Ｓ波段耦合腔行波管非線性注－波互作用方程組的數(shù)值解

謝榮祥　王　彬　謝文楷

摘 要： 推導了考慮相對論效應的一維非線性注－波互作用自洽工作方程組。借鑒田炳耕的圓盤模型推導空間電荷場。對空間電荷場表達式提出簡化假設并使其歸一化，該假設將大大節(jié)省考慮空間電荷場時的計算時間。編寫計算機程序?qū)ψⅲɑプ饔米郧⒐ぷ鞣匠探M進行了數(shù)值求解，利用該程序分析了空間電荷力對注－波互作用的影響，得出S波段耦合腔行波管的效率，增益和瞬時帶寬。計算結(jié)果表明：在2.87~3.35 GHz頻帶范圍內(nèi)效率達到14%以上，增益大于18.5 dB，瞬時帶寬達到15%，結(jié)果達到設計要求。

關鍵詞：耦合腔行波管；空間電荷場；非線性注－波互作用；S波段；數(shù)值模擬

中圖分類號：TN128 文獻標識碼：B 文章編號：1004－373X(2009)04－131－03

Numerical Simulation of Nonlinear Beam－wave Interaction Equations

in S－band Coupled－cavity TWT

XIE Rongxiang,WANG Bin,XIE Wenkai

(College of Physical Electronics,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu,610054,China)

Abstract：The one dimensional nonlinear beam－wave interaction self－consistent equations which take into account the effect of theory of relativity are obtained.The space－charge field is analyzed using the theory of Tian BingGeng′s disc model.A method of simplifying and normalized the equation of space－charge field is proposed,it could save large of computation time when taking into consideration of space－charge field.A simulation program has been compiled to solute the nonlinear beam－wave interaction self－consistent equations by numerical method,and the impact of space－charge field is analysed,some characteristics of S－band coupled－cavity TWT such as the efficiency,gain,instant bandwidth are obtained.The results show that frequency from 2.87~3.35 GHz,the efficiency can reach 14%,the gain can be more than 18.5 dB,and instant bandwidth can reach 15%.It can satisfy design precision requirement.

Keywords：coupled cavity TWT;space－charge field;nonlinear beam－wave interaction;S－band;numerical simulation

耦合腔行波管具有工作帶寬適中，高功率，高效率，高增益和良好的散熱能力的特性，因此被廣泛地應用于衛(wèi)星通信、雷達、遙感遙測等領域。目前在研制行波管時普遍采用三維PIC粒子模擬軟件指導設計，國內(nèi)外不少文獻都有相關報道［1－4］。在此采用模式展開法建立了考慮相對論效應時耦合腔行波管一維非線性注－波互作用工作方程組，采用田炳耕的圓盤模型計算了空間電荷場，并對互作用工作方程組進行數(shù)值求解，分析一個工作在S波段的休斯結(jié)構(gòu)耦合腔行波管的一些重要的非線性特性如效率、增益、帶寬。討論了空間電荷場對注－波互作用的影響。

1 基本方程

1.1 激發(fā)方程

令第n次本征模式軸向電場為：

Enz=E0nzφn (r⊥)e-Γ nz，E-nz=E0nzφn(r⊥)eΓ nz

可得擾動電子注激勵的電場為［5－7］：

Ez=12∑nKnβ2nφn(r⊥)Φn∫z2z1i(z′) e－Γn|z－z′|dz′－

Ψ(r⊥)i(z)jωε0s

式中:定義Kn=|E0nz|2Φ2n2Pnβ2n為n次諧波的耦合阻抗；Ψ(r⊥)為電子注橫向分布函數(shù)Φn=1S雜pΨ(r⊥)φ(x,y)ds。所有本征模中只有個別模式與電子注同步，且除了電子流i(z)激發(fā)的同步波之外，還有輸入的“冷波”，即E0e－Γ0z，則具有外加激勵源E0e－Γ0zУ耐步場為：

Ecz=E0e－Γ0z+12K0β20e－Γ0z∫z0i(z′)eΓ0z′ dz′+

12K0β20eΓ0z∫lzi(z′)e－Γ0z′ dz′（1）

式中：K0，Γ0，β0分別為該同步模式的耦合阻抗、傳播常數(shù)、相位常數(shù)。式（1）兩邊同時對z求導2次得到熟知的激發(fā)方程：

d2Eczdz2=Γ20Ecz+β20Γ0K0i(z)（2）

1.2 運動方程

相對論下電子的運動方程為：

d（γv）dt=em(E+v×B)=emEz（3）

能量守恒方程為：

c2dγdt=emv?Ez（4）

式（4）代入式（3）可得一維電子運動方程：

mγdvdt=e(1－v2c2)Ez（5）

又由：

dvdt=d2zdt2=ddt(1dt/dz)=dzdt?ddz(1dt/dz)=

dzdt?－d2t/dz2(dt/dz)2=－d2t/dz2(dt/dz)3

所以式（5）可寫為：

d2tdz2=－(dtdz)3emγ－3Ez(6)

其中：Ez=Ecz（線路場）+Esz（空間電荷場）；γ=(1－v2/c2)－1/2為相對論因子，c為真空中的光速,v為電子速度。

1.3 電子流復振幅方程

電子流是時間的非簡諧周期函數(shù)，含有高次諧波，用傅氏分析。

i(z,t)=i0+Re∑∞n=1in(z)ejnωt

in (z) = 1π∫2π0i(z,t)e-jnωtd(ωt)(7)

2 慢變系統(tǒng)中歸一化

上述是在實驗室坐標系下得到的迅變方程，為了處理問題的方便和計算結(jié)果普遍性強，通常將其歸一化到電子坐標系內(nèi)，獲得慢變方程。

為了表述方便，先引入迅變坐標系的歸一化量：歸一化距離為Е=ω/v0z=βez；歸一化時間為φ=ωt=2πt/T，歸一化場為f=|e|E/mv0ω。則慢變系統(tǒng)中的歸一化：歸一化軸向距離為θ=Cξ=Cβez；歸一化相位Φe=φ－ξ；歸一化場幅值為Fcn(θ)=（eE/C2mv0ω）ejnθ；歸一化電流幅值為I=i/I0ejθC。

激發(fā)方程變?yōu)椋?/p>

C1d2Fcn(θ)dθ2－2jndFcn(θ)dθ+n2rn(2+C1rn)Fcn(θ)=

2jC3nC31n3(1+C1rn)(1+C1bn)2In(θ) （8）

運動方程變?yōu)椋?/p>

d2Φe(θ,φ0)dθ2=－（1+C1dΦe(θ,φ0)dθ）3γ－3

Re［∑Fcn(θ)ejΦe+Fsze－jΦe］（9）

電子流復振幅方程為：

In(θ)=1π∫2π0e－jnΦe(θ,φ0) dφ0（10）

式（8）~（10）組成了行波管大信號注－波互作用基本工作方程組。其中C3n=I0Kcn/4V0為n次諧波增益參量，bn=（v0－vpn）/C1vpn非同步參量，dn=α0n/βeCn為衰減常數(shù)，rn=bn－idn。

3 空間電荷場的計算

由文獻［8］可知z0處圓盤在zТυ才唐矯嬪細韉悴生的平均空間電荷場為：

Esz=Q2πε0b2∑∞n=1e－μ0nba?|z－z0|b［2μ0n?J1(μ0nb/a)J1(μ0n)］2?

sgn(z－z0)（11）

其中：Q為圓盤所帶電量；b 為電子注半徑；a為漂移管半徑，如圖1所示，μ0n為零階Bessel函數(shù)的第n個根。由此可知場是關于zУ暮數(shù)，可以表示為：

Esz=QB(|z－z0|)（12）

其中：B(|z－z0|)是以|z－z0|為變量的函數(shù)，由式（11）可以做出如圖1所示曲線。

圖1 函數(shù)曲線圖

由圖1可知，如果用近似式Esz=QB(|z－z0|)=Q2πε0b2e－2|z－z0|b代替式（11），所引起的誤差很小，而計算式卻大大簡化了。采用該式時，所有圓盤產(chǎn)生的空間電荷場為Eszc=∫∞－∞ρ(z0)dz02πε0b2e－2|z－z0|bsgn(z－z0)В歸一化后為：

Fsz= v0 ω2|η|(ωp ω)2∫∞-∞e-2v0 bω(1 + C1 鄲礶(θ,φ0 )鄲)

|Φe(θ,φ0 )-Φe(θ,φ0′)|dω0′san Φe (θ,ω0′)〗(13)

其中:Е豴為電子等離子體頻率;η為電子荷質(zhì)比;v0為電子注初速度。仿真中用式（13）代替式（9）中的Fsz。

4 休斯結(jié)構(gòu)耦合腔

休斯型耦合腔的剖面結(jié)構(gòu)為圖2 （a）所示，圖2（b）為其截面圖，表1為設計S波段耦合腔行波管的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

圖2 休斯型耦合腔的剖面結(jié)構(gòu)圖

表1 S波段波段休斯型慢波結(jié)構(gòu)仿真尺寸

a/mmd/mmD/mm2g/mmF/mmR/mm2θ/°2h/mm 2L/mm

5.918.3525.055.7819.835.2211013.9219.83

5 仿真結(jié)果及討論

在上述尺寸下，對2.87~3.35 GHz頻率范圍內(nèi)的休斯結(jié)構(gòu)耦合腔行波管進行了數(shù)值分析，仿真中電子注的注電壓U0 =21 kV，注電流I0 =1 A，波的輸入功率Pin=300 W。采用四階龍格－庫塔法［9］求解互作用方程組式（8）~（10），其結(jié)果如圖3~圖6所示。

圖3 電子相位軌跡

圖4 增益隨軸向距離的變化

圖3給出了在中心頻率f=3.100 7 GHz時電子的相位軌跡。由圖可知，電子在歸一化軸向距離Z=2.4附近獲得了較好的群聚，此即為最佳互作用距離。由圖4可以看出該頻率的波在此處獲得最大增益，此后電子注離開最佳互作用區(qū)，效率降低，增益下降。

圖5 效率隨軸向距離的變化

圖6 增益隨頻率的變化

圖5給出了中心頻率時電子注效率隨軸向距離的變化曲線。圖中實線為不考慮空間電荷力的情況，虛線為考慮空間電荷力的情況。由圖可知，空間電荷力的作用使得飽和位置推后，增益下降，即空間電荷力起發(fā)散作用。圖中效率剛開始時為負值，是因為電子剛進入互作用區(qū)時要得到部分能量，表現(xiàn)電子效率為負值。

圖6給出考慮空間電荷場時，2.87~3.35 GHz內(nèi)各頻點的微波增益。由圖可知，在給定電子

注注電壓，注電流，和波的輸入功率等參量的情況下，頻帶內(nèi)微波增益均大于18.5 dB。

6 結(jié) 語

對S波段休斯結(jié)構(gòu)耦合腔行波管非線性注－波互作用工作方程組進行了數(shù)值求解，求出考慮和不考慮空間電荷場時中心頻率f=3.100 7 GHz處的效率，說明空間電荷場對互作用起散焦作用，與文獻［2，10］中結(jié)論很吻合。求出工作在2.87~3.35 GHz頻率范圍內(nèi)耦合腔行波瞬時帶寬。仿真中所用管子已制作完成，實驗數(shù)據(jù)對后期管子的熱測試有很好的指導意義。

參 考 文 獻

［1］李文君，許州，林郁正，等.S波段寬帶大功率連續(xù)波耦合腔行波管三維模擬設計［J］．強激光與粒子束，2006，18(6)：965－968．

［2］徐林，楊中海，莫元龍.行波管三維非線性計算機模擬的改進［J］.強激光與粒子束，1999，11(3):342－346.

［3］雷文強，楊中海，廖平.耦合腔慢波特性及其注－波互作用的三維軟件模擬［J］.強激光與粒子束，2003，15(7)：673－676．

［4］Kantrowitx F,Tammaru I.Three－dimensional Simulations of Frequency－phase Measurements of Arbitrary Coupled－cavity RF Circuit ［J］.IEEE Trans.on Electron Devices,1988，35(11)：2 018－2 026.

［5］Vaninstin L A.Waveguide Excited by the Electron Beam［J］.Journal of Technology Physics,1953(4):654－657.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。