談數(shù)學思想在解題中的運用

梁清建

【摘 要】數(shù)學思想方法是中學數(shù)學教學的重要內(nèi)容之一。數(shù)學教學必須要重視對學生數(shù)學思想的培養(yǎng)，要確立數(shù)學思想的主體地位，進而培養(yǎng)和提高學生合理、正確地應用數(shù)學思想分析和解決問題的能力，以及提高學生的創(chuàng)新精神。

【關鍵詞】數(shù)學思想 解題 方程思想

數(shù)學思想較數(shù)學基礎知識有更高的層次和地位，它蘊含在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中，是一種數(shù)學意識，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學問題的認識、處理和解決。

每一種數(shù)學思想與方法都有它們適用的特定環(huán)境和依據(jù)的基本理論，讓學生認識一種數(shù)學思想對解決什么問題有效，從而培養(yǎng)和提高學生合理、正確地應用數(shù)學思想分析和解決問題的能力。筆者現(xiàn)就初中數(shù)學中常用的數(shù)學思想談幾點粗淺的認識。

一、方程思想的運用

所謂方程思想，就是從分析問題的數(shù)量關系入手，通過設定未知數(shù)，把問題中的已知與未知量的數(shù)量關系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學模型，然后利用方程的理論或方法，使問題得到解決。用方程思想分析、處理問題，思路清晰，靈活、簡便。

用方程思想的核心是揭示題目中隱含的數(shù)量關系，設未知數(shù)、構造方程，溝通已知與未知的聯(lián)系，從而使問題得到解決。

二、數(shù)形結合的思想運用

數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的科學?！皵?shù)”與“形”是數(shù)學中的兩個最基本的概念，每一個幾何圖形中都蘊含著一定的數(shù)量關系；而數(shù)量關系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀的反映和描述，所以數(shù)形結合也就成為研究數(shù)學問題的重要思想方法。也就是說教師、學生都要投入到教學活動中來。學生的參與尤其重要，如果沒有學生的積極參與，這樣的教學活動絕不會是成功的。如定理教學是數(shù)學教學的重點。如何使學生發(fā)現(xiàn)定理的形成過程、定理證明思維來歷，特別是輔助線的添加方法一直是教學中研究的重點。

在《三角形中位線定理》一節(jié)課的教學中，我們運用計算機輔助教學手段，采用《幾何面板》軟件，給學生創(chuàng)設了一個理想的情境，所畫的三角形可以任意變化，（體現(xiàn)定理對于任意三角形都成立）可測算出一組同位角始終相等，中位線的長是第三邊長的一半。學生經(jīng)過對圖形的觀察很容易得到定理的結論。定理的證明實質(zhì)是經(jīng)過平移變換或旋轉(zhuǎn)變換，將三角形圖形轉(zhuǎn)化為平行四邊形而證明的。（幾何畫板）能很好地演示上述過程。所以，定理的證明思路、輔助線的添加方法都顯得十分自然。在教師的引導下，學生積極地參與，整個教學過程是學生的思維步步深入的過程，達到了理想的教學效果。

數(shù)形結合的思想，就是把問題中的數(shù)量關系和空間形式結合起來加以考察的思想。在解題方法上，“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化，從而使問題化難為易、化繁為簡，達到解決問題的目的。數(shù)形結合思想的應用分為兩種情形:一種是借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)論形”；另一種是借助于形的幾何直觀性來表示數(shù)之間的某些關系，即“以形促數(shù)”。運用數(shù)形結合思想解題，易于尋找解題途徑，可避免繁雜的計算和推理，簡化解題過程。我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休?！睌?shù)學中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透。

三、分類討論思想運用

分類討論思想是根據(jù)數(shù)學本質(zhì)屬性的相同點和不同點，把數(shù)學的研究對象區(qū)分為不同種類的一種數(shù)學思想。正確應用分類思想，是完整解題的基礎。例如，在學了角的比較大小后，對于小于平角的角分為銳角、直角、鈍角三類，就是分類思想的體現(xiàn)。同一類事物按不同標準可進行不同的分類，但在同一標準下必須做到不重、不漏。

把一個數(shù)學問題的研究對象按一定的標準分成幾個部分或幾種情況，化整為零，一一解決，實際上是一種“分而治之，各個擊破”的策略。其步驟為:

1.確定分類對象—理解分類概念；

2.恰當合理分類—掌握分類原則；

3.逐步逐級討論—學會分類方法；

4.綜合概括敘述—培養(yǎng)邏輯思維。

分類討論的原則是:對象確定，標準統(tǒng)一；分層次，不越級；不重復,不遺漏。

有關分類討論思想的數(shù)學問題在數(shù)學學習過程中之所以占有重要位置，原因是它具有明顯的邏輯性特點，能很好地訓練一個人的思維的條理性和概括性。

四、轉(zhuǎn)化化歸思想的運用

復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題來解，未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題來解……數(shù)學問題往往是在不斷的轉(zhuǎn)化中達到解決目的。同一個數(shù)學問題，由于觀察的角度不同，對問題的分析、理解的層次不同，可以導致目標的不同與解題方法的不同，但目的只有一個—盡量做到化繁為簡、化難為易、化未知為已知、化一般為特殊、化抽象為具體。

轉(zhuǎn)化包括等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化兩種。等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中的前因后果是互相可推的。但事實上并不是所有的轉(zhuǎn)化都是等價的，因此，在轉(zhuǎn)化過程中，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價性，如出現(xiàn)不等價轉(zhuǎn)化，則需附加約束條件。

總之，數(shù)學思想反映著數(shù)學概念、原理及規(guī)律的聯(lián)系和本質(zhì)，是形成數(shù)學能力、數(shù)學意識的橋梁，是靈活運用數(shù)學知識、技能、方法的關鍵。數(shù)學思想方法是中學數(shù)學教學的重要內(nèi)容之一。任何數(shù)學難題的解決無不以數(shù)學思想為指導，以數(shù)學方法為手段。數(shù)學思想是教材體系的靈魂，是教學設計的指導，是課堂教學的統(tǒng)帥，是解題思維的指南。把數(shù)學知識的精髓—數(shù)學思想方法納入基礎知識的范疇，是加強數(shù)學素質(zhì)教育的一個重要舉措。隨著對數(shù)學思想方法教學研究的深入，在教學中滲透數(shù)學思想方法的實施，必將進一步提高數(shù)學教學質(zhì)量。