雙全純映射的從屬原理及其應(yīng)用

邵俊霞, 胡春英, 王建飛

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州 362021)

1 預(yù)備知識

記Δ為復(fù)平面C中的單位圓盤,即Δ={z∈C:|z|<1}.設(shè)X是復(fù)Banach空間,Ω∈X為包含原點的區(qū)域,若f:Ω→X是雙全純映射,滿足f(0)=0,Df(0)=I,其中,I是X中的恒等算子,則稱f為Ω上的正規(guī)化雙全純映射.記S(Ω)為Ω上的正規(guī)化雙全純映射全體.

設(shè)GC為單連通區(qū)域,記λG(z)|dz|為G上的雙曲度量.當(dāng)G=Δ時,有

Roper-Suffridge算子可以保持一些重要的解析和幾何特征,例如凸性、星形性和Bloch性質(zhì)等.通過Roper-Suffridge算子可構(gòu)造出很多星形映射、凸映射和Bloch映射的具體實例[2-11].

2022年,王建飛等[7]利用文獻[8]的結(jié)果,證明了Roper-Suffridge算子保持ε星形映射,從而得到定理A.

文獻[7]進一步給出了更一般的結(jié)論(定理B).

星形映射、凸映射和螺形映射等函數(shù)類與從屬關(guān)系具有密切的聯(lián)系,通過多復(fù)變雙全純映射的從屬原理,得到螺形映射的性質(zhì),需要引入定義1,定義2.

定義1[12-13]設(shè)Ω為復(fù)Banach空間X中的區(qū)域,0∈Ω.F:Ω→X,G:Ω→X為2個雙全純映射,如果存在Schwarz映射V:Ω→Ω,V(0)=0,使得

F(z)=G(V(z)),z∈Ω,

那么稱F從屬于G,記作FG.

2 相關(guān)引理

為了證明主要結(jié)果,需要引入引理1,引理2.

引理1[15]設(shè)G1C,G2C為兩個單連通區(qū)域.如果f:G1→G2為全純函數(shù),那么有

λG2(f(z))|f′(z)|≤λG1(z), ?z∈G1.

引理2設(shè)DC為包含原點的單連通區(qū)域,X是以為范數(shù)的復(fù)Banach空間.如果f:D→D為雙全純函數(shù),f(0)=0,那么有

于是有

這表明F(z,w)∈Ωr(D).

3 主要結(jié)果及其證明

主要結(jié)果有定理1,定理2.

定理1設(shè)DC為包含原點的單連通區(qū)域,若f,g∈S(D),則fg在D上成立當(dāng)且僅當(dāng)在Ωr(D)上成立.

f(z)=g(v(z)).

由于f,g∈S(D),有v=g-1°f∈S(D).因為有

從而有

定理2設(shè)DC為包含原點的單連通區(qū)域,若f:D→C為β型螺形映射,則有

由于f在D上為β型螺形映射,從而有

g=exp(-teiβ)ff.

于是有

應(yīng)用定理1及gf可知,

推論1設(shè)DC為包含原點的單連通區(qū)域,Xj是以為范數(shù)的復(fù)Banach空間,j=2,…,n.若f:D→C為β型螺形映射,則