讓學(xué)生擁有一顆具體分析的頭腦

徐宏臻

教學(xué)內(nèi)容：蘇教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》六年級(下冊)第80～81頁例3、例4及“練一練”。

教學(xué)過程：

一、在分析比較中引進(jìn)中位數(shù)

1.前不久，李老師參加了一次跳繩比賽，7位老師的平均成績是120下，李老師排在第二名。猜一猜，李老師可能跳了多少下?

學(xué)生各自猜測，并說出想法。

2.你們都認(rèn)為李老師的成績應(yīng)在平均數(shù)之上，一定是這樣嗎?板貼出示如下成績：

誰來先排一排，讓這組數(shù)據(jù)變得有順序、清楚些?

學(xué)生移動板貼，并說明是按什么順序排的，以及這樣排的好處。

板書：大→小

再讓學(xué)生驗(yàn)證一下平均數(shù)是不是120，并說明排名情況。學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)李老師的成績雖然比平均數(shù)低，卻排在第二名。

3.為什么李老師的成績比平均數(shù)低，卻還能排在第二名呢?啟發(fā)學(xué)生討論、交流。

結(jié)合學(xué)生的回答，出示統(tǒng)計(jì)圖：

引導(dǎo)學(xué)生觀察統(tǒng)計(jì)圖，分析原因，從而發(fā)現(xiàn)第一名楊老師跳得太好了，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他6位老師的成績，把平均數(shù)大大提高了。7個(gè)數(shù)據(jù)中高于平均數(shù)的只有1個(gè)，低于平均數(shù)的卻有6個(gè)，平均數(shù)已大大偏離了這組數(shù)據(jù)的中心位置。

教師順勢說明“238”這樣的數(shù)據(jù)對平均數(shù)產(chǎn)生了較大的影響，是一個(gè)極端數(shù)據(jù)，并問：你們覺得，這時(shí)用平均數(shù)120代表這7位老師跳繩的普遍水平合適嗎?

[評析]教者從學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，精心設(shè)計(jì)認(rèn)知沖突。學(xué)生親歷了數(shù)據(jù)排序的過程，感受到排序是必需的、有用的，為本課的教學(xué)埋下了伏筆。教者借助統(tǒng)計(jì)圖中平均數(shù)與其他數(shù)據(jù)的比較，形象地表示出極端數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)之間的差距，學(xué)生強(qiáng)烈地感受到：在一組個(gè)數(shù)不多的數(shù)據(jù)中，如果出現(xiàn)了極端數(shù)據(jù)，這時(shí)用平均數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表已經(jīng)不太合適，需要選用新的數(shù)據(jù)代表，從而激起學(xué)生尋找新的數(shù)據(jù)代表的心理需求。

4.你能從中選擇一個(gè)數(shù)據(jù)來代表這7位老師跳繩的普遍水平嗎?

學(xué)生充分地自主尋找，討論交流，并說出想法。在有一些學(xué)生認(rèn)為應(yīng)選擇102時(shí)，教者借助課件的動態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察。

統(tǒng)計(jì)圖中120周圍的數(shù)據(jù)集中情況，再觀察102周圍的數(shù)據(jù)集中情況，并回答以下問題：

(1)在與平均數(shù)120上下相差5下范圍內(nèi)(115～125)的數(shù)據(jù)一共有多少個(gè)?(無)在與102上下相差5下范圍內(nèi)(97～107)的數(shù)據(jù)一共有多少個(gè)?(4個(gè))

(2)在與平均數(shù)120上下相差10下范圍內(nèi)(110～130)的數(shù)據(jù)一共有多少個(gè)?(無)在與102上下相差10下范圍內(nèi)(92～112)的數(shù)據(jù)一共有多少個(gè)?(6個(gè))

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：102正好是這組數(shù)據(jù)中正中間的一個(gè)，比它大的有3個(gè)，比它小的也有3個(gè)。大部分學(xué)生覺得這時(shí)用102更能代表這7位老師跳繩的普遍水平。

教者鼓勵學(xué)生試著給這個(gè)數(shù)起名，并說說想法。

5.揭示概念：一組個(gè)數(shù)不多的數(shù)據(jù)，如果它們的平均數(shù)受極端數(shù)據(jù)影響較大時(shí)，要用一種新的數(shù)來代表這組數(shù)據(jù)的整體特征。在把這些數(shù)據(jù)按大小順序排列后，位于正中間的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。(板書課題)

6.教師移動板貼，交換102和93的位置，讓93位于正中間，問：現(xiàn)在的中位數(shù)是93嗎?

教者運(yùn)用變式練習(xí)，讓學(xué)生悟出在找中位數(shù)時(shí)，先要把一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，然后再找正中間的一個(gè)數(shù)。

7.現(xiàn)在用李老師的成績“107”與中位數(shù)“102”比，你們覺得李老師的成績怎樣?(中等偏上)說明用中位數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表既符合實(shí)際，又便于比較和判斷。

8.如果楊老師跳得更多，是258下或288下，其他老師的成績不變，這時(shí)平均數(shù)會變嗎?中位數(shù)會變嗎?引導(dǎo)學(xué)生推想，逐步感悟到平均數(shù)會受極端數(shù)據(jù)的影響，而中位數(shù)不會。

[評析]教者放手讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主探索，合作交流，充分經(jīng)歷尋找新的數(shù)據(jù)代表的過程，從中感悟中位數(shù)的意義。特別是教者借助統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行直觀形象的分析。分別在平均數(shù)和中位數(shù)上下浮動，讓學(xué)生充分比較平均數(shù)和中位數(shù)代表性的強(qiáng)弱，通過對比促其逐步體會到在數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)不多時(shí)，平均數(shù)受極端數(shù)據(jù)的影響較大，而中位數(shù)不受，且在中位數(shù)周圍集中了很多的數(shù)據(jù)，這時(shí)選用中位數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表更合適些。教者還把李老師的成績與中位數(shù)相比，使學(xué)生初步領(lǐng)悟到中位數(shù)的作用。獲得認(rèn)知平衡。他們還感受到進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的價(jià)值和樂趣。

二、在自主尋找中體會中位數(shù)

1.如果趙老師也參加了此次跳繩比賽，他跳了98下，這時(shí)你會找下列這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)嗎?教者板貼增加一個(gè)數(shù)“98”。

學(xué)生先自主尋找，再討論交流并比較合理性，最后“創(chuàng)造”出中位數(shù)：在把8個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列后，用正中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。即中位數(shù)是：(100+102)÷2=101。

2.找出下列每組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

(1)35、24、25、17、19

(2)39、19、29、25、21、11

學(xué)生自主尋找并交流，從而歸納出找奇數(shù)個(gè)、偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)的方法。

3，現(xiàn)在你能說說怎樣的數(shù)是中位數(shù)嗎?

[評析]教者再次設(shè)計(jì)認(rèn)知沖突，巧妙地將數(shù)據(jù)從7個(gè)增加到8個(gè)，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索的欲望，促其積極思考，主動創(chuàng)造。學(xué)生主動運(yùn)用剛獲得的對中位數(shù)的認(rèn)識解決問題，經(jīng)歷了“再創(chuàng)造”的過程，從中學(xué)會找中位數(shù)的方法，體會到中位數(shù)的意義，建立新的認(rèn)知平衡。

三、在實(shí)際運(yùn)用中領(lǐng)悟中位數(shù)

1.出示“練一練”：下面是第一小組9位同學(xué)家庭的住房面積。(單位：平方米)

86、84、50、92、87、80、83、43、88

(1)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)各是多少?

(2)用哪個(gè)數(shù)據(jù)代表這9位同學(xué)家庭的住房情況比較合適?

(3)為什么這9個(gè)家庭住房面積的平均數(shù)比中位數(shù)低得多?

教師引導(dǎo)學(xué)生逐步解決上述問題。在回答問題(2)時(shí)，還特意選擇其中的“83”或“80”與中位數(shù)進(jìn)行比較，從而讓學(xué)生體會到這里選用中位數(shù)做代表是合理的、有價(jià)值的。在回答問題(3)時(shí)，順勢說明這里的“43”與“50”對平均數(shù)也產(chǎn)生了較大的影響，也是極端數(shù)據(jù)。

2.出示李華同學(xué)5次數(shù)學(xué)測試的成績：

前四次分別是96分、99分、95分、92分，第五次他帶病考試，結(jié)果只考了58分。

(1)他5次考試的平均數(shù)和中位數(shù)各是多少?

(2)這時(shí)用哪個(gè)數(shù)據(jù)代表他的數(shù)學(xué)成績比較合適?為什么?

(3)如果他第五次考了91分，這時(shí)用哪個(gè)數(shù)據(jù)代表他的數(shù)學(xué)成績比較合適?為什么?

在回答問題(3)時(shí)，教者借助計(jì)算平均數(shù)和課件動態(tài)演示平均數(shù)的產(chǎn)生過程——移多補(bǔ)少，引導(dǎo)學(xué)生感悟到：如果一組數(shù)據(jù)未出現(xiàn)極端數(shù)據(jù)，當(dāng)平均數(shù)與中位數(shù)又比較接近時(shí)，這時(shí)既可以用中位數(shù)，又可以用平均數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表。相比之下，中位數(shù)只是其中的一個(gè)數(shù)據(jù)，而平均數(shù)集中了5次成績，因而更精確些。

3.張強(qiáng)同學(xué)參加跳遠(yuǎn)比賽，預(yù)、決賽中共跳了6次，成績?nèi)缦卤恚?表中的“×”表示犯規(guī)，無成績)

你知道裁判用哪個(gè)數(shù)據(jù)代表張強(qiáng)的比賽成績嗎?

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際說明，這里既不選中位數(shù)。也不選平均數(shù)，而選最好成績“4.4”。

[評析]教者有目的地選擇一些具體數(shù)據(jù)，不斷地讓學(xué)生把平均數(shù)與中位數(shù)進(jìn)行比較，引導(dǎo)學(xué)生多次經(jīng)歷尋找數(shù)據(jù)代表的過程，在解決實(shí)際問題的過程中，進(jìn)一步明確各個(gè)統(tǒng)計(jì)量的意義和作用，感悟到它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，逐步體會到要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，具體地分析數(shù)據(jù)，靈活地選擇數(shù)據(jù)代表；要根據(jù)不同的需要，選擇合適的數(shù)據(jù)代表，做到具體數(shù)據(jù)具體分析，具體問題具體對待，不形成思維定勢。

四、在拓展延伸中深化中位數(shù)

1.中國籃球明星姚明身高2.26米。假如他站在10名中國成年男子中，會對他們的平均身高產(chǎn)生較大的影響嗎?(會)這時(shí)用哪個(gè)數(shù)代表這11名男子身高的普遍狀況比較合適?(中位數(shù))假如他站在一百名、一千名……中國成年男子中，會對他們的平均身高產(chǎn)生較大的影響嗎?(影響逐漸減小，直至無)這時(shí)用中位數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表合適嗎?應(yīng)選用哪個(gè)數(shù)作為這些數(shù)據(jù)的代表更合適些?

2.學(xué)生說說中位數(shù)的意義、找法和作用，談?wù)劯惺?。教者全課小結(jié)。(略)

[評析]為打破思維定勢，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，教者又一次設(shè)計(jì)了認(rèn)知沖突，激起學(xué)生深入探究的興趣，促使學(xué)生辯證地看待極端數(shù)據(jù)和中位數(shù)，合理地尋找數(shù)據(jù)代表。教者運(yùn)用極限思想，引導(dǎo)學(xué)生逐步類比聯(lián)想到：在數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)很多時(shí)，極端數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響已不大，這時(shí)用中位數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表已不太合適，而用平均數(shù)就比較精確和合適，從而使學(xué)生在更高層次上建立了認(rèn)知平衡。