF=CDCECD?DF=CE?AB

∴AC?CB+CD2=CE?AB

3.化不規(guī)則為規(guī)則

所謂化不規(guī)則為規(guī)則，就是通過(guò)添加輔助線將不規(guī)則的幾何圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何圖形，使問題化難為易。

例4，如圖所示為某型號(hào)飛機(jī)機(jī)翼形狀，已知AB∥CD，根據(jù)圖示計(jì)算AD、BC、CD的長(zhǎng)度（精確到0.01m)

分析：分別過(guò)A、B向CD的延長(zhǎng)線引垂線交于E、F，得Rt△ADE和Rt△BCF，可求出AD＝AE2+DE2=42+42=42≈5.66(m)由COS∠FBC=BFBC，得BC＝4COS300≈4.62(m)CD＝CE-DE=(CF+EF)-DE=BC?sin30+AB-AE=……≈1.11（m）

4.化整體為部分

所謂化整體為部分，就是通過(guò)添加輔助線把復(fù)雜的幾何圖形分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何圖形，使問題化繁為簡(jiǎn)。以前求不規(guī)則圖形的面積曾經(jīng)用過(guò)此法。

例5，如圖，已知ABCD是圓的內(nèi)接正方形，P是〢B上的任意一點(diǎn)。

求證：PD?PC=PA?PB+PA?PD+PB?PC

分析：首先觀察圖形，由已知條件易知：∠DPC=∠APD=∠CPB=12(14×3600)=450，∠APB=3×450=1350∴sin∠DPC=sin∠APB=sin∠APD=sin∠CPB，再仔細(xì)分析欲證的結(jié)論，實(shí)質(zhì)是要證：S△PDC=：S△PAB+S△PAD+：S△PBC

既然這樣，我們能否考慮把△PDC分解成幾個(gè)三角形，這幾個(gè)三角形的面積分別與△PAB、△PBC、△PAD相等？為此，我們過(guò)P點(diǎn)試作PE⊥DC 于E，交AB于F，連結(jié)FD、FC，這樣便把△PDC分為四個(gè)小三角形，即△PDF、△PCF、△FDE、△FCE，由于底邊AD=FE，高度AF＝DE，∴S△PAD＝S△FDE，同理：S△PBC＝S△FCE,S△PAF＝S△PDF，S△PBF＝S△PCF

由于：S△PDC＝S△PDF+S△PCF+S△FDE+S△FCE

變?yōu)椋篠△PDC＝S△PAF+S△PBF+S△PAD+S△PBC

即：S△PDC＝S△PAD+S△PBC

∴PD?PC=PA?PB+PA?PD+PB?PC

5.化為圓內(nèi)知識(shí)

解平面幾何，有時(shí)需添加輔助圓，化為與圓有關(guān)的知識(shí)來(lái)解。

例6，如圖，在凸四邊形ABCD中，已知∠BAC＝250，∠BCA=200，∠BDC＝500，∠BDA=400若對(duì)角線AC、BD相交于P，求∠CPD的度數(shù)。

分析：直接求角仍會(huì)遇到困難，我們?nèi)酝ㄟ^(guò)作△ABC的外接圓來(lái)溝通角之間的關(guān)系。

作△ABC的外接圓，設(shè)BD的延長(zhǎng)線交外接圓于點(diǎn)K，連結(jié)AK、CK，則有∠AKB＝∠ACB＝200，又∵∠ADB=400，由三角形外角定理，得∠DAK＝∠ADB-∠AKB=400-200=200=∠AKB，∴DA=DK

同理：∠DCK＝250＝∠DKC，∴DC=DK,因此DA=DC=DK，可得D點(diǎn)是△ABC外接圓圓心，得BK就是圓的直徑∠BCK＝900，∠PCD=450,∴∠CPD=1800-500-450=850

總之添加輔助線的方法有多種，在圖形中常通過(guò)輔助線添加平行線、矩形、特殊的三角形等；在梯形中轉(zhuǎn)化為三角形、矩形和平行四邊形等；在圓中常利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”、連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑或直徑、利用切線與它們垂直的特點(diǎn)，有時(shí)也作過(guò)切點(diǎn)的弦，溝通弦切角與圓心角之間的聯(lián)系。兩圓相切時(shí)可作兩圓的公切線、連心線等。添加輔助線就像“架設(shè)橋梁”，只有恰當(dāng)?shù)丶茉O(shè)橋梁，才能順利地到達(dá)知識(shí)的彼岸。

收稿日期：2009-04-08