基于加權(quán)最小二乘法的武器裝備批量生產(chǎn)成本費(fèi)用研究

張 侃 劉寶平 叢 琳

海軍工程大學(xué)裝備經(jīng)濟(jì)管理系，湖北 武漢430033

基于加權(quán)最小二乘法的武器裝備批量生產(chǎn)成本費(fèi)用研究

張 侃 劉寶平 叢 琳

海軍工程大學(xué)裝備經(jīng)濟(jì)管理系，湖北 武漢430033

加權(quán)最小二乘法考慮了現(xiàn)實(shí)情況下普遍存在的異方差性，在經(jīng)濟(jì)預(yù)測中有著更為廣泛的應(yīng)用。在系統(tǒng)研究我國武器裝備批量生產(chǎn)規(guī)律和狀況的基礎(chǔ)上，結(jié)合計(jì)量經(jīng)濟(jì)的相關(guān)理論，提出基于加權(quán)最小二乘法的費(fèi)用預(yù)測模型，并輔以實(shí)例進(jìn)行分析，結(jié)果表明，該方法移植性好，由于消除了異方差性的影響，模型的擬合和預(yù)測性能較一般最小二乘法更佳。

費(fèi)用評(píng)估；批量生產(chǎn)；武器裝備；異方差性；加權(quán)最小二乘法

1 引言

對(duì)于任何武器裝備而言，在其研制成功后要形成相應(yīng)的戰(zhàn)斗力，就必然要求具備相應(yīng)的數(shù)量規(guī)模。因此，武器裝備的生產(chǎn)是一種批量生產(chǎn)，能否準(zhǔn)確把握武器裝備批量生產(chǎn)費(fèi)用的規(guī)律，進(jìn)而對(duì)武器裝備批量生產(chǎn)費(fèi)用進(jìn)行控制和預(yù)測，對(duì)實(shí)現(xiàn)武器裝備購置費(fèi)用使用效益的最大化有著積極的指導(dǎo)意義。在武器裝備的實(shí)際生產(chǎn)中，其成本費(fèi)用往往不能夠準(zhǔn)確預(yù)測，這主要是由于武器裝備生產(chǎn)中存在的異方差性造成的。使用加權(quán)最小二乘法對(duì)武器裝備成本費(fèi)用進(jìn)行預(yù)測能夠很好地解決這一問題。與一般最小二乘法相比，加權(quán)最小二乘法消除了異方差性的影響［1，2］，其預(yù)測精度更高，因而具有更為廣泛的實(shí)際應(yīng)用前景。

2 武器裝備批量生產(chǎn)成本規(guī)律

根據(jù)長期以來的生產(chǎn)實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)：隨著武器裝備生產(chǎn)數(shù)量的增加，其單位成本費(fèi)用不斷下降并逐漸趨于穩(wěn)定，叫做熟練曲線［3］，它的存在已經(jīng)被大量的生產(chǎn)實(shí)踐所證實(shí)。當(dāng)武器裝備的生產(chǎn)量不斷增加時(shí)，單位武器裝備的生產(chǎn)成本按照一定的比例下降。影響熟練曲線的因素有很多，如：生產(chǎn)工藝和方法，采購批量數(shù)，產(chǎn)品類型，物價(jià)水平，總生產(chǎn)量，生產(chǎn)地區(qū)差異等等。據(jù)此建立武器裝備各項(xiàng)成本費(fèi)用按批量變化的非線性數(shù)學(xué)回歸模型：y＝A·xb。其中，y為第x件武器裝備的成本費(fèi)用；x為武器裝備數(shù)量；A，b為模型的回歸參數(shù)。

3 加權(quán)最小二乘法基本原理

3.1 多元線型回歸模型

在實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中，一個(gè)變量往往受到多個(gè)變量的影響，表現(xiàn)在線性回歸模型中的解釋變量有多個(gè)，這樣的模型叫做多元線性回歸模型［4］。多元線性回歸模型的一般形式為：

其中k為解釋變量的數(shù)目，βj（j＝1，2，…，k）稱為回歸系數(shù)，μi（i＝1，2，…，n）為隨機(jī)誤差項(xiàng)。我們把上面的公式叫做總體回歸函數(shù)的隨機(jī)表達(dá)形式。對(duì)于模型中參數(shù)的求法，可以根據(jù)最小二乘估計(jì)［5］（OLS）原理，參數(shù)估計(jì)值應(yīng)使殘差平方和達(dá)到最小。

3.2 加權(quán)最小二乘法

在進(jìn)行多元線性回歸模型分析時(shí)，如果隨機(jī)干擾項(xiàng)序列出現(xiàn)異方差性，即對(duì)于模型：

出現(xiàn)了Var（μi）＝σ，i＝1，2，…，n的情況，則不能直接使用OLS方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)［6－8］，而必須采取補(bǔ)救措施或發(fā)展新的估計(jì)方法。最常用的方法是對(duì)原模型加權(quán)［9］，使之變成一個(gè)新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS方法估計(jì)其參數(shù)，該方法就是WLS方法，它是對(duì)加了權(quán)重的殘差平方和實(shí)施OLS的方法：

其中，wi為權(quán)數(shù)。一般情況下，對(duì)于模型的矩陣形式Y(jié)＝Xβ＋μ，若存在

即存在異方差性。顯然，W是一對(duì)稱正定矩陣，因此存在一可逆矩陣D，使得W＝DD′，用D－1左乘兩邊，得到一個(gè)新的模型：

可檢驗(yàn)該模型具有同方差性，于是用OLS估計(jì)模型參數(shù)，有

對(duì)于權(quán)矩陣，可得

其中，e~i為隨機(jī)干擾項(xiàng)的 “近似估計(jì)量”，有i＝

4 實(shí)例分析

本文引用某型武器系統(tǒng)的實(shí)際生產(chǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)來分析該理論。見表1。

表1 某廠生產(chǎn)的某型武器系統(tǒng)的指標(biāo)數(shù)據(jù)

從表1中可以發(fā)現(xiàn)，無論是材料1、材料2的耗費(fèi)，還是生產(chǎn)工時(shí)，都是隨著批量的增加而減少并趨于穩(wěn)定的，它們和批量之間呈現(xiàn)出負(fù)指數(shù)關(guān)系。我們以材料1為例，運(yùn)用批量生產(chǎn)規(guī)律公式進(jìn)行擬合，要將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題。設(shè)變量x為生產(chǎn)序列號(hào)，變量y為相應(yīng)的材料消耗。通過函數(shù)變換可以得到回歸公式lny＝lnA＋blnx，對(duì)材料1耗費(fèi)曲線方程參數(shù)lnA和b進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，這里采取t檢驗(yàn)，分別記作t1、t2，在給定顯著性水平α＝0.05，t0.025（8）＝2.306的情況下，通過了變量的顯著性檢驗(yàn)。同理，我們對(duì)材料2的耗費(fèi)及生產(chǎn)工時(shí)也做類似處理后得表2。

從已知的指標(biāo)數(shù)據(jù)中可以看出，某型武器生產(chǎn)的總成本和材料1、材料2及生產(chǎn)工時(shí)有著緊密的聯(lián)系，隨著生產(chǎn)材料耗費(fèi)的節(jié)約，生產(chǎn)工時(shí)的縮短，帶來了生產(chǎn)成本的下降，它們之間呈現(xiàn)出一種多元的線性關(guān)系。因此，我們可以建立多元線性回歸模型來進(jìn)行描述。一般來講，在實(shí)際生產(chǎn)過程中，由于生產(chǎn)的時(shí)間先后有差異，生產(chǎn)所需的材料批次、質(zhì)量、價(jià)格不同，還有一些隨機(jī)誤差因素的存在，因而使得武器生產(chǎn)的總成本存在異方差性，OLS方法不能很好地解決這個(gè)問題，因此我們對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，采用WLS方法可以得到比較滿意的結(jié)果。運(yùn)用OLS方法和WLS方法分別求解，預(yù)測模型分別為：

一般最小二乘法：

y＝－183．974＋1．0056x1＋0．8731x2＋0．781x3

加權(quán)最小二乘法：

y＝－97．4634＋0．8854x1＋0．6880x2＋1．2056x3

其中y為總成本，x1為材料1的耗費(fèi)，x2為材料2的耗費(fèi)，x3為生產(chǎn)工時(shí)。比較二者擬合結(jié)果的差異如見表3所示。

表2 某廠生產(chǎn)的某型武器各項(xiàng)要素回歸模型、參數(shù)及下次預(yù)測值

表3 OLS方法和WLS方法對(duì)比差異

從表3可見，WLS方法得到的結(jié)果更為精確，與實(shí)際值更為接近，其最大誤差為3.56%，而OLS方法的最大誤差為7.79%，說明WLS方法的擬合性更好。同時(shí)，可得下一次的總成本預(yù)測值為1 170，與實(shí)際值1 166更為接近，而OLS方法預(yù)測結(jié)果為1 173.4，說明WLS方法的外推性也更好。從圖1中可以更為直觀地反映二者的差異。

5 結(jié)束語

本文主要探討了在武器裝備批量生產(chǎn)的過程中使用WLS方法進(jìn)行費(fèi)用預(yù)測的問題。由于存在異方差性，因而使用WLS方法比OLS方法能夠得到更為準(zhǔn)確的預(yù)測效果，通過實(shí)證分析，WLS方法的移植性較好，用于武器裝備批量生產(chǎn)成本預(yù)測時(shí)，在擬合性與外推性上均與實(shí)際值更為接近。WLS方法還可以推廣到存在異方差性的其他環(huán)節(jié)，諸如艦船的定期維修費(fèi)用預(yù)測、零件的批量更換等，同樣具有非常積極的意義。

圖1 一般最小二乘法與加權(quán)最小二乘法差異圖

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Cost Assessment on the Batch Manufacturing of Weaponry Using Weighted Least Squares Method

Zhang Kan Liu Bao－ping Cong Lin
Department of Equipment Economy Management，Naval Univesity of Engineering，Wuhan 430033，China

The heteroscedasticity are usually considered in applying the Weighted Least Squares（WLS）method，and it has a wide range of applications in economic forecast.A cost forecasting model was put forward using WLS method，which was based on a combination of studies on the batch manufacturing practice of weaponry and relevant econometric theory.The results of analyses by this model show that it can eliminate the impact of heteroscedasticity on the forecast works，and achieve a better forecast and fit of model than common WLS method.

cost assessment；batch manufacturing；weapon and equipment；heteroscedasticity；weighted least squares

U674.035

A

1673－3185（2009）02－78－03

2008-10-10

海軍工程大學(xué)科研基金資助項(xiàng)目（HGDJJ08042）

張 侃（1985－），男，碩士研究生。研究方向：裝備經(jīng)濟(jì)管理。E-mail：zhangkanlingling＠yahoo.com.cn

劉寶平（1963－），男，副教授，碩士生導(dǎo)師。研究方向：裝備經(jīng)濟(jì)管理