一元一次不等式考點(diǎn)分析

馬榮平

一元一次不等式（組）的問(wèn)題中考中的一個(gè)重要的考查內(nèi)容，考查的題型可以是填空題、選題，也可以是解答題，考查的方式可以是單一知識(shí)的考查，也可以與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)考查，如與方程、幾何圖形、函數(shù)等. 下面就以一些中考試題為例進(jìn)行分析.

考查知識(shí)點(diǎn)一：不等式與不等式的性質(zhì)

例1 （2014·廣東汕尾）若x>y，則下列式子中錯(cuò)誤的是（ ）.

A. x-3>y-3

B. x3>y3

C. x+3>y+3

D. -3x>-3y

【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，進(jìn)行選擇即可.

【解答】A. 根據(jù)不等式的性質(zhì)1，可得x-3>y-3，故A正確；B. 根據(jù)不等式的性質(zhì)2，可得x3>y3，故B正確；C. 根據(jù)不等式的性質(zhì)1，可得x+3>y+3，故C正確；D. 根據(jù)不等式的性質(zhì)3，可得-3x<-3y，故D錯(cuò)誤；故選擇D.

【考點(diǎn)分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知不等式的性質(zhì)及注意事項(xiàng). 不等式的三個(gè)性質(zhì)（特別是第三個(gè)性質(zhì)）是：（1） 不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變. （2） 不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變. （3） 不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

考查知識(shí)點(diǎn)二：不等式（組）解集的表示

例2 （2013·眉山）不等式組3x<2x+4，

x+33-x≤-1.的解集在數(shù)軸上表示為（ ）.

【分析】利用不等式的性質(zhì)，先求出每個(gè)不等式的解集，然后分別在數(shù)軸上表示出來(lái)即可.

【解答】3x<2x+4，①

x+33-x≤-1.②由①得，x<4；由②得，x≥3，故此不等式組的解集為：3≤x<4，在數(shù)軸上表示為： 故選D.

【考點(diǎn)分析】本題考查了不等式（組）解集的表示. 用數(shù)軸表示不等式的解集，有如下規(guī)律：大于向右畫(huà)，小于向左畫(huà)，有等號(hào)（≥，≤）畫(huà)實(shí)心點(diǎn)，無(wú)等號(hào)（>，<）畫(huà)空心圈. 要特別注意空心實(shí)心的問(wèn)題.

考查知識(shí)點(diǎn)三：解不等式（組）

例3 （2014·鎮(zhèn)江）解不等式：2+2x-13≤x，并將它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

【分析】按照去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)的步驟運(yùn)算.

【解答】去分母，得6+2x-1≤3x.

解得x≥5.

它的解集在數(shù)軸上可表示為：

【考點(diǎn)分析】本題考查了一元一次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是不等式的基本性質(zhì). 解一元一次不等式與解一元一次方程的思想和方法差不多，只是最后系數(shù)化為1的時(shí)候不等式兩邊同時(shí)乘或除以正負(fù)數(shù)涉及到不等號(hào)是否改變的問(wèn)題. 對(duì)于在數(shù)軸在表示不等式的解集，有固定的要求，即“不含等號(hào)的不等式用空心，含等號(hào)的不等式用實(shí)心”，“不等號(hào)的尖端指向哪一邊則其解集指向這一邊”.

例4 （2014·山東濟(jì)南）解不等式組：x-3<1，①

4x-4≥x+2.②

【分析】先求得兩個(gè)不等式的解集，然后確定其公共部分.

【解答】解不等式①，得x<4，解不等式②，得x≥2，∴不等式組的解集為：2≤x<4.

【考點(diǎn)分析】本題考查了一元一次不等式組的解法，解題關(guān)鍵是掌握解不等式組的一般步驟. 此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是在化簡(jiǎn)不等式的過(guò)程中出現(xiàn)漏乘、寫(xiě)錯(cuò)符號(hào)等錯(cuò)誤，在解不等式的過(guò)程中，出現(xiàn)利用不等式的性質(zhì)3時(shí)，沒(méi)有改變不等號(hào)方向的錯(cuò)誤.

考查知識(shí)點(diǎn)四：不等式（組）整數(shù)解

例5 （2014·貴州黔東南州）解不等式組23x+5>1-x，

x-1<34x-18.并寫(xiě)出它的非負(fù)整數(shù)解.

【分析】逐一解兩個(gè)不等式，再求出不等式組解集，從中找出它的非負(fù)整數(shù)解.

【解答】解不等式①，得x>-125；解不等式②，得x<72；∴不等式組的解集為：-125

【考點(diǎn)分析】本題考查了一元一次不等式組的解法以及整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是求出不等式組的解集. 此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是找不等式組解集的公共部分出錯(cuò).

考查知識(shí)點(diǎn)五：不等式（組）有解無(wú)解

例6 （2014·山東濰坊）若不等式組x+a≥0，

1-2x>x-2.無(wú)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）.

A. a≥-1

B. a<-1

C. a≤1

D. a≤-1

【分析】先分別解出兩個(gè)不等式，然后根據(jù)不等式組無(wú)解確定a的取值范圍.

【解答】解不等式①得x≥-a，解不等式②得x<1，因?yàn)椴坏仁浇M無(wú)解，故-a≥1，解得a≤-1，故選擇D.

【考點(diǎn)分析】本題考查了不等式組的解法，解題的關(guān)鍵是明確解不等式組的口決. 此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是未考慮等號(hào)的情況從而誤選答案B. 解不等式組的口訣：“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無(wú)處找”.根據(jù)口訣找到關(guān)于未知數(shù)的不等式求解，同時(shí)要注意單獨(dú)考慮等號(hào)（界點(diǎn)）是否符合題意.

例7 （2014·山東泰安）若不等式組1+x

x+92+1≥x+13-1.有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）.

A. a<-36

B. a≤-36

C. a>-36

D. a≥-36

【分析】先求出不等式組中每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)原不等式組有解確定兩個(gè)不等式的解集之間的關(guān)系，建立不等式求出a的取值范圍.

【解答】不等式1+x

x≥-37.有解，其解集應(yīng)為-37≤x-37，解得a>-36，故應(yīng)選C.

【考點(diǎn)分析】本題考查了不等式組的解集問(wèn)題，關(guān)鍵是要能求出不等式組中每個(gè)不等式的解集，能正確理解有解的意義. 此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是不能確定不等式組有解時(shí)原不等式組中的兩個(gè)不等式的解集之間的關(guān)系，找不出a應(yīng)滿足的條件而出錯(cuò). 根據(jù)一元一次不等式組的解集情況，推測(cè)字母系數(shù)的值的范圍，先確定不等式組解集用字母系數(shù)表示的情況，結(jié)合解集情況構(gòu)造關(guān)于字母系數(shù)的不等式. 本題也可以利用數(shù)軸，從直觀上去解決問(wèn)題.

考查知識(shí)點(diǎn)五：不等式（組）應(yīng)用

例8 （2014·湖南長(zhǎng)沙）為建設(shè)“秀美幸福之市”，長(zhǎng)沙市綠化提質(zhì)改造工程正如火如茶地進(jìn)行. 某施工隊(duì)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲乙兩種樹(shù)苗共400棵對(duì)芙蓉路的某標(biāo)段道路進(jìn)行綠化改造，已知甲種樹(shù)苗每棵200元，乙種樹(shù)苗每棵300元.

（1） 若購(gòu)買(mǎi)兩種樹(shù)苗的總金額為90 000元，求需購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種樹(shù)苗各多少棵？

（2） 若購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗的金額不少于購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)苗的金額，至少應(yīng)購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗多少棵？

【分析】（1） 根據(jù)甲乙兩種樹(shù)苗共400棵，總金額為90 000元建立方程（組）可求出其解；（2） 根據(jù)甲種樹(shù)苗的金額不少于購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)苗的金額，建立一元一次不等式可求出其解.

解：（1） 設(shè)需購(gòu)買(mǎi)甲樹(shù)苗x棵，則購(gòu)買(mǎi)乙樹(shù)苗（400-x）棵

依題意得：200x+300（400-x）=90 000，

解得：x=300，

∴400-x=400-300=100（棵）.

答：需購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗300棵，乙種樹(shù)苗100棵.

（2）由題意得：200x≥300（400-x），

解得：x≥240.

∴至少要購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗240棵.

【考點(diǎn)分析】本題考查了用一元一次方程（組）和一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系和不等關(guān)系. 此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是審題不清，找不到相等關(guān)系或不等關(guān)系. 其中列不等式（組）解應(yīng)用題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出題目中的不等關(guān)系或隱含的不等關(guān)系，再根據(jù)相應(yīng)的關(guān)系列出不等式（組）. 要注意通常不等關(guān)系的給出總是以“至少”、“沒(méi)滿”、“少于”、“不超過(guò)”、“最大”等關(guān)鍵詞語(yǔ)作為標(biāo)志. 有時(shí)在解出不等式（組）之后，還要根據(jù)實(shí)際情境適當(dāng)取舍，選出符合要求的答案來(lái).

例9 （2014·廣西百色）有2條生產(chǎn)線計(jì)劃在一個(gè)月（30天）內(nèi)組裝520臺(tái)產(chǎn)品（每天產(chǎn)品的產(chǎn)量相同），按原先的組裝速度，不能完成任務(wù)；若加班生產(chǎn)，每條生產(chǎn)線每天多組裝2臺(tái)產(chǎn)品，能提前完成任務(wù).

（1） 每條生產(chǎn)線原先每天最多能多組裝多少臺(tái)產(chǎn)品？

（2） 要按計(jì)劃完成任務(wù)，策略一：增添1條生產(chǎn)線，共要多投資19 000元；策略二：按每天能組裝最多臺(tái)數(shù)加班生產(chǎn)，每條生產(chǎn)線每天共要多花費(fèi)350元；選哪一個(gè)策略較省費(fèi)用？

【分析】不等式的實(shí)際應(yīng)用是不等式知識(shí)的一個(gè)重要考點(diǎn)，解題時(shí)，我們要正確分析和處理已知信息，抓住隱含在題目中表征不等關(guān)系的關(guān)鍵詞，如‘不超過(guò)’、‘最低’、‘至少’、‘最多’、‘不大于’等，找準(zhǔn)不等關(guān)系，正確設(shè)出未知數(shù)，列不等式解決.

解：（1） 設(shè)每條生產(chǎn)線原先每天最多能多組裝x臺(tái)產(chǎn)品，依題意，得：

2×30x<520，

2×30（x+2）>520.解得：203

（2） 選用策略一，共要多投資19 000元；選用策略二，共要多投資：350×2×520（8+2）×2=18 200（元）；∵19 000>18 200，∴選用策略二較省費(fèi)用.

【考點(diǎn)分析】本題考查了不等式組的實(shí)際應(yīng)用，正確找出題中的不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 利用不等式組來(lái)解決方案選擇問(wèn)題是中考的常見(jiàn)題型，這類題的通常做法是：首先找出題目中隱含的不等關(guān)系，然后列出符合題意的不等式或不等式組求解；最后根據(jù)題目要求用不等式組的正整數(shù)解確定選擇符合要求的方案.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）