基于計(jì)算機(jī)模擬的交通燈時(shí)間控制問題

葉笑飛

摘要：文章主要討論城市交通燈的開啟時(shí)間間隔的問題，在一些假設(shè)的基礎(chǔ)之上，把城市交通燈周期時(shí)間控制問題進(jìn)行簡(jiǎn)化，目的是使得路口的日平均車流量最大。根據(jù)實(shí)際情況，給出車輛行駛的一套規(guī)則，利用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)進(jìn)行模擬，得到最優(yōu)交通燈的間隔時(shí)間。

關(guān)鍵詞：交通燈；車流量；計(jì)算機(jī)模擬

中圖分類號(hào)：U491.5+1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1002-3100(2009)01-0136-03

Abstract: This article focused on the time contorl of the city traffic lights. Under a number of assumptions, the city traffic lights control problem can be converted into a simple model to maxi mize the crossing daily average traffic flow. According to the actual situation, given a set of rules, using computer simulation technology to get the optimal time control of the traffic lights.

Key words: traffic light; vehicle flow; simulation

0引言

在現(xiàn)代社會(huì)中，交通問題已成為影響和制約國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重大因素，而城市交叉口是城市道路網(wǎng)絡(luò)的關(guān)節(jié)點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行深入的研究是解決城市交通問題的關(guān)鍵所在。本文通過建立交通系統(tǒng)運(yùn)行情況的數(shù)學(xué)模型，在一定的假設(shè)情況下，制定一些符合實(shí)際和遵循假設(shè)的規(guī)則，以模擬道路網(wǎng)絡(luò)的車輛運(yùn)行情況的方法，對(duì)其進(jìn)行研究，也就是交通仿真模擬。交通仿真技術(shù)是利用現(xiàn)代系統(tǒng)工程和計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)成果發(fā)展起來的新的交通研究方法，它對(duì)于描述多變的、復(fù)雜的隨機(jī)性過程非常有效。通過運(yùn)用這種仿真技術(shù)，在計(jì)算機(jī)的環(huán)境下得以實(shí)現(xiàn)，可以更有效地掌握道路交叉口的各種復(fù)雜情況，對(duì)交通燈的開啟時(shí)間進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)出城市交通燈各燈的開啟時(shí)間，使得車流量最大，這對(duì)于城市交通問題的解決，是有著積極推動(dòng)作用的，即在有限的道路資源條件下，盡可能大的提高交通運(yùn)輸能力。

綜上所述，本文所討論的問題即為設(shè)計(jì)各路口各方向的交通燈的紅、綠燈亮的時(shí)間，使得日平均車流量最大。

1基本假設(shè)

針對(duì)以上提出的問題，作出如下的基本假設(shè)：設(shè)某城市的道路寬度B都相等，道路上雙向行駛車輛，不考慮中途停車，且各方向的車流密度相同，道路網(wǎng)由無數(shù)條無限長(zhǎng)且互相垂直的等寬（寬為B）的路組成，每個(gè)四條道路圍成的街區(qū)呈正方形，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，所有的車都直線行駛（不轉(zhuǎn)彎、不超車），車長(zhǎng)都為S，最大車速為v，行駛時(shí)安全車距（車頭到前方車尾之距離）為D，停車時(shí)安全車距為d，車輛在停車線上從靜止到穿過路口車頭到達(dá)另一停車線（距離為B）所花時(shí)間為T=秒。

2問題的簡(jiǎn)化及其推導(dǎo)

假設(shè)1各個(gè)路口各個(gè)交通燈的周期T是一樣的。

這里所說的周期T是指交通燈一次紅燈時(shí)間T和一次綠燈時(shí)間T之和，即T=T+T，并且同時(shí)要求各個(gè)交通燈的T與T也是一樣的。

假設(shè)2每條道路具有“狀態(tài)對(duì)稱性”。

由于是無限的道路網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)基本假設(shè)，每條道路的車流密度相同，而且這個(gè)網(wǎng)絡(luò)具有幾何對(duì)稱性，再有周期T相同，可以推出整個(gè)道路網(wǎng)絡(luò)的路況參數(shù)（包括車輛數(shù)、車距、車流量等）是相同的，也就是說，不存在任何一條有特殊狀態(tài)的道路，所以說它具有“狀態(tài)對(duì)稱性”，即假設(shè)是合理的。

結(jié)論1設(shè)T為一次紅燈時(shí)間，T為一次綠燈時(shí)間，則T=T+2T，其中T=。

證明：當(dāng)某個(gè)路口的其中一個(gè)燈（不妨設(shè)為橫向交通燈）由綠燈變?yōu)榧t燈時(shí)，仍然有一輛車正從停車線沿原方向開出，如果縱向的交通燈立即由紅燈轉(zhuǎn)為綠燈，則兩個(gè)方向的車有可能在十字路口相撞，為了交通安全起見，必須使紅燈有一個(gè)所謂的“滯后時(shí)間”，以確保橫向開出的最后一輛車安全通過，而一次安全通過的時(shí)間為T=。同樣，當(dāng)縱向燈再由綠燈轉(zhuǎn)為紅燈時(shí)橫向燈的紅燈也應(yīng)該有一個(gè)“滯后時(shí)間”，以保證縱向開出的最后一輛車安全通過，即得T=T+2T。

顯然，T=＞0，所以有T＞T＞0，即紅燈時(shí)間不為零，也就是說，不可能出現(xiàn)某個(gè)方向總是綠燈行駛，這也比較符合實(shí)際的情況。

結(jié)論1保證了每個(gè)路口的橫向和縱向交通車流的平衡性，即在橫向行駛和縱向行駛中做到了一種公平性，以保證每個(gè)方向的車流都能通過路口。再由假設(shè)2，道路具有“狀態(tài)對(duì)稱性”，即橫向道路和縱向道路是對(duì)稱的，所以可以將問題從考察整個(gè)道路網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為考察一條道路的情形。

結(jié)論2每個(gè)“B+L路段”的車流量相同。

證明：我們知道，車流量指的是單位時(shí)間內(nèi)通過道路某一個(gè)截面車輛的數(shù)目。所以車流量是一個(gè)關(guān)于車輛流狀態(tài)和周期T的函數(shù)，由道路網(wǎng)絡(luò)的“狀態(tài)對(duì)稱性”，可以將一個(gè)“B+L路段”進(jìn)行平移，其狀態(tài)參量是不變的，則結(jié)論3成立。

所以最終將原來對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)求日平均車流量轉(zhuǎn)化為對(duì)一個(gè)單向單道的“B+L路段”求日平均車流量，不妨以這個(gè)“B+L路段”中的一條停車線為計(jì)算車流量的截面。以下將建立模型并具體求解。

3模型的建立

針對(duì)一個(gè)單向單道的“B+L路段”，運(yùn)用道路仿真模擬的方法，即設(shè)出每輛車的狀態(tài)參量，制定出一些“行駛規(guī)則”，在計(jì)算機(jī)的環(huán)境下，讓車輛流按照“行駛規(guī)則”（也就是在一些約束條件下）進(jìn)行道路交通模擬，最后得出最優(yōu)值。

對(duì)于一個(gè)單向單道的“B+L路段”，建立一維坐標(biāo)軸 Ox，以上一個(gè)“B+L路段”的停車線為原點(diǎn)，車輛行駛的方向?yàn)閤軸正向。設(shè)車輛數(shù)為n，此路段上的車輛流狀態(tài)為X,V,A，其中X為位置分布x,x,…,x，V為速度分布v,v,…,v，A為加速度分布a,a,…,a，則對(duì)于每一個(gè)x,v,a，i=1,…,n，可以確定車i的狀態(tài)，車輛流i，i=1,…,n，按位置坐標(biāo)x,0＜x≤B+…，從小到大依次排列，且車n一旦越過停車線（B+L位置），上一路段必有一輛與此車狀態(tài)相同的車駛?cè)氪寺范?，即為此路段下一狀態(tài)時(shí)的車1，其余各車的下標(biāo)順次加1。設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過停車線的車輛數(shù)為M（即車流量，單位為：輛/s），則模型為：max M（X,V,A），T，其中一些約束條件如下，T=T+T；T=T+2T；T,T,T＞0。

另外，根據(jù)生活實(shí)際情況，為了保證橫向行駛和縱向行駛的公平性，以及保證道路網(wǎng)絡(luò)的暢通，則還要的約束條件如下：

（1）不允許一輛車在一個(gè)周期內(nèi)，連續(xù)通過兩個(gè)“十字路口”，（否則會(huì)使另一個(gè)方向上的車輛等待時(shí)間過長(zhǎng)）則＞T。

（2）車輛流狀態(tài)X,V,A滿足“行駛規(guī)則”（見下文）。

4模型的求解與檢驗(yàn)分析

只要確定“B+L路段”上車輛流的初始狀態(tài)，就可以具體求解。給定如下初始狀態(tài)（參見[1]）：設(shè)t＝0為某紅燈轉(zhuǎn)為綠燈的時(shí)刻，此時(shí)的分布為n＝n1+n2，其中n1為在路口等待的車輛數(shù)，且間距為d，其余n2輛車以速度v行駛且在剩余路段均勻分布。以下分別對(duì)不同的n（對(duì)同一個(gè)n，再取幾組不同的n1，n2），在以上分布下，進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬，得出不同情況下的車流量最大值M及對(duì)應(yīng)的周期最優(yōu)值T_opt，如下表：

通過分析以上數(shù)據(jù)得到：

（1）對(duì)于同一個(gè)n，其不同的初始分布得到的最大車流量M及其相應(yīng)周期T_opt基本都一樣，只有微小的波動(dòng)。

（2）對(duì)不同的n，當(dāng)n較小時(shí)，隨著n的增大而增大，其后趨于穩(wěn)定，最后，當(dāng)n大到一定程度時(shí)，無可行解。

于是對(duì)n2＝0時(shí)的不同的n求得一組值，用Matlab進(jìn)行擬合得到如上圖。

通過上圖進(jìn)一步弄清了最大車流量M隨n的變化趨勢(shì)：

（1）當(dāng)n較小時(shí)（n<15左右），M與n近似滿足線性關(guān)系。

（2）當(dāng)n>25以后，M趨于平穩(wěn)。

（3）當(dāng)n>128以后，無可行解。

5對(duì)模型的評(píng)價(jià)及其應(yīng)用

對(duì)于上述的模型有以下幾點(diǎn)不足：在運(yùn)用“行駛規(guī)則”編程時(shí)，實(shí)際上是將一個(gè)連續(xù)的過程轉(zhuǎn)化為有一定時(shí)間步長(zhǎng)的離散過程來處理，其中勢(shì)必會(huì)產(chǎn)生誤差。但這種誤差還是可以接受的，而且隨著硬件條件的改善和程序的改進(jìn)，可以減小步長(zhǎng)，增加模擬時(shí)間來提高精度，但同時(shí)計(jì)算機(jī)的運(yùn)行時(shí)間也會(huì)相應(yīng)增加。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉燦齊，楊曉光． Grace車隊(duì)密度散布模型的更正及應(yīng)用[J]. 公路交通科技，2001(1):55-59.

[2] 許波，劉征． Matlab工程數(shù)學(xué)應(yīng)用[M]． 北京：清華大學(xué)出版社，2000．

[3] 吳翊, 吳孟達(dá), 成禮智. 數(shù)學(xué)建模的理論與實(shí)踐[M]. 北京：國(guó)防科技大學(xué)出版社，1999.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。