狀態(tài)空間模型(SSM)算法和矩陣束(MP)算法分析比較

摘要:主要研究了雷達(dá)目標(biāo)一維散射中心參數(shù)提取的問題。首先介紹了空間狀態(tài)模型(SSM)算法和矩陣束(MP)算法原理，然后分析比較了兩種算法的異同點(diǎn)，在較高信噪比條件下，兩種算法都能較為準(zhǔn)確地估計(jì)參數(shù)，SSM算法在幅度估計(jì)的計(jì)算量方面有一定的優(yōu)勢(shì)，通過對(duì)仿真數(shù)據(jù)和暗室數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真分析驗(yàn)證了理論分析的正確性。

關(guān)鍵詞:空間狀態(tài)模型;矩陣束;一維散射中心

中圖分類號(hào):TP312文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1009-3044(2009)36-10263-04

Analysis and Comparison of State-spacemodel(SSM) Algorithm and Matrix Pencil(MP) Algorithm

ZENG Yue， YUAN Si-ji

(School of Electronic Science and Engineering， National University of Denfense Technology， Changsha 410073， China)

Abstract: Major study the problem of radar target one-dimensional scattering center Parameters extraction. First introduced the theory of state space model (SSM) algorithm and matrix pencil (MP) algorithm ， then analyzed and compared the similarities and differences between the two algorithms ，at high SNR conditions， the two algorithms can be more accurate estimation of the parameters， SSM algorithm in computing the amount of the estimated range has certain advantages， through computer simulation of the simulation data and Darkroom data to verify the theoretical analysis is correct.

Key words: state-space model; matrix pencil; one-dimensional scattering center

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)需求的不斷提高以及雷達(dá)信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展，要求雷達(dá)系統(tǒng)不僅能發(fā)現(xiàn)和跟蹤目標(biāo)，而且也要對(duì)感興趣目標(biāo)進(jìn)行分類識(shí)別。目標(biāo)識(shí)別的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是特征提取[1]，而目標(biāo)一維散射中心參數(shù)是表征目標(biāo)結(jié)構(gòu)特性的重要內(nèi)容之一。目前，目標(biāo)一維散射中心的確定和描述主要有兩類方法，即非參數(shù)法和參數(shù)法。非參數(shù)法是把散射測(cè)量數(shù)據(jù)變換到某個(gè)域，得到該域下譜的分布，根據(jù)譜峰來確定信號(hào)的階數(shù)、強(qiáng)度等，這類方法有FFT，MUSIC[2]方法等。參數(shù)法是通過建立光學(xué)區(qū)目標(biāo)散射中心的參數(shù)模型，并對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，來完成對(duì)散射中心的提取和描述，這類方法有Prony方法和矩陣束(Matrix pencil)方法[3-4]等。

系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(SSM)描述法是20世紀(jì)50至60年代開始引入系統(tǒng)分析領(lǐng)域的，它在宇航、自動(dòng)控制、雷達(dá)與聲納信號(hào)處理等方面有很重要的作用，甚至在經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、生物等領(lǐng)域也有很大的應(yīng)用價(jià)值[5]。SSM算法是利用雷達(dá)回波序列構(gòu)造Hankel矩陣，然后對(duì)Hankel矩陣進(jìn)行SVD分解，最后對(duì)得到的降秩矩陣進(jìn)行特征值分解來獲得信號(hào)的極點(diǎn)。矩陣束(MP)方法最早由Y. B. Hua和T. K. Sarkar提出，和ESPRIT方法同屬于子空間旋轉(zhuǎn)不變方法，可以認(rèn)為它是ESPRIT方法的一種變形。該方法巧妙利用了信號(hào)模型的特殊性質(zhì)，將難于處理的非線性求解問題轉(zhuǎn)化為矩陣分解和變換，使得問題相對(duì)容易求解。本文主要介紹了基于SSM算法和MP算法的雷達(dá)目標(biāo)一維散射中心參數(shù)提取方法，并對(duì)兩種方法進(jìn)行分析比較。最后通過計(jì)算機(jī)仿真數(shù)據(jù)和暗室實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析比較了兩種算法的優(yōu)缺點(diǎn)。

1 兩種算法簡(jiǎn)介

當(dāng)雷達(dá)工作頻率屬于光學(xué)區(qū)時(shí)，復(fù)雜目標(biāo)可看成由許多個(gè)孤立散射中心組成的擴(kuò)展目標(biāo)，其回波可看成多散射中心回波的合成，目標(biāo)散射中心的數(shù)學(xué)描述主要包括:幾何繞射(GTD)模型、衰減指數(shù)(DE)和模型及指數(shù)和模型[6]。本文雷達(dá)目標(biāo)采用衰減指數(shù)和模型(DE)，雷達(dá)目標(biāo)頻域離散回波信號(hào)y(n)可表示為:

，n=1，...，N (1)

式中ci為散射點(diǎn)的散射系數(shù)，p為模型階數(shù)，zi=e-αi+jωi，Wi表征的是散射點(diǎn)距離雷達(dá)遠(yuǎn)近的特征量，ai表示的是散射點(diǎn)類型。

1.1 狀態(tài)空間模型(SSM)算法

本文雷達(dá)目標(biāo)采用DE模型，則由文獻(xiàn)[7]可知，該系統(tǒng)可以表示為一個(gè)特殊的自回歸——滑動(dòng)平均(ARMA)模型。而通過控制領(lǐng)域的相關(guān)內(nèi)容[8]可知:一個(gè)ARMA 模型可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)狀態(tài)空間模型。其轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖1所示。

則寬帶雷達(dá)回波可表示為:

(2)

構(gòu)造矢量Hk=(y(k)，y(k+1)，...，y(N-L+k))T，其中L為相關(guān)窗長(zhǎng)度，N為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。構(gòu)造Hankel矩陣:

Y=(H1，H2...DL)(3)

將y(n)=hFn-1g代入式上式可得Y的另一種表達(dá)式為:

(4)

且Ω、Λ分別具有如下性質(zhì):

Ω1=Ω2F，Λ1=Λ2(5)

其中下標(biāo)1與2分別代表去掉對(duì)應(yīng)矩陣的第一行(列)與最后一行(列)。這樣就可以獲得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣F的近似估計(jì):

。

其中“*”代表共軛轉(zhuǎn)置。設(shè)矩陣的特征值分別為:λ1，λ2，...，λp，即:

(6)

由譜估計(jì)理論可知，λi就是狀態(tài)空間所對(duì)應(yīng)傳遞函數(shù)H(z)的極點(diǎn)。即:

(7)

這里。由式(2)可知，y(n)=hFn-1g。對(duì)F進(jìn)行特征值分解有:Fmi=λimi;i=1，...p，mi是λi對(duì)應(yīng)的特征向量。記M=[m1 m2...mp]為特征矩陣，則FM=MΥ，Υ=diag[λ1λ2...λp]，故F=MΥM-1，將該式代入式(2)可得:。令

(8)

代入式(2)有:，將該式和式(2)比較可得:

(9)

1.2 矩陣束(MP)算法

矩陣束算法的基本思想是首先構(gòu)造兩個(gè)特殊的Hankel矩陣，然后利用矩陣間的特定關(guān)系，通過求解兩個(gè)矩陣的廣義特征值一次性地估計(jì)出一維DE模型的極點(diǎn)。關(guān)于矩陣束方法的具體算法原理可以參閱文獻(xiàn)[9]。設(shè)y(n)為雷達(dá)回波序列。

構(gòu)造矢量:Dk=(y(k)，y(k+1)，...，y(N-L0+k-1))T

這里，L0?叟L，構(gòu)造Hankel矩陣:

X0=(DL0-1，DL0-2，…，D0)， X1=(DL0，DL0-1，…，D1) (10)

從而，可將矩陣X0，X1表示為:

X0=ZLBZR， X1=ZLBZZR (11)

其中:

(12)

B=diag(b1，b2，...，bL)， Z=diag(z1，z2，...，zL)(13)

由式(10)可得:

X1-λX0=ZLB(Z-λI)ZR (14)

式中I為單位陣。顯然，由式(14)可知，矩陣束X1-λX0的廣義特征值{λ1，λ2，...，λL}

即為信號(hào)的極點(diǎn){z1，z2，...，zL} ，從而使問題容易求解。

2 兩種算法的性能分析比較

由上面的分析可知，SSM算法和MP算法都是利用雷達(dá)回波序列構(gòu)造Hankel矩陣，然后對(duì)Hankel矩陣進(jìn)行SVD分解，最后對(duì)得到的降秩矩陣進(jìn)行特征值分解來獲得信號(hào)的極點(diǎn)。因此他們的相同之處有:

1)都需要利用雷達(dá)回波序列構(gòu)造Hankel矩陣;

2)都需要將構(gòu)造的Hankel矩陣進(jìn)行奇異值(SVD)分解;

3)都需要對(duì)得到的矩陣進(jìn)行特征值(Eig)分解。

從兩個(gè)算法本身出發(fā)，他們又有許多不同之處:

1)對(duì)Hankel矩陣的分解方法不同

由(3)和(4)可知，SSM算法主要是根據(jù)狀態(tài)空間模型分解Hankel矩陣;而MP算法主要是利用雷達(dá)回波數(shù)據(jù)的DE模型所造成矩陣之間的特殊關(guān)系(見式(10、11))來分解Hankel矩陣。

2)幅度計(jì)算方法不同

由式(9)可知，SSM算法在估計(jì)參數(shù)就可以直接計(jì)算出幅度;而MP算法是在估計(jì)參數(shù)完成后再利用最小二乘等方法來估計(jì)幅度。

3)計(jì)算量分析

由上兩節(jié)的分析可知，SSM算法的計(jì)算量主要源于三個(gè)計(jì)算過程(以下的分析中皆假設(shè)模型階數(shù)P已被準(zhǔn)確估計(jì)出):構(gòu)造Hankel矩陣、對(duì)Hankel矩陣進(jìn)行SVD分解、對(duì)矩陣F進(jìn)行特征值分解。假設(shè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N和窗函數(shù)寬度L相等，根據(jù)以上計(jì)算步驟和文獻(xiàn)[10]的有關(guān)結(jié)論可求得整個(gè)SSM算法提取散射中心參數(shù)的總體計(jì)算量為(單位:flop):

fc≈fcHankel+fcSVD+fcEig (15)

其中fcHankel、fcSVD、fcEig分別表示構(gòu)造Hankel矩陣的計(jì)算量、對(duì)Hankel矩陣進(jìn)行SVD分解以及對(duì)矩陣F進(jìn)行特征值分解(Eig)的計(jì)算量。同理可得基于MP算法提取散射中心參數(shù)的總體計(jì)算量為(單位:flop):

fc≈2fcHankel+2fcSVD+fcEig+fcTLS (16)

其中fcTLS表示整體最小二乘法的計(jì)算量。由式(15)(16)可知，在初始條件都一樣的情況下SSM算法的計(jì)算量比MP算法的計(jì)算量要小。除此之外，SSM算法相比MP算法還具有以下兩個(gè)優(yōu)點(diǎn):1) 更好的抗噪性能。2) 更高的估計(jì)的精度，特別是對(duì)幅度的估計(jì)。下面通過仿真驗(yàn)證這一結(jié)論。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

這里通過仿真數(shù)據(jù)和暗室數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。

1) 仿真數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)及分析

設(shè)目標(biāo)包含的散射中心個(gè)數(shù)為p=2，頻率采樣點(diǎn)N=100，實(shí)驗(yàn)回波信號(hào)模型為:s(n)=c1ep1k+c2ep2k，其中p1=-0.01+j0.08π，p2=-0.02+j0.12π，c1=0.8，c2=0.6。實(shí)驗(yàn)用加性高斯白噪聲，其方差為σ2，定義信噪比(SNR)為信號(hào)與噪聲的平均功率之比:

，

相關(guān)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度L=(2N/3)，M=(N-L-1)/2。表1和表2分別是在不同信噪比條件下基于SSM和MP算法提取的散射中心參數(shù)200次Monte-Carlo結(jié)果與真實(shí)值的偏差。

表1 不同信噪比下SSM算法提取的散射中心參數(shù)與真實(shí)值的偏差表2 不同信噪比下MP算法提取的散射中心參數(shù)與真實(shí)值的偏差

從這兩表可以看出，信噪比大于10dB時(shí)，兩個(gè)算法都能較為準(zhǔn)確地提取目標(biāo)散射中心參數(shù)。同時(shí)也可以看出兩種算法提取ωi和αi的精度明顯比提取ci的精度要高。在提取幅度參數(shù)ci時(shí)SSM算法比MP算法的精度要高，這與上面的分析結(jié)論是一致的。

2) 暗室數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)及分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證和比較估計(jì)方法的性能，采用某彈頭模型的暗室測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，彈頭外形及尺寸如圖2所示。測(cè)量起始工作頻率8GHz，終止工作頻率12GHz，帶寬4G，工作頻率步長(zhǎng)20MHz，HH極化，脈沖重復(fù)頻率100Hz。假設(shè)目標(biāo)散射中心數(shù)為 p=6，將散射中心參數(shù)提取后對(duì)估計(jì)回波進(jìn)行傅里葉(FFT)變換，就可得到目標(biāo)的一維距離像。

圖3和圖4分別是方位角為30°和60°時(shí)基于SSM算法和MP算法所得到的目標(biāo)一維距離像，從圖中可以看出，基于SSM算法的散射中心參數(shù)提取比MP算法更能反映目標(biāo)的真實(shí)特征結(jié)構(gòu)。

4 結(jié)束語(yǔ)

雷達(dá)目標(biāo)一維散射中心參數(shù)提取是雷達(dá)成像的關(guān)鍵，相對(duì)于MP算法來說，SSM算法具有更好的抗噪性能、更高的估計(jì)精度和更小的計(jì)算量，通過計(jì)算機(jī)仿真和暗室實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，在提取目標(biāo)散射中心參數(shù)方面，SSM算法更能反映目標(biāo)的真實(shí)結(jié)構(gòu)特征。

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