數(shù)形結(jié)合，促成算理與算法的有效融合

王少平

蘇教版國標本數(shù)學(xué)教材三年級上冊“商末尾有零的除法”教學(xué)片段：

教師先出示一道上節(jié)課學(xué)過的“兩位數(shù)除以一位數(shù)”的題：63÷3，學(xué)生很快算出結(jié)果“21”。

教師緊接著出示“62÷3”，師生共同列豎式，得出“個位上的2除以3不夠商1，就商一個比1小的數(shù)‘0”，結(jié)果是“20……2”。師結(jié)語：“個位上不夠商1時，就寫0占位。”

隨后，教師出示例題，明確題意后列出式子：62÷3。

師：“怎樣把這62個羽毛球平均分成3份呢？想辦法分一分。”

學(xué)生們有的看圖，有的用小棒操作。之后匯報交流：先把60個羽毛球平均分成3份，每份20個，余下的2個不夠分成3份，余數(shù)就是2。

教師板書：“62÷3＝20（個）……2（個）”。

反思：在計算教學(xué)中，存在著一對基本矛盾——算理直觀與算法抽象。案例中，教師避重就輕，把“商末尾有零的除法”的關(guān)鍵部分處理得極為草率，只是借助上節(jié)課的“筆算兩位數(shù)除以一位數(shù)”，依葫蘆畫瓢式的讓學(xué)生得出“62÷3＝20……2”。對于豎式里的“商的十位上為什么寫2？商的個位可不可以不寫0？”這樣的核心問題，學(xué)生還沒有完全弄明白，新授部分就結(jié)束了。教師在算理和算法之間劃清界限、淡化了算理和算法之間的聯(lián)系，不利于學(xué)生理解算理和掌握算法。

其實，在算理與算法之間有著密切的關(guān)系：算理是客觀存在的規(guī)律，為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性，它是算法的理論依據(jù)；算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算的速度，它是算理的提煉和概括，二者是相輔相成的。要實現(xiàn)二者的有效融合很有必要，它不僅關(guān)系著算理能否掌握，還直接關(guān)系算法能否落實。怎樣將二者融合呢？

教者采用數(shù)形結(jié)合的方式進行了二次設(shè)計，下面呈現(xiàn)的是對三者進行溝通聯(lián)系時的一個完整板書：

教學(xué)中，師生的交流圍繞兩個中心問題展開：①為什么商中的“2”要寫在十位上？②為什么商的個位上要寫0？這兩個問題正是“商末尾有零的除法”的難點所在。課堂上，師生把情景圖、算理、算法三者緊密聯(lián)系在一起，并以板書的形式呈現(xiàn)出來，學(xué)生在理解以上這兩個中心問題時就有的放矢了，師生間有如下的一段精彩對話：

師：為什么2要寫在商的十位上。

生1：因為它表示20，如果寫在個位上就表示2了！

生2：因為是先把60個羽毛球平均分成3份的，每份是20個，所以2要寫在十位上，表示20。

師：老師聽明白了！誰又能說一說，為什么商的個位上要寫0呢？

生1：個位上的兩個羽毛球不夠平均分成3份，不夠商1，就商一個比1小的數(shù)‘0，個位上的‘2就余下來了。

生2：“0”是用來占位的，因為商的十位上是2，如果個位上不用0占位，不就變成‘2了嗎？

……

學(xué)生利用直觀的分一分，不僅理解了算理，而且有效地突破了算法上的難點。著名數(shù)學(xué)特級教師徐斌老師說過：應(yīng)該給計算教學(xué)加點“甜味”，即在算理直觀與算法抽象之間架設(shè)一座橋梁，鋪設(shè)一條道路，讓學(xué)生在充分體驗中逐步完成動作思維→形象思維→抽象思維的發(fā)展過程。在筆者看來，數(shù)形結(jié)合就是“甜味”、“橋梁”和“道路”。華羅庚先生說過，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。他認為僅就數(shù)而論，則缺乏直觀性；僅就形而論，則缺乏嚴密性。數(shù)形結(jié)合可以把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，把抽象思維與形象思維相結(jié)合。只有二者結(jié)合時才可以優(yōu)勢互補，收到事半功倍的效果。不少教師認為計算教學(xué)簡單枯燥，但在徐斌老師的課堂上，這種簡單枯燥可以轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”。下面呈現(xiàn)的是徐斌老師執(zhí)教“一位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”的一個精彩片段，相信大家會對如何通過數(shù)形結(jié)合溝通算理與算法之間的聯(lián)系有更深刻的認識。

教學(xué)中，徐老師首先出示情景圖，明確題意，列出算式：2×14。接著讓學(xué)生自主探索計算方法，學(xué)生們有的看圖知道得數(shù)，有的用加法算出得數(shù)，有的用小棒擺出得數(shù)，也有的用乘法算出得數(shù)。然后組織學(xué)生交流自己的算法，老師板書初始豎式（圖1）：

同時結(jié)合講解、教具演示、學(xué)具操作進行數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生將這一豎式簡化（圖2）。這里，徐老師沒有一味地講解算法，而是緊緊聯(lián)系算理，通過教具、學(xué)具的演示操作，讓學(xué)生在直觀算理的支撐下去學(xué)習(xí)抽象的算法，注重數(shù)形結(jié)合，將直觀的算理與抽象的算法有機融合，使學(xué)生直觀、明了地理解了原本抽象的算法，建立起豎式計算的模型。這樣的教學(xué)以思維為主線、以算理為先導(dǎo)、以創(chuàng)造為契機，學(xué)生不但理解了算理，而且創(chuàng)造出了簡便的計算方法，并歸納出計算法則，實現(xiàn)了算理與算法的有效融合。