奇妙的數(shù)學(xué)語言教學(xué)

張鳳玲

我們天天接觸數(shù)學(xué)，但是很少有人對(duì)數(shù)學(xué)語言進(jìn)行專門系統(tǒng)的研究。譬如數(shù)學(xué)語言的產(chǎn)生、發(fā)展和形成；數(shù)學(xué)語言與一般語言有哪些不同，具有哪些特殊性；數(shù)學(xué)語言在促進(jìn)人類文明的過程中所起的作用；如何學(xué)好數(shù)學(xué)語言等等。從而使數(shù)學(xué)語言象漢語語言學(xué)那樣成為一門獨(dú)特的語言學(xué)科——數(shù)學(xué)語言學(xué)。本文只研究數(shù)學(xué)語言的特殊性。這種特殊性更多地是與一般語言（漢語語言）進(jìn)行比較而言的。下面只從數(shù)學(xué)符號(hào)的科學(xué)性、數(shù)學(xué)語言的簡潔性、二個(gè)方面進(jìn)行探討。

一、數(shù)學(xué)符號(hào)的科學(xué)性

數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)文字的主要形式，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)語言的基本成份。1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，這十個(gè)符號(hào)是全世界普遍采用的，它們表示了全部的數(shù)，書寫、運(yùn)算都十分方便。這10個(gè)符號(hào)常被稱為阿拉伯?dāng)?shù)字，實(shí)際上卻是印度人創(chuàng)造的，只是經(jīng)過阿拉伯傳到歐洲。這是印度對(duì)人類文明的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)，這一貢獻(xiàn)的意義也可能是今天的人們不易覺察的。18世紀(jì)一位法國著名數(shù)學(xué)家曾說過：“用不多的記號(hào)表示全部的數(shù)的思想，賦予它的除了形式上的意義外，還有位置上的意義?！?/p>

關(guān)于“位置上的意義”，指的是數(shù)字的進(jìn)位表達(dá)。比如說724，它實(shí)際上是7×100+2×10+4，可是它只需簡寫成724就明白了。此外還有空位的問題，假若有個(gè)數(shù)字是7×1000+2×100+4，那該怎么寫呢？現(xiàn)在我們是很容易回答了，不就寫為7204嗎？可是，在最初的數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)中是沒有0這個(gè)符號(hào)的。有的用一個(gè)點(diǎn)來表示：72?4有的用一個(gè)方格來表示；有的干脆就拉開一點(diǎn)寫，表示空一位；……但這些寫法的不準(zhǔn)確、不方便是顯而易見的。直到使用了0這個(gè)符號(hào)，問題才得以解決。

數(shù)學(xué)的簡潔不只表現(xiàn)在數(shù)字符號(hào)上，還表現(xiàn)在其他符號(hào)上，表現(xiàn)在命題的表述和論證上，表現(xiàn)在它的邏輯體系上，總之，表現(xiàn)在思維經(jīng)濟(jì)上。

數(shù)學(xué)符號(hào)有許多種，除了前面提到的數(shù)字符號(hào)外，還有代數(shù)的符號(hào)，通常用英文字母或希臘字母表示。在笛卡兒時(shí)代，以英文字母的開頭幾個(gè)表示已知數(shù)，如a、b、c、…，以英文字母的最后幾個(gè)代表未知數(shù)，如x、y、z，或以a、b、c、…代表常數(shù)，以x、y、z代表變數(shù)。現(xiàn)在，這已不是固定的了，在某種約定之下，a、b、c、…也可代表未知數(shù)，也可以表變數(shù)，x、y、z也可以代表已知數(shù)，也可以代表常數(shù)。還有一些特殊的常數(shù)，如π,e。還有另一些表現(xiàn)數(shù)量的符號(hào)，往往是其他類型符號(hào)的組合。

數(shù)字研究的對(duì)象已不只限于數(shù)，還研究形，△表示三角形，□表示四邊形，⊙表示圓。

數(shù)學(xué)研究的最一般對(duì)象是集合，而表示集合的符號(hào)常常用英文字母的斜體，如A、B、C、D、X、Y、Z等。某些特殊的集合又用特殊的符號(hào)表示，例如，用N表示自然數(shù)集，而實(shí)數(shù)集則用R表示，N與nature(自然)一詞有關(guān)，R與real（實(shí)的）有關(guān)。特定的集合組成空間，空間有時(shí)用S表示，S與space(空間)一詞有關(guān)，但也用其他字母表示空間。這些符號(hào)的運(yùn)用使得數(shù)學(xué)語言變得簡練。

還有一類符號(hào)是表示關(guān)系的，通過種種關(guān)系起聯(lián)結(jié)作用。常用的如等號(hào)=，近似等號(hào)≈，全等號(hào)≌或≡。還有不等號(hào)≠，＜，＞，<<?！伪硎酒叫嘘P(guān)系，⊥表示垂直關(guān)系， 與 表示元素與集合之間的關(guān)系， 表示集合與集合之間

的關(guān)系， 表示蘊(yùn)涵關(guān)系等等。

二、數(shù)學(xué)語言的簡潔性

數(shù)學(xué)語言非常簡潔精確，它具有獨(dú)特的價(jià)值，它是科學(xué)語言的基礎(chǔ)。從宏觀來說，人們常以“成千上萬”來研究多，再多就是“百萬”、“千萬”了，更多則是“億萬”?？墒?，數(shù)學(xué)能作出更簡潔也更明確、更有力的表示，比如說，1025、286243這樣巨大的數(shù)字，一般語言就說不太清楚了。從微觀來說，日常語言之中，“失之毫厘，廖以千里”，用一毫一厘來形容微小，還有形容體積之小的，時(shí)間之短的，距離之近的。但是，沒有比10-15，10-45這樣一些表達(dá)更能說明問題，它也更簡潔、更明了。

[a, b]僅由a、b、[ ]這三個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)表出，但如果比用一般語言描述就成為“大于或等于a，小于或等于b的一切實(shí)數(shù)的集合?！背?biāo)點(diǎn)還得需要20個(gè)符號(hào)，其中18個(gè)漢字。若對(duì)任何 使得對(duì)任何n,m>N，有 ，則數(shù)列 有極限。這是著名的柯西判別準(zhǔn)則。如果要用一般語言是無論如何也表示不清的，作為有理數(shù)、無理數(shù)、代數(shù)數(shù)、超越數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)之間關(guān)系之一的式子 ，是各種數(shù)的大統(tǒng)一。用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)是這樣的簡潔、明晰。數(shù)學(xué)語言有其獨(dú)特之處，有其獨(dú)特的價(jià)值，它不僅是普通語言無法替代的，而且它構(gòu)成了科學(xué)語言的基礎(chǔ)。越來越多的科學(xué)門類用數(shù)學(xué)語言表述自己，這不僅是因?yàn)閿?shù)學(xué)語言的簡潔，而且是因?yàn)閿?shù)學(xué)語言的精確及其思想的普遍性與深刻性。

我們看看下面幾個(gè)式子，就能明白物理學(xué)是如何用數(shù)學(xué)語言來表述的。

F=0

F=

F=

第一、二兩個(gè)式子分別表達(dá)的是牛頓第一定律和第二定律，第三個(gè)式子說的是萬有引力定律。慣性定律說的是，在沒有外力的條件下，物體保持原有的運(yùn)動(dòng)（或靜止）狀態(tài)，然而簡潔的數(shù)學(xué)式F=0 （C是常數(shù)）表達(dá)了定律的實(shí)質(zhì)。第二定律說的是，力與質(zhì)量和加速成正比，數(shù)學(xué)式子F= 表達(dá)了這一點(diǎn)。當(dāng)質(zhì)量是常數(shù)的時(shí)候，式子可寫為F= ，又可用a表示加速度，因此牛頓第二定律又可以表示為人所共知的形式F=ma。萬有引力定律說的是，任何兩個(gè)物體之間都有引力存在，其大小與兩物體質(zhì)量之積成正比，與距離的平方成反比，式子F= 又是多么有力地刻畫了這一思想。

（張家口機(jī)械工業(yè)學(xué)校）