謝飛祥

數(shù)學對發(fā)展推理能力的作用，人們早已認同?？茖W結(jié)論(包括數(shù)學的定理、法則、公式等)的發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對事物的觀察、比較、歸納、類比……即通過合情推理提出猜想，然后再通過演繹推理證明猜想的正確與錯誤。但是，長期以來，數(shù)學教學注重采用“形式化”的方式發(fā)展學生的演繹推理能力，卻忽視了合情推理能力的培養(yǎng)。合情推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于義務(wù)教育階段教學的始終，歸納推理、類比推理、統(tǒng)計推理、猜想等是合情推理的重要形式。

一、提供豐富典型的材料，培養(yǎng)學生的歸納推理能力

有專家認為，演繹推理的主要功能在于驗證結(jié)論，而不是發(fā)現(xiàn)結(jié)論，我們?nèi)鄙俚氖歉鶕?jù)情況預(yù)測結(jié)果的能力和根據(jù)結(jié)果探究成因的歸納推理能力。歸納推理是從特殊判斷到一般判斷的推理，這種推理又分為完全歸納和不完全歸納兩種。其中不完全歸納推理系根據(jù)某類事物中的部分情況具有某種屬性而作出一般性結(jié)論，是人類發(fā)現(xiàn)真理、認識客觀世界、探索未知領(lǐng)域的一種重要方法。在小學數(shù)學教材中，如運算定律、基本性質(zhì)、法則、公式等都是以不完全歸納推理概括出來的，所以，教師在教學中應(yīng)有目的地提供豐富而典型的感性材料，通過動手操作、自主探究、同伴合作等形式；培養(yǎng)學生的歸納推理能力。

加在教學“圓的周長”時，教師先引導(dǎo)學生運用繞線法和滾動法實際測量出幾個圓的周長：直徑1厘米的圓周長約3.14厘米：直徑2厘米的圓周長約6.28厘米：直徑3厘米的圓周長約9.43厘米：直徑4厘米的圓周長約12.57厘米……然后讓學生通過觀察，最后歸納得出：不論圓的大小如何，圓的周長總是它的直徑長度的3倍多一點。通過這樣為學生理解圓周率的概念提供豐富的感性材料，圓周長公式的得出也就水到渠成了。

在小學低年級的數(shù)學教學中有計劃地培養(yǎng)學生的歸納能力，尤其要從豐富的感性材料入手，由教師講解歸納的過程，逐步過渡到在教師引導(dǎo)下由學生對簡單問題進行歸納：中年級學生對歸納推理已經(jīng)積累了一些經(jīng)驗，可以在教師引導(dǎo)下逐步增加自己歸納推理的成分：高年級的學生一般來說已經(jīng)有了初步的歸納能力，可以放手讓他們自己進行歸納，進一步提高歸納能力。值得注意的是。在應(yīng)用不完全歸納推理時，有時根據(jù)不多的幾個事例會得出不正確的結(jié)論，因此，所舉事實必須豐富并且有代表性，做出結(jié)論后還要進一步予以驗證。

二、提出有挑戰(zhàn)性的問題，培養(yǎng)學生的類比推理能力

德國古典哲學家康德認為：“每當理智缺乏可靠論證的思想時，類比這個方法往往指引我們前進?！辈ɡ麃喴苍叨仍u價類比的作用和意義，說：“類比似乎在一切發(fā)現(xiàn)中有作用，而且在某些發(fā)現(xiàn)中有它最大的作用?！彼€說：“類比是提出新命題和獲得發(fā)現(xiàn)取之不竭的源泉?！鳖惐韧评硎歉鶕?jù)兩個不同對象的某些方面(特性、屬性、關(guān)系等)相同或相似，推出它們在其他方面也可能相同或相似的思維形式，屬于由特殊到特殊的推理。這也是一種尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的基本而重要的手段，在小學數(shù)學教材中，有些性質(zhì)是十分相似的，如商不變性質(zhì)、分數(shù)基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)等。在教學時可緊緊抓住除法、分數(shù)和比三者之間的關(guān)系，由商不變的性質(zhì)類推出分數(shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)。在小學數(shù)學教學中，類比推理是學生獲得概念、方法、定律和公式的重要手段，同時也是探索問題、解決問題和發(fā)現(xiàn)新結(jié)果時一種有效的思維方法。

如在教學“分數(shù)應(yīng)用題”時，筆者出示了一道題：如果一匹布料做兒童服裝能做40套，做大人服裝只能做16套，在用這匹布做15套兒童服裝后，剩下的布還可以做幾套大人服裝?這是一道富有挑戰(zhàn)性的題目，學生在解答時一開始無從著手，即使進行了思考和分析，電很難理清數(shù)量關(guān)系，大家正在靜思默想時，突然有學生說：“老師，這道題目與我們以前學過的分數(shù)工程問題的應(yīng)用題相類似?！薄澳隳芘e例說明嗎?”“能。就像一項工程，甲隊單獨做要40天完成，乙隊單獨做要16天完成?，F(xiàn)在由甲隊先單獨做15天，剩下的任務(wù)由乙隊做。乙隊還要做幾天才能完成這項工程?”一進行類比，其他學生茅塞頓開。運用類比推理，抽象的內(nèi)容可以具體化、形象化，陌生的東西可以轉(zhuǎn)化為熟悉的東西，深奧的道理可以明白簡單地被揭示出來，

在數(shù)學思維活動中，類比的表現(xiàn)形式是多種多樣的。通?？煞譃楹唵蔚念惐扰c復(fù)雜的類比兩類。簡單的類比即形式的類比，如由“在除法算式中，除數(shù)不能為零”，類比推出“分數(shù)的分母不能為零”和“比的后項不能為零”。復(fù)雜的類比即實質(zhì)的類比，這種類比能拓寬學生的知識面，引導(dǎo)他們挖掘數(shù)量間隱藏著的內(nèi)在聯(lián)系，掌握數(shù)量間可能引起的變化規(guī)律。

三、拓寬自主探索的空間。培養(yǎng)學生的統(tǒng)計推理能力

所謂統(tǒng)計推理，是指運用數(shù)理統(tǒng)計方法，對大量似乎重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象作出統(tǒng)計分析。然后提出某個推論，但這個推論只是一種可能性的或是“統(tǒng)計規(guī)律性”的看法。統(tǒng)計推理與其他推理不同的是，由統(tǒng)計推理得到的結(jié)論無法用邏輯的方法去檢驗，只能靠實踐來證實。如在教學中所碰到的對“這個結(jié)果事出偶然的可能性有多大”“如果試驗做很多很多次，那么這個試驗得出一個特定結(jié)果的可能性如何”等問題的回答，都只能是靠概率統(tǒng)計為基礎(chǔ)的推理?！稊?shù)學課程標準》要求從不同層面讓學生體會統(tǒng)計對決策的作用：一是對某事件有一個猜測，為了檢驗這個猜測，學生要自己設(shè)計統(tǒng)計活動。動手收集、整理與分析數(shù)據(jù)：另一種是面對一批數(shù)據(jù)，學生能夠根據(jù)已有的知識進行分析，作出合理的推測。所以。在教學“統(tǒng)計與概率”時。教師要為學生創(chuàng)設(shè)自主探索的時空，使其經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、作出推斷和決策的全過程，這樣才能發(fā)展學生的統(tǒng)計推理能力。

如在教學“統(tǒng)計”后，教師布置了課外作業(yè)：“為了籌備新年的聯(lián)歡晚會，準備哪些水果才受歡迎呢?”為此，每個學生對全班同學喜歡什么樣的水果進行調(diào)查，然后把調(diào)查所得的結(jié)果整理成數(shù)據(jù)，并進行比較，再根據(jù)處理后的數(shù)據(jù)作出決策，確定應(yīng)該準備什么水果。這個過程的推理就是統(tǒng)計推理，雖然這個結(jié)果只能使絕大多數(shù)同學喜歡(而不是全部)，但是仍有助于學生根據(jù)需要在紛繁復(fù)雜的信息中作出選擇和判斷，進行推理與作出決策，即對統(tǒng)計推理的過程的理解有助于學生得出準確和有價值的結(jié)論。

四、預(yù)設(shè)認知沖突的情景，培養(yǎng)學生的數(shù)學猜想能力

牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)?！辈ɡ麃喺J為：“說得直截了當一點，合情推理就是猜想?！辈孪胧呛锨橥评碜钇毡椤⒆钪匾囊环N，歸納、類比都包含著猜想的成分。數(shù)學猜想是人們依據(jù)已有數(shù)學知識和經(jīng)驗，運用非邏輯的思維方法，憑借直覺而作出的假設(shè)和預(yù)測。它是人們探索數(shù)學規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的手段和策略。培養(yǎng)小學生的猜想能力，不僅能調(diào)動學習的積極性、主動性，而且有利于培養(yǎng)直覺思維、探索精神和創(chuàng)新意識，發(fā)展合情推理能力。傳統(tǒng)的教學留給學生思維活動的內(nèi)容和時間太少，不僅削弱了認知的發(fā)生過程，而且容易導(dǎo)致思維禁錮，不敢或不能提出猜想。這與培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力的時代要求是相悖的。為了發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維，教師應(yīng)該教給思維方法。鼓勵他們對具體問題和具體教材進行分析。通過觀察、實驗、類比、歸納等手段提出猜想。這樣，有助于學生掌握數(shù)學知識，滿足其求知欲望，學會探求知識的方法。在小學數(shù)學教育中，要積極創(chuàng)造條件，引導(dǎo)學生大膽猜想。

如在教學“數(shù)的整除”時，在學生知道了能被2.5整除的數(shù)的特征后，教師讓學生猜想能被3整除的數(shù)的特征。許多學生認為個位上是3，6，9的數(shù)都能被3整除，這時教師就列舉出了13，16，29等不能被3整除的數(shù)，讓學生嘗試后發(fā)現(xiàn)他們的猜想是不對的。接著，教師提出“那么能被3整除的數(shù)不看個位。該由什么決定”和“它們的特征是什么”這兩個問題。教師的提問立即喚起了學生的有意注意，激發(fā)起探究欲望，引發(fā)了各種猜想。要發(fā)展小學生的數(shù)學猜想能力，在教學中須注意：(1)營造和諧環(huán)境鼓勵大膽猜想。(2)積極引導(dǎo)啟發(fā)，滲透猜想方法。在教學過程中引導(dǎo)學生主動利用已有的知識和經(jīng)驗，通過觀察、歸納、類比、聯(lián)想等方法獲得猜想，并通過語言外化出來，促使學生逐步學會有根有據(jù)、合情合理地猜想。(3)加強猜想后的檢驗。引導(dǎo)學生通過觀察、操作、實驗、計算、推理等方法進行檢驗、證明，從而發(fā)展猜想能力。

波利亞認為，對于一個想以數(shù)學作為終身職業(yè)的學生來說，為了存數(shù)學上取得真正的成就，就得掌握合情推理：對于一般學生來說，也必須學習和體驗合情推理，這是未來生活的需要。因此，教師在教學中須充分挖掘發(fā)展合情推理能力的因素，有意識地提供合情推理機會，培養(yǎng)學生的合情推理思維能力。

作者簡介：中學高級教師，浙江省優(yōu)秀教師。近年來致力于小學數(shù)學課堂教學研究，有20多篇論文在報刊上發(fā)表，其中3篇論文被中國人民大學書報資料中心全文轉(zhuǎn)載。

責任編輯鄧園生