求最值八法

何友義

(湖南省衡陽(yáng)幼兒師范學(xué)校數(shù)學(xué)組421008）

職業(yè)高中數(shù)學(xué)的最值問題遍及代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何各科之中。由于它涉及的知識(shí)面廣，方法靈活，應(yīng)用廣泛，訓(xùn)練思維能力效果顯著，因此最值問題是歷來各類考試的熱點(diǎn)。本文介紹求最值的幾種方法，供大家參考。

一、觀察法

例1△ABC中，∠A＝120 ，BC=8,試判斷三角形是何種形狀時(shí)面積最大？面積的最大值是多少？

解：因?yàn)椤螦=120 （定角），BC=8（定長(zhǎng)），所以A點(diǎn)的軌跡是以BC為弦，含圓周角為120 的圓?。˙，C二點(diǎn)除外）。經(jīng)過觀察要使△ABC的面積最大，只要A點(diǎn)位于弧BC的中點(diǎn)即可，此時(shí)△ABC為等腰三角形，其面積最大，最大值為 。

二、反函數(shù)法

例2求函數(shù)y=x+ 的最大值

解：由y=x+ 解得，x=(y-1)± 由2-2y≥0,得定義域y≤1,前面移項(xiàng)后平方時(shí)，沒有增加y=x+ 的值域。故原函數(shù)的值域?yàn)閥≤1，即y的最大值為1。

三、二次函數(shù)法

例3求函數(shù)y= + 的最大值

解：函數(shù)的定義域?yàn)?[1，4]，當(dāng)x∈[1,4]時(shí)，有y＞0

所以y =x-1+4-x+2 =3+2 =3+2 ，當(dāng)x= 時(shí)，函數(shù)有最大值6

四、函數(shù)性質(zhì)法

例4求函數(shù)y=2cos(3x- )+2的最大值，最小值。

解：∵x∈R, cosx ≤1

∴cos(3x- ) ≤1

故 y-2 = 2cos(3x- ) ≤2

∴y的最大值為2+2，最小值為-2+2

五、判別式法

例5求函數(shù)y= 最大值

解：將原式變?yōu)椋▂-2）x +(y-2)x+y-3=0

∵x為實(shí)數(shù)，當(dāng)(y-2)≠0時(shí)，△=(y-2)-4（y-2）(y-3)≥0得2＜y≤

當(dāng)y-2=0時(shí)，有y-3=0即y=3,矛盾，

∴y≠2

∴y的最大值為

六、數(shù)形結(jié)合法

例6求函數(shù)y=—的最大值，最小值

解：由已知y≤0,兩邊平方，得y = （9—x ）=4—x ，

x + y =4，即 + =1（y≤0）因?yàn)閤 [—3，3]，可知函數(shù)的圖象是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸，半長(zhǎng)軸為3，半短軸為2，在x軸下方的半橢圓，所以知—2≤y≤0。故函數(shù)y=—最大值是0，最小值是—2。

七、變量代換法

例7求函數(shù)y= + 的最大值、最小值

解：由已知函數(shù)的定義域?yàn)?≤x≤1，可設(shè)x=sin（0≤ ≤ ）則有

y= + =sin + =sin +cos = sin（ + ），

當(dāng) = 時(shí)，函數(shù)y= + 的最大值是 ，當(dāng) =0、 時(shí)，函數(shù)y= + 的最小值是1。

八、復(fù)數(shù)法

例8求函數(shù)y= + 的最小值

解：設(shè)z =2a+xi，z =a+（a—x）i，則 = ， = 。

∵ + ≥ 。

∴y= + ≥ = =

= = =

∴函數(shù)y= + 的有最小值，最小值是。

收稿日期：2009-03-26