多品種分組聯合訂貨模型的另一解法

崔達開　崔宏志

摘要：在庫存管理中，多品種聯合訂貨策略既是個難題，又是一個非常有實用意義的重要課題。為了得到更滿意的結果，不斷有人在這方面進行探索并伴隨有研究成果。文章在他們工作的基礎上，運用連續(xù)變量的極值理論，給予某些量的合量近似，得到了一個新的方法。此法立論嚴謹，計算過程簡捷，且所得結果更優(yōu)。

關鍵詞：多品種；分組聯合；訂貨模型

中圖分類號：TP311文獻標識碼：A

文章編號：1002-3100(2009)01-0092-04

Abstract: In inventory management, ordering tactics for multi-assortment and borh difficult and

practical. To gain abetter result, some people make a constant study of the subject. On the basis of their researches, we obtain a new method by means of extremum theory of a continuous function and a reasonable approximation. The method is simpler and more rigorous, which is superior in practice.

Key words: multi-assortment; joint group; ordering model

在實際訂貨中，多品種物資的分組聯合定期訂貨是經常遇到的。如何選擇一個合理簡便的方法，使得總費用最小，對于倉儲工作者是十分重要的。關于這類問題散見于一些書籍及文章，如[1]、[2]。本文在[1]的啟發(fā)下，運用連續(xù)變量的極值理論，給出了一個計算過程簡單又緊貼理論依據的方法。

1總費用的數學模型

本文的符號與術語基本與[1]相同。

C：總費用（元/年）

n：物資的品種數

T：n種物資的訂貨周期中，最短的訂貨周期（年）

xT：第j種物資的訂貨周期，其中x為周期系數，它取正整數，即當0＜x≤1時，x=1；當x＞1時，x按x的十分位數字四舍五入取整。x也稱為x的圓整。注意：因T是n種物資訂貨周期中最短者，所以在x，j=1,…,n中，至少有一個為1

C：公共訂貨費（元/次），即每次訂貨時（可訂多種物資）須交一次

C：第j種物資每次的訂貨費（元/次），它與訂貨量無關

C：第j種物資的年單位儲存費（元/單位物資.年）

R：第j種物資的年需求速率（單位物資/年）

C：總費用的最小值

T：最佳最短周期，即總費用最小時所對應的最短周期

一年的公共訂貨費：

一年n種物資的訂貨費：

一年n種物資的儲存費：CRx?T

一年總費用的數學模型是以上三項之和，即

C=C++TCRx（元/年） （1）

2數學模型的求解

我們的目的是，在 C,C,C,R, j=1,…,n已知的條件下，期望找到最佳訂貨周期：xT, j=1,…,n及總費用的最小值：C。

根據不等式：二正數的算術中項不小于幾何中項a+b≥2，等號成立a=b，由（1）得：C

≥，并且等號成立的充要條件是

T= （2）

亦即，對任給定的一組周期系數x，j=1,…,n，只有（2）成立時C才能取到最小，此值稱為C的相對最小值，以記之，即

= （3）

從而有：C=minC=min。

根據問題的實際意義，C及是存在最小值的。不妨令m=x，j=1,…,n（其中至少有一個為1）。 （）

使得C取到最小，即

C= （4）

此時最佳最短周期：T=（5）

稱（）為最佳周期系數；此時最佳訂貨周期：mT,j=1,…,n。

以下的目標是將（）求出。這里將m, j=1,…,n求出，并非指（4）的精確解。事實上，雖然（4）的解存在，但在一般條件下，要給出解的精確表示并非易事。本文給出的解，是指在已知條件下，比較起來最優(yōu)的解。

為此先作兩個函數：k=1,…,n,

x=，x＞0（6）

x=，x＞0

對兩個函數的差進行估計：x-x=x-x，x≥，又 x-x≤由微分中值定理，x-x≤'，介于x與x之間。

當上式右邊很小時，兩個函數的差就很小，所以x的最小值點（取正整數的），視為x的最小值點取圓整是合理的。

下面求x的最小值點。為此先求x的駐點。為簡便計，由（6），將函數x寫成：x

=，其中A,B是（6）中的相應常數。

= （7）

令 =0，得到唯一駐點：

x====

注意到（5），在相差微小的情形下，上式分母以T代替，從而有

x=，k=1,…,n （8）

由（7），導數在該駐點左右兩側異號，且由負變正，所以（8）是極小值點，又由唯一性，從而（8）是x的最小值點。

對（8）取圓整：x=應為函數x的最小值點。注意到（4），明顯地C是函數x的最小值，所以x=m，即

m=，k=1,…,n （9）

進而

=，j,k=1,…,n（10）

對于正數a,b，-=+-其中,,的絕對值均小于1或不超過。

令函數fx,y,z=+x-，由多元函數的微分法，+-=f,,-f0,0,0△f ≈df =-

+，當此式絕對值很小時，用代替是合理的。從而再結合（10）

==，j,k=1,…,n

記a=，j=1,…,n。所以上式為=，即

m=m，j,k=1,…,n （11）

再由最佳周期系數，m,j=1,…,n。至少有一為1，若m=1，將（11）記為

m=，j=1,…,n（12）

從而對k=1,…,n。由（12）得到n組值mj=1,…,n ，將此n組值分別代入（3），即得到n個相對最小值：

=，k=1,…,n （13）

我們最終欲求的總費用最小值：

C=min：k=1,…,n（14）

如，min：k=1,…,n=，那么，最小費用：C=。

最佳周期系數：

m=m，j=1,…,n（此時m=1） （15）

由（5）得最佳最短周期：T；

此時最佳訂貨周期： mT,j=1,…,n （16）

3應用舉例

將[1]例中的C=23改為，13其余均不動。

C=100。

由此表及（13）得到6個相對最小值：=18 000.69，=17 895.29，=17 891.46，=18 139.90，=18 139.90，=18 645.32。再由（14）、（15）、（16）得：

總費用最小值：C=min: k=1,…,6==17 891.46（元/年）；

最佳最短周期：T=0.09385（年）=34（天）；

最佳周期系數：m=1，m=2，m=1，m=2，m=3，m=5。

它們的分組聯合訂貨方案為：1、3品種物資為第一組，其最佳訂貨周期為T=34（天）；同樣，2、4品種為第二組，最佳訂貨周期為2T=68（天）；5品種為第三組，最佳訂貨周期為3T=102（天）；6品種為第四組，其最佳訂貨周期為5T=170（天）。

各種物資每次的訂貨量：p=RmT（單位物資/次），j=1,…,6。它們分別為：p=141，p=375，p=47，p

=188，p=169，p=141。

本例如采用[1]的方法，其結果為：C==17 895.29（元/年）。用本文方法計算[1]中的例，與用[1]的方法計算，具有相同的結果。

參考文獻：

[1] 馬謙杰. 一種多品種定期訂貨策略[J]. 物流技術，2000(5):19-21.

[2] 曹喜望. 管理科學中的數學模型[M]. 北京：北京大學出版社，2006:172-198.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。