在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中重視符號的教學(xué)

數(shù)學(xué)是由概念與命題等內(nèi)容組成的知識體系，正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、獲得數(shù)學(xué)能力的前提。學(xué)生的邏輯思維能力、空間想象能力、運算作圖能力以及“問題解決”過程中的探索能力的提高，都是以數(shù)學(xué)概念為基礎(chǔ)的。從一定意義上來說，數(shù)學(xué)水平的高低，取決于對數(shù)學(xué)概念的掌握程度，而數(shù)學(xué)符號對于構(gòu)成數(shù)學(xué)概念起著及其重要的作用。

一、 重視對符號的語義分析

在概念教學(xué)中，要重視對符號的語義分析，要給表示概念的符號賦予具體內(nèi)容，使學(xué)生了解符號的含義。教師必須幫助學(xué)生透過符號表達(dá)式的形式結(jié)構(gòu)，了解其本質(zhì)內(nèi)容，這樣有助于學(xué)生對概念的理解、掌握和運用。如果學(xué)生只知道符號形式，而不理解其含義，就很容易發(fā)生一些解題錯誤，從而阻礙學(xué)生的思維發(fā)展和對數(shù)學(xué)知識的掌握。

例如:收斂級數(shù)(-1)n+1=1-+-+-+-+…，設(shè)其和為S，于是2S=-+-+-+-+…，我們知道，對于任意有限多項的和而言，可以任意地變換其項的次序而不改變其和的值?，F(xiàn)在，如果適當(dāng)變換諸項的次序，于是級數(shù)中分母相同者得以合并，于是應(yīng)有2S=(-)-+(-)-+(-)-…=1-+-+-…=S ?！逽≠0，∴于是得到2=1。這顯然是一個荒謬的結(jié)論。其錯誤就在于沒有理解無窮級數(shù)的和的含義及其性質(zhì)，而把有限運算的性質(zhì)套用到無限運算之中。

再如，=(+++…+)=0+0+0+…+0=0，其錯誤在于對所求極限式的含義理解不深。事實上，這里的和式+++…+的項數(shù)不確定，隨n的增大而無限增多，因此，不能直接用數(shù)列極限的加法法則來計算。

二、 重視對符號的結(jié)構(gòu)剖析

有些數(shù)學(xué)概念是用構(gòu)造法引進(jìn)的，且構(gòu)造過程煩瑣，相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號結(jié)構(gòu)復(fù)雜、層次多。初接觸這些符號的學(xué)生，往往感到抽象難懂。因此，在概念教學(xué)中，必須注意剖析數(shù)學(xué)符號的結(jié)構(gòu)。例如:定積分的定義f(x)dx=f(?孜i)△xi.

第一，剖析結(jié)構(gòu)的實際來源。數(shù)學(xué)中的一切符號結(jié)構(gòu)式，都有其產(chǎn)生的實際背景(包括理論背景)及歷史背景，教師必須追本溯源，剖析其來源。教學(xué)中以求圖形的面積和求變速直線運動的路程，來引入定積分的概念。第二，剖析結(jié)構(gòu)的層次。定積分概念中的三個層次:(1)分割積分區(qū)間，作乘積f(?孜i)△xi. (2)作和式f(?孜i)△xi.(3)令‖△x‖→0x求極限f(?孜i)△xi.第三，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何解釋。f(?孜i)△xi 代表小矩形的面積，它是細(xì)窄的曲邊梯形面積的近似值;f(?孜i)△xi代表諸小矩形面積的和，它是曲邊梯形面積的近似值; f(?孜i)△xi 則代表曲邊梯形的面積。第四，從方法論角度分析。建立定積分的概念是以極限法為基礎(chǔ)的。所謂極限法，就是用極限概念分析問題解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。定積分概念的構(gòu)造過程，體現(xiàn)了微積分的基本思想。怎樣求曲邊梯形的面積?主要困難是有條曲邊，如果把這條曲邊換成直線就好辦了。因此，就有了“化整為零，以直代曲，積零為整，再取極限”的方法。

三、 注意名詞剖析

我們知道，人們對數(shù)學(xué)對象。通過分析、比較，抽象出一類對象的本質(zhì)屬性而形成概念后，總要賦予簡便的符號，并用詞加以命名即定名稱。概念及其名稱之間有本質(zhì)的區(qū)別，它們分屬兩個不同的范疇，然而它們之間又有不可分割的聯(lián)系。概念的名稱一旦確定，它就成為概念的代名詞，可使思維過程簡縮。借助于概念的名稱，人們可以在低級概念的基礎(chǔ)上引進(jìn)高級概念;借助于概念的名稱，可以對研究對象進(jìn)行分類。名稱，可喚起相應(yīng)的符號、概念。

例如，當(dāng)我們看到或聽到“平行四邊形”這個名稱，我們就會想到符號“?荀”及其概念;當(dāng)我們看到或聽到“定積分”這個名稱，我們就會想到符號“f(x)dx”及其概念;同樣，“導(dǎo)數(shù)、微分、偏導(dǎo)數(shù)”這些名詞又分別和符號“f′(x)、df(x)、”相聯(lián)系。在人們的思維過程中，概念的名稱、符號與概念如此緊密相連，給人以三位一體的感覺，難怪人們常常把名稱、符號誤認(rèn)為概念本身。

數(shù)學(xué)中有些名詞用以稱呼特定的符號形式，它反映了有關(guān)概念的特性。教師講清它們的意義，有利于學(xué)生掌握一般規(guī)律，更好地掌握符號，理解概念。

例如，方程、函數(shù)等概念中的“一般形式”，一次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax+b，指數(shù)函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax(a>0，a≠1)，對數(shù)函數(shù)的一般形式y(tǒng)=?詖ax(a>0，a≠1)，一元二次方程的一般形式Ax2+Bx+C=0(A≠0)。把這些表達(dá)式規(guī)定為“一般形式”，通過對一般形式的討論，得到一般的結(jié)論，用來幫助解決各種具體問題。

再有“最簡形式”“標(biāo)準(zhǔn)形式”如拋物線、橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，這些都是特定符號形式的名稱，在教學(xué)過程中要剖析為什么要把某些符號形式規(guī)定為標(biāo)準(zhǔn)形式?以橢圓為例，建立不同的坐標(biāo)系，就可得到不同的方程，為此，同一個橢圓就會有多種不同的方程，若不規(guī)定一個標(biāo)準(zhǔn)形式，人們就沒有共同的語言。這好比當(dāng)今社會，各行各業(yè)都在不斷制定并出臺國際通行的國際標(biāo)準(zhǔn)一樣。而在數(shù)學(xué)中前人很早就規(guī)定了，在某種坐標(biāo)系中的橢圓方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

愛因斯坦曾說過:“一個人的智力發(fā)展和他的概念方法，在很大程度上是取決于語言的。”可見，語言和概念、語言和智力的密切關(guān)系。數(shù)學(xué)語言是由符號組成的語言，因此，在概念教學(xué)中必須重視符號的教學(xué)。

(無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院)