基于泛系理論的粒度計算研究

摘要:該文從泛系理論辨異同出發(fā)，結(jié)合經(jīng)典集合論與粗集理論，從橫向和縱向探討了粒度，討論了粒度與辨異同的聯(lián)系，及其粒度的層次，引入了粒度空間的概念，從而從哲理、數(shù)理等方面對粒度有了初步的認(rèn)識。

關(guān)鍵詞:泛系辨異同;粗集;絕對粒度;相對粒度;粒度空間

中圖分類號:TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1009-3044(2009)36-10579-02

Study of Granular Computing Based on Pansystems Theory

WANG Xiao-yan1， MA Ji2

(1.Shanxi Vocational and Technical College of Communications， Taiyuan 030031， China; 2.Shanxi Electric Power Exploitation Design Institute， Taiyuan 030001， China)

Abstract: The paper makes transverse and longitudinal discussion Combined with classical Set theory and Rough Set theory from the Pansystems view of difference and identity， and discusses connection between granularity and difference and identity， and also level of granularity. In this paper we import concept of granular space， so we have got certain preliminary cognition from philosophy and mathematical philosophy.

Key words: pansystems view of difference and identity; rough set; absolute-granularity; relative-granularity; granular space

自粒度計算誕生以來，粒度計算越來越成為當(dāng)今世界關(guān)注的又一熱門話題，主要研究集中在信息粒度領(lǐng)域。粒度本來是一個物理學(xué)概念，意指“微粒大小的平均度量”，現(xiàn)在多被借用做“信息粗細(xì)的平均度量”。物理粒度涉及對物理對象的細(xì)化劃分，而信息粒度則是對信息和知識細(xì)化的不同層次的度量[1]。張鈸和張鈴提出了信息粒度的概念[2]，并且作出了非常精辟和透徹的論述。

1 泛系辨異同

1.1 泛系異同觀與泛序觀

具有自反性、對稱性(反對稱性)、傳遞性或它們的泛化推廣以及它們的某些析取、合取、復(fù)合或限定的二元關(guān)系均可作為廣義的泛系同一(泛序:廣義的次序)的數(shù)學(xué)模型。泛系同一性的否定即可作為泛系差異(辨異)性的數(shù)學(xué)模型。泛系數(shù)學(xué)已對自反性、對稱性、反對稱性、傳遞性作了許多推廣與研究，因而形成異同關(guān)系與泛序關(guān)系的方案有許多種，并且均有泛系六性化的理法。泛系異同觀與泛序觀為對哲學(xué)、數(shù)學(xué)以及種種百科研究極為重要而基本的同一性、差異性、次序等與層次性或可分性范疇建立多種公理系統(tǒng)提出了方案，是公理系統(tǒng)的公理。[3]

1.2 泛系辨異同

定義1.2.1 辨異同:設(shè)U為非空有限論域，R?哿U2，R是U上的等價關(guān)系，┐ R是R相對于U2的補(bǔ)集，R和┐ R是成對出現(xiàn)的。∈R，意味著相對于R，x和y是相同的;∈┐ R，意味著相對于R，x'和y'是相異的。見圖1。

圖1中x和y在由R決定的同一個等價類中，說明x和y相對于R是相同的;圖中x'和y'不在由R決定的同一個等價類中，說明x'和y'相對于R是相異的。[4]

定義1.2.2:辨異同的比較:給定一個論域U上的兩個等價關(guān)系R1和R2，如果x和y相對于R1相同，那么x和y就相對于R2相同，即R1?哿R2，我們就稱R2的求同能力比R1的求同能力強(qiáng)。如果x和y相對于R1相異，那么x和y就相對于R2相異，即R2?哿R1，我們就稱R2的辯異能力比R1的辯異能力強(qiáng)。[4]

2 基于泛系辨異同橫向分析粒度

2.1 從邏輯看泛系辨異同

在泛系理論中，邏輯值本質(zhì)上是對命題或謂詞的廣義賦權(quán)，是一種泛權(quán)。當(dāng)泛權(quán)空間W為布爾二值代數(shù)(或其影部)B2={0，1}或{真，假}時，相應(yīng)的邏輯即為二值邏輯;當(dāng)W多于二元或?yàn)榉莻鹘y(tǒng)B2時，即為多值邏輯;當(dāng)W=[0，1]時，即為乏晰邏輯;當(dāng)W為格L時，即為L乏晰邏輯。另外，對每一種泛權(quán)邏輯的語義解釋往往是一些復(fù)雜的研究課題，但這正是人們可充分發(fā)揮創(chuàng)造力的領(lǐng)域。

2.2 從泛系辨異同看粒度

上文中我們從邏輯角度討論了泛系辨異同，并存在絕對辨異同和相對辨異同。既然粒度本質(zhì)上是辨異同的尺度。那么不同的辨異同也相應(yīng)地對應(yīng)了不同的粒度。我們把基于絕對辨異同上的尺度稱為絕對粒度，把基于相對辨異同上的尺度稱為相對粒度。通過辨異同把粒度橫向細(xì)化，可見粒度也是絕對粒度與相對粒度的統(tǒng)一。

2.3 粗集與粒度

我們知道粗集理論是一種新的處理模糊和不確定性知識的數(shù)學(xué)工具。其主要思想就是在保持分類能力不變的前提下，通過知識約簡，導(dǎo)出問題的決策或分類規(guī)則。 既然粗集首先是建立在分類基礎(chǔ)上的，分類的基礎(chǔ)就是辨異同，辨異同的尺度就是粒度，所以粗集和粒度是密不可分的，下面我們就從粒度來討論粗集的分類。

粗集是建立在經(jīng)典集合論基礎(chǔ)上的，泛系中詳細(xì)討論了基于集合論的二元關(guān)系，比如相容關(guān)系(半等價關(guān)系)Es、等價關(guān)系E與半序關(guān)系(偏序關(guān)系)L、完全關(guān)系C，全序關(guān)系Lc、半半序關(guān)系Ls、擬傳遞關(guān)系Tq、單向性關(guān)系U、擬半序關(guān)系Lq等等，并把它們作為泛序X、廣義的擬同Y、擬異 的二元關(guān)系類的數(shù)學(xué)模型之一(詳見文獻(xiàn)[5])。

綜上，我們可以把粗集按粒度分為兩類，把絕對粒度下的粗集稱為絕對粗集，把相對粒度下的粗集稱為相對粗集。

3 基于泛系辨異同縱向分析粒度(絕對粒度)

3.1 粒度空間

限于篇幅，這里約定我們下文討論的粒度都為絕對粒度，相對粒度在后續(xù)文章中繼續(xù)討論。

在集合論上辨異同存在兩個層次，元素間的辨異同和集合間的辨異同。粗集是以集合論為基礎(chǔ)的，所以粗集上也體現(xiàn)了兩個層次的辨異同，我們稱之為一層辨異同和二層辨異同，一層辨異同表現(xiàn)為元素間的辨異同，二層辨異同表現(xiàn)為集合間的辨異同。由此，基于辨異同，將經(jīng)典集合論和粗集聯(lián)系起來，我們得出粒度的三個層次，分別稱之為一層粒度空間、二層粒度空間和三層粒度空間。

3.2 基于粒度空間辨異同

顯然，一層粒度空間基于經(jīng)典集合論，在一層粒度空間G1=(U，?覫)下，元素間的比較(一層辨異同):只有兩個元素完全相等時，這兩個元素才是相同的;反之則是不同的。集合間的比較(二層辨異同):只有兩個集合有完全相同的元素時，這兩個集合是相同的，反之則是不同的。

顯然，二層粒度空間基于粗集理論(與知識庫有關(guān))，在二層粒度空間下主要體現(xiàn)為元素間的比較(一層辨異同):給定G1=(U， R)，對于U上元素x和y，若x和y在R決定的同一等價類當(dāng)中，則x和y相對于R是相同的;若x和y在R決定的不同等價類當(dāng)中，則x和y相對于R是相異的。(定義1.2.1)

顯然，三層粒度空間也基于粗集理論(與知識庫上的近似集有關(guān))，在三層粒度空間下主要體現(xiàn)為集合間的比較(二層辨異同):給定G2=(P(U)， U/R)，對于U上集合X，Y∈P(U)，若R(X)=R(Y)且R(X)=R(Y)(上下近似定義見3.2.1)，則x和y相對于R是相同的;若R(X)=R(Y)且R(X)≠R(Y)，或R(X)≠R(X)且R(X)=R(Y)，則x和y相對于R是部分相同，部分相異的;若R(X)≠R(X)且R(X)≠R(Y)，則x和y相對于R是相異的。(參見集合的三種近似相等的定義 [7])

定義3.2.1 [6]:粗糙集的近似集:給定知識庫K=(U，R)，對于每個子集X?哿U和一個等價關(guān)系R∈ind(K)，定義兩個子集:R(X)=∪{Y∈U/R|Y?哿X}，R(X)=∪{Y∈U/R|Y∩X≠?覫}分別稱它們?yōu)閄的R下近似集和R上近似集。

綜上，由粒度的橫向分層過程，體現(xiàn)了由Pawlak粗集模型到其它粗集模型的泛化過程;由粒度的縱向分層過程，體現(xiàn)了由經(jīng)典集合論到Pawlak粗集理論的泛化過程。

4 結(jié)論

該文將泛系和粗集結(jié)合，從泛系辨異同出發(fā)，得出粒度的本質(zhì)就是辨異同的尺度，并基于辨異同從橫向和縱向探討了粒度。限于篇幅，本文在縱向上主要是基于絕對粒度來討論的，在后續(xù)文章中將給出基于相對粒度的討論，在絕對粒度的討論上，其中的屬于關(guān)系和包含關(guān)系就是標(biāo)準(zhǔn)集合論當(dāng)中的屬于關(guān)系和包含關(guān)系，在相對粒度的討論上，其中的屬于關(guān)系和包含關(guān)系將是我們泛化后的屬于關(guān)系和包含關(guān)系，即泛化屬于關(guān)系和泛化包含關(guān)系(在另一篇文章中給出)，并繼續(xù)研究粒度的量化層次，從橫向和縱向進(jìn)行研究。

參考文獻(xiàn):

[1] 邵健.基于Rough Sets的信息粒度計算及其應(yīng)用[D].北京:中國科學(xué)院自動化研所，2000.

[2] 張鈸，張鈴.問題求解理論及應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社，1990.

[3] 吳學(xué)謀.泛系:萬悖癡夢(一種形而泛學(xué):哲學(xué)與非哲學(xué)的創(chuàng)生)[M].湖北:湖北教育出版社，1998:515.

[4] 李永禮.泛系和粗集理論講座[R].蘭州大學(xué)2004.9-2005.1，http://www.709.net.cn/other/wxm/index2.htm.

[5] 吳學(xué)謀.從泛系觀看世界[M].北京:中國人民大學(xué)出版社，1990:81.

[6] 張文修等.粗糙集理論與方法[M].北京:科學(xué)出版社，2001:4.

[7] 張文修等.粗糙集理論與方法[M].北京:科學(xué)出版社，2001:10-11.