順序統(tǒng)計(jì)量的分布及其應(yīng)用

摘 要:順序統(tǒng)計(jì)量是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的重要概念之一，它在參數(shù)性統(tǒng)計(jì)和非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用。本文主要用“概率元方法”推導(dǎo)任何一個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量的分布，極小順序統(tǒng)計(jì)量和極大順序統(tǒng)計(jì)量的分布及其元件可靠性方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞:順序統(tǒng)計(jì)量 “概率元”方法 元件失效概率

順序統(tǒng)計(jì)量在近代統(tǒng)計(jì)推斷中起著重要的作用，這是由于有一些性質(zhì)不依賴于母體的分布，而且計(jì)算量很小，使用起來較方便，因此在質(zhì)量管理、可靠性等方面得到廣泛的應(yīng)用。求離散型隨機(jī)變量的順序統(tǒng)計(jì)量的分布比較容易，本文就連續(xù)型隨機(jī)變量略加探討，為方便起見，假設(shè)隨機(jī)變量X是連續(xù)型隨機(jī)變量。

一、基本概念

定義:設(shè)X1，…，Xn是來自某總體的一個(gè)樣本，該樣本的第i個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量，記為X(i)，它是如下的樣本函數(shù)，每當(dāng)該樣本得到一組觀測值x1，…xn，時(shí)，將它們從小到大排列為x(1)≤x(2)≤…≤x(n)其中第i個(gè)值x(i)就是X(i)的觀測值。稱(X1，…，Xn)為該樣本的順序統(tǒng)計(jì)量，X1稱為該樣本的最小順序統(tǒng)計(jì)量，Xn稱為該樣本的最大順序統(tǒng)計(jì)量。

二、主要命題

在總體有密度函數(shù)p(x)場合，各種順序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)都容易用“概率元”方法導(dǎo)出。大家知道，連續(xù)型隨機(jī)變量落在很小區(qū)間(x，x+dx)內(nèi)的概率為P(x﹤X≤x+dx)=p(x)d+o(dx)

其中o(dx)是比dx高階的無窮小量，所以p(x)dx是左端概率的主要部分，稱為是X的概率元。反之，若存在函數(shù)p(x)使上式成立，則p(x)就是X的密度函數(shù)。此種尋求密度函數(shù)方法稱為“概率元方法”。這個(gè)方法在多維聯(lián)合密度場合也適用，下面概率元方法來尋求各種順序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)。

設(shè)X1，…，Xn是來自某總體的一個(gè)樣本，該總體的分布函數(shù)為F(x)，密度函數(shù)為p(x)，該樣本的順序統(tǒng)計(jì)量為X(1)≤…X(n)，它們的觀測值依次記為y1≤…≤y(n)，X(k)的密度函數(shù)g(yk)，其中1≤k≤n，X(k)的觀測值為yk，以yk為基礎(chǔ)把實(shí)數(shù)軸分為三個(gè)區(qū)間:(-∞，yk)，[yk，yk+dyk)，[yk+dyk，∞)。

特別，X1與Xn的密度函數(shù)分布為

g(y1)=n[1-F(y1)]n-1p(y1)(2)

g(yn)=n[F(yn)]n-1p(yn)(3)

三、應(yīng)用

例.設(shè)電子元件的壽命X服從參數(shù)為θ=0.0015的指數(shù)分布。測試了6個(gè)元件，分別記錄它們失效的時(shí)間(單位:h)。試求(1)至800h時(shí)，沒有一個(gè)元件失效的概率;(2)至3000h時(shí)，所有元件都失效的概率。

解:X的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

f(x)=0.0015e-0.0015x，x>00，x≤0

F(x)=1-e-0.0015x，x>00，x≤0

(1)由式(2)，極小順序統(tǒng)計(jì)量X(1)的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

f1(x)=0.009e-0.009x，x>00，x≤0

F1(x)=1-e-0.009x，x>00，x≤0

至800h沒有一個(gè)元件失效的概率為

p(X(1)>800)=1-F1(800)=1-(1-e-0.009(800))=e-7.2

(2)由式(3)，極大順序統(tǒng)計(jì)量X(6)的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

f6(x)=0.009e-0.0015x(1-e-0.0015x)5，x>00，x≤0

F6(x)=(1-e-0.0015x)6，x>00，x≤0

至3000h時(shí)，所有元件都失效的概率為

P(X(6)<3000)=F6(3000)=(1-e-4.5)6

參考文獻(xiàn):

1.魏宗舒等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程. 北京:高等教育出版社，1983

2.施雨.應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì).西安交通大學(xué)出版社，2005

作者單位:江西萍鄉(xiāng)高等?？茖W(xué)校