微積分的產(chǎn)生與發(fā)展

黃永梅 桑志英 王 翔

微積分是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科,是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱(chēng),它的數(shù)學(xué)思想方法源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。其中“無(wú)限細(xì)分”是微分,“無(wú)限求和”是積分。微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系發(fā)展起來(lái)的,共經(jīng)過(guò)了4個(gè)階段。

1 雛形時(shí)期

公元前3世紀(jì),古希臘阿基米德在他的數(shù)學(xué)著作中用“窮竭法”探討圓的周長(zhǎng)和體積公式,他數(shù)學(xué)研究的最大功績(jī)是“平衡法”,體現(xiàn)了積分的基本思想。在他的《論螺線》一書(shū)中,給出確定螺線在給定點(diǎn)處的切線的方法?？梢哉f(shuō),阿基米德開(kāi)創(chuàng)了微積分的先河。比阿基米德晚幾年的阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中討論過(guò)圓錐曲線的切線。

公元3世紀(jì),我國(guó)魏晉時(shí)期的劉徽用“割圓術(shù)”求出π的近似值,在求球體體積與牟合方蓋體積之比時(shí),用到“卡瓦列里”原理,只是沒(méi)有將它們進(jìn)行總結(jié)。劉徽的“割圓術(shù)”和他的體積理論的思想是定積分理論的雛形。劉徽的思想由祖沖之和他的兒子祖暅之推進(jìn)和發(fā)展,他們將劉徽創(chuàng)立的特殊形式的不可分量方法用于球的體積問(wèn)題上,取得突破性進(jìn)展,使球體積問(wèn)題得以解決。

2 醞釀時(shí)期

16世紀(jì)末17世紀(jì)初的歐洲,文藝復(fù)興促進(jìn)人們思維方式的改變。為解決天文、力學(xué)等方面的問(wèn)題,必須提供必要的數(shù)學(xué)工具,這時(shí)產(chǎn)生的4類(lèi)問(wèn)題即求即時(shí)速度、求曲線的切線、求函數(shù)的最值和求積問(wèn)題向數(shù)學(xué)提出新的挑戰(zhàn)。由于4類(lèi)問(wèn)題的產(chǎn)生,使得微積分的問(wèn)題被提上日程。17世紀(jì)許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述4類(lèi)問(wèn)題作了大量的研究工作,如法國(guó)的費(fèi)馬、笛卡爾,英國(guó)的巴羅、瓦里士,德國(guó)的開(kāi)普勒,意大利的伽利略、卡瓦列里等人都提出許多很有建樹(shù)的理論,為微積分的創(chuàng)立做出貢獻(xiàn)。

意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法,又利用不可分量建立不可分量原理,使早期積分學(xué)突破體積計(jì)算的現(xiàn)實(shí)原型而向一般算法過(guò)渡。

笛卡爾在《幾何學(xué)》中提出求切線的“圓法”,在推動(dòng)微積分的早期發(fā)展方面有很大的影響,牛頓就是以笛卡爾圓法為起跑點(diǎn)而踏上研究微積分的道路的。費(fèi)馬在1637年提出求極值的代數(shù)方法,這種方法幾乎相當(dāng)于現(xiàn)今微分學(xué)中所用的方法。笛卡爾與費(fèi)馬所創(chuàng)立的解析幾何方法的出現(xiàn)與發(fā)展,使數(shù)學(xué)的思想和方法的發(fā)展發(fā)生質(zhì)的變化,為17世紀(jì)下半葉微積分算法的出現(xiàn)準(zhǔn)備了條件。

3 創(chuàng)立時(shí)期

17世紀(jì)下半葉,在前人工作的基礎(chǔ)上,英國(guó)科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成微積分的創(chuàng)立工作,他們把切線問(wèn)題和求積問(wèn)題聯(lián)系在一起。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮,萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。

牛頓對(duì)微積分的研究始于1664年秋,1666年10月整理成《流數(shù)簡(jiǎn)論》,這是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn),標(biāo)志著微積分的誕生。他在《流數(shù)簡(jiǎn)論》中提出面積計(jì)算與求切線問(wèn)題的互逆關(guān)系,建立“微積分基本定理”。在《流數(shù)簡(jiǎn)論》的其余部分,牛頓將他建立的統(tǒng)一算法應(yīng)用于求曲線切線、曲率、拐點(diǎn),求積,求引力等16類(lèi)問(wèn)題,展示了他算法的極大普遍性與系統(tǒng)性。

萊布尼茨于1684年發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文《一種求極大與極小和求切線的新方法》,這是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)。他在這篇論文里定義了微分并廣泛采用微分記號(hào),陳述他在1677年已得到的函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式。萊布尼茲還得出復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)轿⒎址▌t,后來(lái)又將乘積微分的“萊布尼茲法則”推廣到高階情形。牛頓雖然也發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用了這些法則,但卻沒(méi)有去陳述一般公式,他更大的興趣是微積分方法的直接應(yīng)用,在文獻(xiàn)《一種求極大與極小和求切線的新方法》中還包含了微分法求極大、極小值,求拐點(diǎn)以及光學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用。

1686年,萊布尼茲又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無(wú)限的分析》,初步論述積分或求積問(wèn)題與微分或切線問(wèn)題的互逆關(guān)系。在這篇論文中,積分號(hào)第一次出現(xiàn)在出版物上。萊布尼茲所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào),遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào),這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響。現(xiàn)在人們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。

微積分學(xué)的創(chuàng)立,極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,被譽(yù)為“人類(lèi)精神的最高勝利”。

4 發(fā)展時(shí)期

18世紀(jì),微積分進(jìn)一步深入發(fā)展,在數(shù)學(xué)史上,把這一世紀(jì)稱(chēng)為“分析的時(shí)代”。在英國(guó),泰勒和麥克勞林繼承了牛頓的學(xué)說(shuō),把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),為微積分的發(fā)展提供了有力的武器。但麥克勞林之后,英國(guó)的數(shù)學(xué)處于停滯狀態(tài)。萊布尼茲的學(xué)說(shuō),由他的學(xué)生雅各布·伯努利和約翰·伯努利在擔(dān)當(dāng),他們二人的工作構(gòu)成現(xiàn)今所謂初等微積分的大部分內(nèi)容。18世紀(jì)微積分最重大的進(jìn)步是由歐拉作出的,他的著作《無(wú)限小分析引論》《微分學(xué)》和《積分學(xué)》是微積分史上里程碑式的著作。

到19世紀(jì)初,法國(guó)科學(xué)家以柯西為首,對(duì)微積分的理論進(jìn)行認(rèn)真研究,建立極限的理論。后來(lái)又經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化,使極限理論成為微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。

微積分是與科學(xué)應(yīng)用聯(lián)系發(fā)展起來(lái)的,推動(dòng)了近代數(shù)學(xué)的發(fā)展,也極大地推動(dòng)了自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支的發(fā)展,并在這些學(xué)科中有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。