數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生空間觀念“三步曲”

孔新偉

何謂“空間觀念”，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為空間觀念主要表現(xiàn)為“能夠由實物的形狀想像出幾何圖形，由幾何圖形想像出實物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化”?？臻g觀念的發(fā)展是一個包括觀察、想像、比較、綜合、抽象分析，不斷由低到高向前發(fā)展地認(rèn)識客觀事物的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)怎樣有效地促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展呢？筆者認(rèn)為,關(guān)鍵是引領(lǐng)學(xué)生在“形象”與“抽象”之間反復(fù)跳轉(zhuǎn)，讓其在螺旋式跳轉(zhuǎn)中逐步建構(gòu)起對空間與平面相互關(guān)系的認(rèn)識。具體可分三步走。

一、 “形象→表象”：空間觀念發(fā)展的經(jīng)驗儲備階段

學(xué)生的空間知識來自豐富的現(xiàn)實原型，他們的空間觀念是在生活經(jīng)歷中與客觀環(huán)境不斷接觸時逐步形成和發(fā)展起來的。心理學(xué)研究表明：學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識時，要從具體事物的感知出發(fā)，獲得清晰、深刻的表象，再逐步抽象出幾何形體的特征，以形成正確的概念?？梢?，儲備學(xué)生的現(xiàn)實原型表象是發(fā)展學(xué)生空間觀念的前提條件。那么，教學(xué)中怎樣創(chuàng)造條件促使學(xué)生由“形象”向“表象”過渡呢？教師可以讓學(xué)生對生活經(jīng)驗進(jìn)行回憶，充分利用學(xué)生的視覺、聽覺、觸覺等多種感覺器官，讓學(xué)生通過看一看、摸一摸、量一量、比一比、想一想、畫一畫、折一折、擺一擺、剪一剪等實踐活動，促使“實物表象→模型表象→圖形表象”逐級提升，從而以豐富的表象作為建立空間觀念的堅實載體。

例如，教學(xué)“長方體的認(rèn)識”時，教師首先引導(dǎo)學(xué)生回憶生活中哪些物體的形狀是長方體的，學(xué)生舉出了粉筆盒、牙膏盒、電冰箱、電視柜等等，教師引導(dǎo)學(xué)生閉上眼睛想象：這些長方體物體的形狀是怎樣的，它們有什么共同的地方（想象后和同桌互相說一說）。通過這些活動以建立學(xué)生的實物表象。在此基礎(chǔ)上，教師給學(xué)生提供長方體模型學(xué)具，讓學(xué)生進(jìn)行看一看、摸一摸、數(shù)一數(shù)、拆一拆等操作活動，建立起模型表象。然后，再次讓學(xué)生閉上眼睛想象：通過剛才的操作活動，你覺得長方體應(yīng)該是一種怎樣的形狀？最后讓學(xué)生看著模型，將想象的結(jié)果在紙上用簡單的圖表示出來（學(xué)生畫得是否標(biāo)準(zhǔn)并不重要，重要的是將自己想象的結(jié)果真實地呈現(xiàn)出來），并說一說在畫的時候要注意什么。通過畫形象圖，促進(jìn)學(xué)生的空間想象由“形象”向“表象”躍進(jìn)，最終使學(xué)生形成較為準(zhǔn)確、清晰的圖形表象。

二、 “表象→抽象”：空間觀念發(fā)展的理性分析階段

當(dāng)學(xué)生具備了一定的表象經(jīng)驗之后，要不失時機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生將形成的表象進(jìn)行提煉、概括，即透過表面的現(xiàn)象找出事物的本質(zhì)特征，因為學(xué)生只有充分認(rèn)識了空間與圖形的本質(zhì)特征后，才能真正運用空間表象進(jìn)行一系列的思考活動，解決空間與圖形領(lǐng)域的問題，從而形成含有理性成分的空間觀念。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也指出了空間觀念在分析和抽象層次上的表現(xiàn)，如“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形”、“能描述實物或幾何圖形的運動和變化”、“能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的相互關(guān)系”等等，這些要求都是在學(xué)生具備一定的空間表象基礎(chǔ)上，提出了根據(jù)圖形的本質(zhì)特征在邏輯上對圖形關(guān)系進(jìn)行分析與操作。那么，在教學(xué)中怎樣引導(dǎo)學(xué)生對空間表象進(jìn)行邏輯推理和抽象概括，從而發(fā)現(xiàn)空間與圖形的本質(zhì)特征？可以采取如下一些策略：

1.觀察——比較

給學(xué)生提供具體材料，讓學(xué)生通過觀察比較，發(fā)現(xiàn)空間與圖形的規(guī)律性特征。例如，上“觀察物體”一課，指名不同學(xué)生用數(shù)碼相機(jī)為一個同學(xué)進(jìn)行不同方位的拍照，并把這些照片展示出來，讓學(xué)生仔細(xì)觀察這些照片，通過比較，猜一猜每一張照片是小攝像師站在哪個方位拍的。然后進(jìn)行親自的本位、換位觀察學(xué)具，通過交流比較后得出：同一件事物，觀察的角度不同，所得的結(jié)果也就各不相同。

2.操作——感悟

給學(xué)生提供豐富的動手材料，放手讓他們通過操作去感悟空間與圖形的特征，獲得親身體驗。例如，上“圓的認(rèn)識”時，給學(xué)生提供圓形紙片，學(xué)生通過折紙感悟到：圓的半徑有無數(shù)條，長度都相等，直徑也有無數(shù)條，長度也都相等，在同一個圓里，直徑是半徑的2倍，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了圓是軸對稱圖形，兩次對折后可以找到圓心，等等，所有這些內(nèi)在規(guī)律都可以通過操作圓形紙片得到證明。

3.猜想——驗證

鼓勵學(xué)生根據(jù)已有的表象經(jīng)驗，對空間與圖形的本質(zhì)特征進(jìn)行大膽假設(shè)，引領(lǐng)他們進(jìn)行猜想和驗證的探究活動。例如，學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積計算”，教師先讓學(xué)生大膽猜想平行四邊形的面積計算方法，不少學(xué)生受長方形的負(fù)遷移影響，認(rèn)為平行四邊形的面積也是“兩邊相乘”。教師“將錯就錯”，引導(dǎo)學(xué)生展開驗證活動，出示下圖：

學(xué)生通過探究，發(fā)現(xiàn)“a×b”是長方形的面積，它大于平行四邊形的面積，而算平行四邊形的面積，要將長方形外的小直角三角形平移進(jìn)來，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形來計算，從而得出“底×高”的結(jié)論。

4.試驗——發(fā)現(xiàn)

為學(xué)生創(chuàng)設(shè)“試驗”的情境，讓他們通過親自嘗試、篩選，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論。例如，前面舉過的例子“長方體的認(rèn)識”，當(dāng)學(xué)生具備了一定的長方體表象后，要引導(dǎo)學(xué)生對長方體的本質(zhì)特征展開探索：提供長方形（多于6個）和小棒（多于12根并有接頭），讓學(xué)生選擇其中所需部分，組裝成一個長方體。學(xué)生要根據(jù)已有的表象經(jīng)驗，判斷出所需材料的數(shù)量，然后提出假設(shè)，確定試驗的范圍，接著逐一進(jìn)行試驗，通過試驗篩選，完成長方體的組裝，在組裝過程中發(fā)現(xiàn)長方體“面、棱、頂點”方面的內(nèi)在特征。

三、 “抽象→形象”：空間觀念發(fā)展的檢驗應(yīng)用階段

當(dāng)學(xué)生經(jīng)過抽象概括獲得空間理性認(rèn)識后，接下去要將這些抽象概念具體化，一方面是檢驗概念的外延范圍，另一方面是運用所學(xué)知識來解決一些實際問題，在實際應(yīng)用中進(jìn)一步鞏固和深化空間概念?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也進(jìn)一步指出，空間觀念的表現(xiàn)還包括“能運用圖形形象地描述問題，利用直觀進(jìn)行思考”。該階段的“形象”和第一階段中所講的“形象”已有本質(zhì)的區(qū)別：第一階段中的“形象”是指利用學(xué)生頭腦中已有的“直觀經(jīng)驗”，它是在要學(xué)的概念之前，是零散、瑣碎、模糊的；而此時的“形象”是學(xué)生已經(jīng)獲得理性認(rèn)識之后，將理性概念運用到具體中去，尋找形象例子，以進(jìn)一步驗證概念的正確性和范圍，并解決一些實際問題。

例如，學(xué)習(xí)“圖形的認(rèn)識”，學(xué)生經(jīng)過猜想、操作驗證后獲得了“三角形不容易變形，四邊形容易變形”這一理性認(rèn)識。為了檢驗這個規(guī)律的普遍性，教師引領(lǐng)學(xué)生展開了一系列的活動：首先拿出一把會搖動的椅子讓學(xué)生坐一坐，問學(xué)生有什么感覺，學(xué)生說椅子壞了，坐不穩(wěn)，教師讓學(xué)生討論怎樣應(yīng)用三角形穩(wěn)定性的特征來修理這把椅子，并親自動手把它修好，然后再次坐一坐，檢驗是否能坐穩(wěn)了；教師還帶領(lǐng)學(xué)生到馬路旁、商店內(nèi)觀察，哪些地方用到三角形的穩(wěn)定性？哪些地方運用到平行四邊形的不穩(wěn)定性？經(jīng)過這種實地的觀察、觸摸，學(xué)生對這些本質(zhì)特征確信不疑，并深深地體驗到了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

總之，空間觀念是以學(xué)生豐富的空間經(jīng)驗為出發(fā)點，在活動體驗的過程中逐步建立、形成、強(qiáng)化和發(fā)展起來的，它需要一個漫長的過程。只要我們堅持沿著“形象→表象→抽象→形象”的軌跡，不斷地循環(huán)下去，學(xué)生的空間觀念就會從無到有、從少到多、從模糊到清晰地發(fā)展，學(xué)生的空間想象力也會由弱到強(qiáng)、由低級到高級、由單一到復(fù)雜地不斷提升。

責(zé)任編輯：陳國慶