數(shù)學(xué)運(yùn)算律教學(xué)中的“建構(gòu)”和“解構(gòu)”

費(fèi)嶺峰　胡　娟

“運(yùn)算律”是小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)的運(yùn)算”中的一個(gè)重要內(nèi)容。新課程從第二學(xué)段起安排了這塊內(nèi)容[1]。與傳統(tǒng)教材相比，新課程實(shí)驗(yàn)教科書在“運(yùn)算律”內(nèi)容的編寫上呈現(xiàn)出兩個(gè)特點(diǎn)：一是“運(yùn)算律”引出基于解決問題的背景，突出了“運(yùn)算律”的發(fā)生發(fā)展過程；二是減少了“運(yùn)算律”純技能訓(xùn)練的內(nèi)容，突出了應(yīng)用“運(yùn)算律”靈活解決問題的內(nèi)容[2]。這樣的編寫特點(diǎn)，在突出“運(yùn)算律”教學(xué)的過程性和數(shù)學(xué)思考價(jià)值的同時(shí)，增加了教材理解和把握上的難度，很多一線教師在設(shè)定教學(xué)目標(biāo)和實(shí)施教學(xué)時(shí)，經(jīng)常為到底是在進(jìn)行規(guī)律探究還是在應(yīng)用規(guī)律解決問題而煩惱。然而筆者認(rèn)為，教材這樣的編寫特點(diǎn)，有利于突出“運(yùn)算律”教學(xué)的“建構(gòu)”與“解構(gòu)”過程，突出數(shù)學(xué)本源性知識(shí)的介入與學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的利用，有利于引導(dǎo)學(xué)生在充分理解“運(yùn)算律”意義的基礎(chǔ)上掌握“運(yùn)算律”，并能靈活運(yùn)用“運(yùn)算律”解決實(shí)際問題。在實(shí)踐中，欲使教材編寫者的意圖能充分實(shí)現(xiàn)，一線教師需要思考以下幾個(gè)問題。

一、 “運(yùn)算律”教學(xué)需要學(xué)生建構(gòu)什么

所謂建構(gòu)，是指學(xué)習(xí)者在具體的學(xué)習(xí)情景中，結(jié)合自己已有的經(jīng)驗(yàn)，以同化或順應(yīng)的方式理解、掌握乃至應(yīng)用新知的過程。小學(xué)數(shù)學(xué)“運(yùn)算律”教學(xué)中的建構(gòu)，包含了兩個(gè)方面的內(nèi)容。

1.建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

這是顯性層面上的要求。比如在“乘法分配律”一課的教學(xué)中，學(xué)生通過學(xué)習(xí)需要理解“兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加”這一定律的內(nèi)容，還能夠用“（a＋b）×c＝a×c＋b×c”這樣的等式來表示，建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。又如“商不變的規(guī)律”的教學(xué)，需要學(xué)生知道“在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者縮小相同的倍數(shù)（或幾分之幾），商不變”的基本內(nèi)容，甚至還可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)符號(hào)來表示出相應(yīng)的模型。

2.建構(gòu)數(shù)學(xué)思想

這是隱性層面上的要求，也是學(xué)生數(shù)學(xué)思想發(fā)展的過程。即引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言解釋，或者用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)某個(gè)具體情景所描述的現(xiàn)象。這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由具體到抽象的過程，也是一個(gè)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化的過程。如有位老師在教學(xué)“乘法分配律”一課時(shí)，通過組織學(xué)生解答“學(xué)校要購(gòu)買課桌椅，每張課桌180元，每把椅子60元。要買300套這樣的課桌椅共需要多少錢？”和“一年級(jí)新生要購(gòu)買校服，上衣每件50元，褲子每條30元。購(gòu)買280套校服共需要多少元？”等多個(gè)具體的問題，并通過（180＋60）×300＝180×300＋60×300和（50＋30）×280＝50×280＋30×280等算式形式與實(shí)質(zhì)的探討，抽象出了（a＋b）×c＝a×c＋b×c這一相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。整個(gè)過程從情境到算式，再到抽象提煉成數(shù)學(xué)模型，貫穿了數(shù)學(xué)思考的要求。這也正是一個(gè)建構(gòu)數(shù)學(xué)思想方法的過程。

二、 怎樣的教學(xué)過程有利于學(xué)生對(duì)“運(yùn)算律”進(jìn)行建構(gòu)

當(dāng)明確了“運(yùn)算律”教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)思想是重要的教學(xué)目標(biāo)之后，教學(xué)過程的有效落實(shí)顯得尤為重要。實(shí)踐中我們需要做好兩個(gè)方面的工作。

1.提供有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)材料

建構(gòu)是以學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的，包括兩個(gè)方面：一是生活經(jīng)驗(yàn)，二是知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。建構(gòu)主義教學(xué)觀認(rèn)為，“主體以已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過與外部世界的相互作用而主動(dòng)建構(gòu)新的理解、新的心理表征”，而“建構(gòu)新信息的過程即是對(duì)舊信息的重新建構(gòu)過程”[3]。從中我們可以看出，讓學(xué)生對(duì)“運(yùn)算律”進(jìn)行建構(gòu)的重要條件之一，是學(xué)生相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)被激起，并能引導(dǎo)其利用已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)起新知。因此，在“運(yùn)算律”教學(xué)中要使學(xué)生進(jìn)行有效建構(gòu)，需要選擇一些充分調(diào)動(dòng)學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)材料，并配以學(xué)生充分應(yīng)用認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)解決問題的學(xué)習(xí)過程。

如在教學(xué)“連減的簡(jiǎn)便計(jì)算”這節(jié)內(nèi)容時(shí)，可以設(shè)計(jì)這樣一個(gè)問題：一本書一共234頁(yè)，昨天看了66頁(yè)，今天又看了34頁(yè)，問還剩多少頁(yè)沒有看？利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)（書看一天會(huì)減少頁(yè)數(shù)，再看又會(huì)減少，只要每天都看，剩余的頁(yè)數(shù)會(huì)越來越少）和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)（減法運(yùn)算，即總頁(yè)數(shù)減去看了的頁(yè)數(shù)，等于剩下的頁(yè)數(shù)）來理解：“總頁(yè)數(shù)連續(xù)減去兩天看的頁(yè)數(shù)”與“總頁(yè)數(shù)減去兩天一共看的頁(yè)數(shù)”這兩種不同方法背后的實(shí)質(zhì)是相同的，即：一個(gè)數(shù)不管是一個(gè)一個(gè)連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，還是一次性減去這幾個(gè)數(shù)的和，均是從這個(gè)數(shù)中去掉同樣多的數(shù)量，所以結(jié)果應(yīng)該是不變的。

2.設(shè)計(jì)激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的學(xué)習(xí)過程

學(xué)生的主動(dòng)思考是有效建構(gòu)的基本條件。在“運(yùn)算律”教學(xué)中，教師可以通過以下幾個(gè)層次來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

（1）誘發(fā)學(xué)生暴露思維起點(diǎn)。這是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)暴露的過程。期間既有合理的成份，也可能有不合理的成份。但這是建構(gòu)新知所需要的基本條件。如在“商不變的規(guī)律”教學(xué)中，當(dāng)教師呈現(xiàn)了10÷2＝5后，要求學(xué)生寫出商同樣等于5的算式時(shí)，學(xué)生以原有的經(jīng)驗(yàn)寫出了很多算式：20÷4＝5，15÷3＝5，50÷10＝5，40÷8＝5……

接著請(qǐng)學(xué)生說一說是怎樣想的。有的說，是根據(jù)乘法口訣來寫的；有的說，是被除數(shù)加上一個(gè)數(shù)，除數(shù)也加上一個(gè)數(shù)；還有的說，被除數(shù)乘以一個(gè)數(shù)，除數(shù)也乘以一個(gè)數(shù)等等?？梢钥闯?，學(xué)生憑經(jīng)驗(yàn)寫出算式時(shí)，思維過程是不同的。此時(shí)，教師才有可能結(jié)合學(xué)生不同的思維過程，引導(dǎo)其去探討、辨析，通過調(diào)整思維過程，完善認(rèn)識(shí)，最后歸納得出規(guī)律。

（2）組織學(xué)生辨析比較。辨析比較是以學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的，是學(xué)生固有思維的調(diào)整過程。在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)正確的“運(yùn)算律”意義中，辨析比較是激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突的重要手段。

①通過辨析比較，發(fā)現(xiàn)不同現(xiàn)象中的共性。從情境到數(shù)學(xué)本質(zhì)的提煉，這是數(shù)學(xué)思考的基本任務(wù)，也是教師組織規(guī)律教學(xué)常用的思路。如前面談到的那位教師在教學(xué)“乘法分配律”這節(jié)內(nèi)容中，提供了兩個(gè)不同的生活情境。從情境內(nèi)容來看，這是兩件并不相同的事情，然而在解決問題過程中，本質(zhì)卻是相同的：都能用兩種方法解決問題，且對(duì)應(yīng)的方法在形式結(jié)構(gòu)上相同。教師正是在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些相同元素的關(guān)注中，抽象提煉出相關(guān)數(shù)學(xué)模型的。而這樣一個(gè)過程，也正是學(xué)生數(shù)學(xué)思維從具體形象到本質(zhì)抽象的過程。

②通過辨析比較，思考研究材料是否典型。學(xué)習(xí)材料是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要載體。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)材料的典型與否進(jìn)行思考，也是提高學(xué)生思辨能力，完善對(duì)運(yùn)算律認(rèn)識(shí)的重要策略。在實(shí)踐中，很多時(shí)候，學(xué)生正是由于有了對(duì)學(xué)習(xí)材料典型性的質(zhì)疑，特別是對(duì)一些特殊對(duì)象的思考，才有對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律完整認(rèn)識(shí)的過程。如：“商不變規(guī)律”中，當(dāng)小結(jié)得出“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)數(shù)，商不變”后，對(duì)“乘以（或除以）0”的特殊性的考慮，才真正完成了“商不變的規(guī)律”的認(rèn)識(shí)過程。

③通過辨析比較，反思思維過程是否完善，是否存在反例。運(yùn)算律認(rèn)識(shí)中思維過程的完整與否，也是學(xué)生形成清晰數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的重要組成部分。如在“連除性質(zhì)”的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生對(duì)a÷b÷c=a÷（b×c）理解后，又在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候增加了對(duì)a÷b÷c=a÷c÷b這種形式的交流與探討。正因?yàn)橛辛藢?duì)基本形式變式的思考，才使學(xué)生的思維過程比較完整，對(duì)“連除性質(zhì)”的認(rèn)識(shí)也更為圓滿。

另外，小學(xué)數(shù)學(xué)的“運(yùn)算律”教學(xué)，一般是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不完全歸納法探究得出規(guī)律的。因此對(duì)有沒有反例的關(guān)注很有必要。如“乘法分配律”一課教學(xué)中，學(xué)生初步得出規(guī)律后，學(xué)生又寫出了如（8＋3）×4＝8×4＋3×4、（5＋1）×3＝5×3＋1×3、（1＋9）×5＝1×5＋9×5等這樣的算式進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)都是成立的。可還有一位學(xué)生提出自己的想法：“老師，雖然舉了許多例子，可萬一還是碰巧，那怎么辦？”很多學(xué)生也贊同：“是呀，萬一還是碰巧呢？”而正是對(duì)這“萬一”的思考，有學(xué)生提出了自己的想法：“這樣的算式都應(yīng)該是成立的。以（8＋3）×4＝8×4＋3×4為例吧，左邊算式括號(hào)里算得11，表示有11個(gè)4，右邊算式的8×4表示有8個(gè)4、3×4表示有3個(gè)4，加起來也是在算11個(gè)4。等號(hào)兩邊的算式不同，但它們的意思是相同的，都表示11個(gè)4，所以是相等的。其它的式子，道理是一樣的。”正是這對(duì)反例的探討，適時(shí)生成了學(xué)生理解運(yùn)算律的本質(zhì)意義的機(jī)會(huì)。

（3）引導(dǎo)學(xué)生歸納提煉。因?yàn)槭且?guī)律，一般具有一定的結(jié)構(gòu)性特點(diǎn)，是能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和模型提煉的。因此，運(yùn)算律教學(xué)一般需要有歸納提煉的環(huán)節(jié)。歸納提煉的方式可以是不同的，有時(shí)只需引導(dǎo)學(xué)生用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來表述相應(yīng)的“運(yùn)算律”就可以了，而有時(shí)又需要學(xué)生能用相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)來表達(dá)相關(guān)的“運(yùn)算律”。當(dāng)學(xué)生對(duì)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行歸納提煉時(shí)，學(xué)生會(huì)有思維的介入。這正是培養(yǎng)其抽象思維能力的極佳時(shí)機(jī)，也是學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的“運(yùn)算律”所必不可少的過程。

所謂解構(gòu)，是相對(duì)于建構(gòu)來說的，是指學(xué)習(xí)者將已經(jīng)形成的觀點(diǎn)或者模型，通過相應(yīng)的實(shí)踐進(jìn)行驗(yàn)證，最終保留合理的部分。這是學(xué)習(xí)者知識(shí)內(nèi)化不可缺少的重要環(huán)節(jié)?！斑\(yùn)算律”的解構(gòu)過程是一個(gè)“運(yùn)算律”意義的深入理解、認(rèn)識(shí)提升的過程，也是一個(gè)進(jìn)一步提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的重要過程。在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的地位。如乘法對(duì)加法的分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c的基本模型建立之后，如果僅僅停留于基本模型，那對(duì)這一運(yùn)算定律的認(rèn)識(shí)還只是淺層次的，或者說是機(jī)械的。也只有當(dāng)學(xué)生對(duì)乘法對(duì)減法的分配，甚至一些更為復(fù)雜的變式可以理解和應(yīng)用時(shí)，才能認(rèn)為是真正掌握了“乘法分配律”這一運(yùn)算定律了。

三、 如何有效落實(shí)“運(yùn)算律”的解構(gòu)過程

1.在組織基本訓(xùn)練的同時(shí)，倡導(dǎo)算法多樣化

如在“連除性質(zhì)”這節(jié)內(nèi)容教學(xué)中，在學(xué)生掌握規(guī)律后進(jìn)行的練習(xí)中，執(zhí)教教師設(shè)計(jì)了兩個(gè)不同層次的練習(xí)：

層次一：用簡(jiǎn)便方法計(jì)算，習(xí)題有400÷25÷4、180÷12÷5。這兩題屬于基本訓(xùn)練，有利于學(xué)生鞏固對(duì)性質(zhì)的理解。

層次二：怎樣簡(jiǎn)便就怎樣算，習(xí)題有390÷13÷3、1500÷4÷15、350÷14。這三題則是可以靈活計(jì)算的。特別是第3題，是一般的除法算式。通過練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用性質(zhì)解決實(shí)際問題的能力，而當(dāng)學(xué)生能夠靈活應(yīng)用規(guī)律進(jìn)行簡(jiǎn)算時(shí)，其對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)已不僅僅只是一些字母或數(shù)字的認(rèn)識(shí)，而是上升到數(shù)感和數(shù)學(xué)意識(shí)的層面了。

2.在解決具體問題中，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇合理的算法

重視用所學(xué)知識(shí)解決具體問題是新課程理念下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有別于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的特征之一?！斑\(yùn)算律”教學(xué)也離不開這一要求。如在“加法交換律結(jié)合律”這一規(guī)律教學(xué)后，可以組織學(xué)生解決這樣的問題：計(jì)算5＋137＋45＋63＋50。計(jì)算時(shí)，可以有3個(gè)數(shù)相加湊成百，讓學(xué)生感覺方法是靈活多變的。還可以組織學(xué)生解決這樣的問題：某次數(shù)學(xué)單元測(cè)試第一小組6位同學(xué)的成績(jī)分別為98、92、96、100、88、94，第二小組6位同學(xué)的成績(jī)分別為93、97、92、99、97、91。請(qǐng)問哪個(gè)小組的總分最高？這一問題不僅關(guān)注了交換、結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)來計(jì)算，同時(shí)也有了算法上的不同，即學(xué)生不一定采用湊十湊百來算，可能選一個(gè)比較接近平均數(shù)的數(shù)，然后跟這個(gè)數(shù)比較得出的數(shù)相加減得出總和，再除以6后加上90，得出平均成績(jī)。有學(xué)生也可能把這些數(shù)跟滿分100比，把少的總和平均一下，然后用100去減得出平均成績(jī)。這樣的計(jì)算過程已經(jīng)不單純是對(duì)運(yùn)算定律的簡(jiǎn)單模仿，而是對(duì)“運(yùn)算律”理解、運(yùn)用和內(nèi)化的過程，是學(xué)生思維提升的表現(xiàn)。這樣的“解構(gòu)”過程也是運(yùn)算律學(xué)習(xí)所需要的。

總之，學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算律的過程是一個(gè)需要其主動(dòng)“建構(gòu)”，并通過靈活應(yīng)用，適時(shí)完成“解構(gòu)”的過程。學(xué)生的學(xué)習(xí)唯有經(jīng)歷必要“建構(gòu)”與“解構(gòu)”過程，他們的學(xué)習(xí)才會(huì)是有利于其內(nèi)化的、有效的。

參考文獻(xiàn)

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責(zé)任編輯：陳國(guó)慶