一道洛侖茲力題目的析與解

溫田浩

最近在一些教參書上見到一道題意相同，提問稍異的關于洛侖茲力內容的選擇題，原題為：

在如圖所示的圓形區(qū)域內，有垂直于紙面方向的勻強磁場，一束質量和帶電量都相同的帶電粒子，以不相等的速率，沿著相同的方向，對準圓心O射入勻強磁場中，又都從該磁中射出，這些粒子在磁場中運動的時間，有的較長，有的較短，若帶電粒子在磁場中只受磁場力的作用，則下列說法中正確的是：

A.運動時間較長的，其速率一定較大

B.運動時間較長的，在磁場中通過和路程越長

C.運動時間較長的，在射離磁場時的偏轉角較大

D.運動時間較長的，在離開磁場時的速率一定增大

該題場景簡單，沒有隱含條件，物理知識點也不出現綜合運用的要求，因此許多學生在初讀題后,并不覺難,但一具體進入判斷4個問法對與否時,卻不易準確得出答案,出現了模糊和似懂非懂的現象。經分析,這是一道看似可以定性討論,而實則是需要作一定定量討論的題目。

首先，按題目所給，在電量、質量相同，而速率不同的條件下，各粒子進入圓形磁場區(qū)域后，將有不同的軌跡和不同的路程，因此應當根據洛侖茲力作用的特點，在圖上定出幾條可能的軌跡以及確定軌跡的圓心、半徑和圓心角，并加以比較，通過比較，才能根據“只在洛侖茲力作用下，帶電粒子的圓周運動周期與半徑及速率無關”的知識，判斷運動時間與偏轉角和路程的關系。

其次，如圖1，設在圓內的勻強磁場方向垂直紙面向外，一束質量、電量相同而速率不同的正電粒子從A點對準圓心O入射時，設可能的軌跡有SAB，SAC，SAD，SAE（B可理解為極值點），后面可以證明4條軌跡中的時間有tE>TD>TC>TB,如果僅是定性從看圖出發(fā)，路程SAE明顯小于SAD和SAC，，由此可得出：“時間較長的，運動路程較短”的結論，從而否定B，但要比較SAD是否一定小于SAC或SAC是否一定小于SAB，則從圖上不能明顯看出，需有一定的數學證明。

綜上分析，4問中A、C、D可以根據洛侖茲力有關知識定量討論，而B則需補充作一定的數學證明。因此，學生如果物理知識的應用能力不強，又缺乏一定的數學證明方法，是較難選擇該題的。下面試解該題，僅供參考。該題4問中僅C是正確選項。

如圖2，圓形磁場區(qū)域半徑為R，圓心在O點，邊界B、C、D、E為粒子可能出射的4點，直線AB為所有入射粒子入射方向的所在線，根據洛侖茲力作用的特點，過A點且垂直直線AB的直線AO應是所有粒子作圓周運動偏轉后的圓心所在線，現確定C、D、E各點出射后的速度方向及圓心、半徑和圓心角，然后再比較得出結論。

1．先看C點。連接 ，設∠BAC= ，顯然角 是經A、C兩點的偏轉圓弧AC在A點的弦切角，其中直線AB是切線。根據對稱性，粒子經C點偏轉出射后，在C點的弦切角大小必然也等于角 ，因此弧AC在C點的切線一方面必與A點的切線AB相交于圓心O點，另一方面切線方向也即該點速度VC的出射方向，如圖上OC即是C點切線，切線OC與切線AB的夾角 C即偏轉角。由此看出，C點速度方向沿圓O的半徑向外，作過C點且垂直VC的直線，與直線AO交于OC點，OC點即是在洛侖茲力作用下，弧AC所對的圓心， C為相應半徑，以OC為圓心， C為半徑，可作出過A、C兩點的相應圓弧AC。由幾何關系，弧AC所對的圓心角大小等于偏轉角 C。

同理，可得出從D、E兩點出射的粒子的圓心、圓心角（偏轉角），半徑和所對應的圓弧，分別以OD、OE、 D、 E、γD 、γE，AD、AE表示之。

從圖上可比較出：

C > D> E……………①

E> D> C ……………②

AE

2．由洛侖茲力作用的特點之一： 看出，在m, V ,B相同的條件下，r與V正比，因此結合①式，可得出：

VC>VD>VE…………④

再由洛侖茲力作用的另一特點： ，即在洛侖茲力作用下的圓周運動周期與速率、半徑無關，因此本題中各粒子由于運動周期相同，所以其運動時間由各粒子偏轉的圓心角（偏轉角）大小來確定，即圓心角越大，運動經歷時間也越大，由②式可得：

tE > tD > tC (>tB)…………⑤

結合⑤，④兩式，可得：運動時間較長的，其速率一定較小，因此題問A錯；

結合⑤、③兩式，可得：運動時間較長的，其在磁場中通過的路程較短，因此題問B錯；

結合⑤、②兩式可得：運動時間較長的，在射離磁場時的偏轉角（圓心角）越大，因此題問C正確；

又，根據洛侖茲力不改變運動速率的特點，可得各粒子離開磁場時速率都不變，因此題問D錯。

3．關于問題B可進一步作如下證明。如圖3，設C點是任一出射點， 是偏轉角，也是弧AC所對的圓心角，弦切角 的2倍;r是偏轉半徑，R是磁場原半徑?，F考查當C點自B點下移時，弧AC是否繼續(xù)一直減小，且弦AB是否是最大長度。

由圖上幾何關系可得：

………⑥

………⑦

由⑤、⑥式及 =2 可得：

………⑧

⑧式右端顯然有 趨于0時， 趨于tg ,此時比值 趨于1，即弧AC等于弦AB，而當 >0且逐漸增大時，總有

總結：該題以選擇題形式出現，而要求有較細的定量分析才能準確得出答案。題目考證了有關洛侖茲力知識的應用、作圖技巧和有關的數學證明能力等，因此對題目的每一問都應當認真分析和研究。若能如此，解這部分物理題型的能力將會有很大提高。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>