淺析二次函數(shù)的應(yīng)用

二次函數(shù)在高中階段的地位很重要，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性），對(duì)二次函數(shù)還需再深入的學(xué)習(xí)。

一、深入理解函數(shù)概念

高中階段函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來(lái)闡明函數(shù)，可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是以二次函數(shù)為例來(lái)更深的認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射#402;：A→B，使得集合B中的元素y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與集合A的元素X對(duì)應(yīng)，記為#402;（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），這里ax2＋bx＋c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問(wèn)題：

類型I：已知#402;（x）＝2x2＋x＋2，求#402;（x＋1）。

這里不能把#402;（x＋1）理解為x＝x＋1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x＋1的函數(shù)值。

類型Ⅱ：設(shè)#402;（x＋1）＝x2－4x＋1，求#402;（x）。

這個(gè)問(wèn)題理解為，已知對(duì)應(yīng)法則#402;下，定義域中的元素x＋1的象是x2－4x＋1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則。一般有兩種方法：

（1）把所給表達(dá)式表示成x＋1的多項(xiàng)式。

#402;（x＋1）＝x2－4x＋1＝（x＋1）2－6（x＋1）＋6，再用x代x＋1得#402;（x）＝x2－6x＋6。

（2）變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對(duì)一般函數(shù)都可適用。

令t＝x＋1，則x＝t－1，∴（t）＝（t－1）2－4（t－1）＋1＝t2－6t＋6，從而#402;（x）＝x2－6x＋6。

二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象。

在高中階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y＝ax2

＋bx＋c在區(qū)間（－∞， ］及［ ，+∞）上的單調(diào)性的結(jié)

論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺(jué)地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過(guò)圖象研究其單調(diào)性。

（1）y＝x2＋2|x－1|－1 （2）y＝|x2－1| （3）y＝x2＋2|x|－1

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。

類型Ⅳ：設(shè)#402;（x）＝x2－2x－1在區(qū)間［t，t＋1］上的最小值是g（t），求g（t）并畫出y＝g（t）的圖象。

解：#402;（x）＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，在x＝1時(shí)取最小值－2。

當(dāng)1∈［t，t＋1］時(shí)，即0≤t≤1，g（t）＝－2。

當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）＝#402;（t）＝t2－2t－1，當(dāng)t＜0時(shí)，g（t）＝#402;（t＋1）＝t2－2。

t2－2（t＜0）

g（t）＝ －2 （0≤t≤1）

t2－2t－1（t＞1）

首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識(shí)，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。

如：y＝3x2－5x＋6（－3≤x≤－1），求該函數(shù)的值域。

三、二次函數(shù)的知識(shí)，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

類型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)#402;（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）方程#402;（x）

－x＝0的兩個(gè)根x1，x2滿足0

1．當(dāng)X∈（0，x1）時(shí)，證明X＜#402;（x）＜x1。

2．設(shè)函數(shù)#402;（x）的圖象關(guān)于直線x＝x0對(duì)稱，證明x0＜ 。

解題思路：

本題要證明的是x＜#402;（x），#402;（x）＜x1和x0＜ ，由題中所

提供的信息可以聯(lián)想到：①#402;（x）＝x，說(shuō)明拋物線與直線y＝x在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；②方程#402;（x）－x＝0可變?yōu)閍x2＋（b－1）x＋1＝0，它的兩根為x1，x2，可得到x1，x2與a、b、c之間的關(guān)系式，因此解題思路明顯有三條：①圖象法；②利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系；③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導(dǎo)?，F(xiàn)以思路②為例解這道題：

（1）先證明x<#402;（x），令#402;（x）＝#402;（x）－x，因?yàn)閤1，x2是方程#402;（x）－x＝0的根，#402;（x）＝ax2＋bx＋c，所以#402;（x）＝a（x－x1）（x－x2）。

因?yàn)?＜x1＜x2，所以，當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，x－x1<0，x－x2＜0得（x－x1）（x－x2）>0，又a＞0，因此#402;（x）＞0，即#402;（x）－x＞0。至此，證得x＜#402;（x）。

根據(jù)韋達(dá)定理，有x1x2＝ ，∵0＜x1＜x2< ，c＝ax1x2＜x

＝#402;（x1），又c＝#402;（0），∴#402;（0）<#402;（x1），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線y＝#402;（x）是開(kāi)口向上的拋物線，因此，函數(shù)y＝#402;（x）在閉區(qū)間［0，x1］上的最大值在邊界點(diǎn)x＝0或x＝x1處達(dá)到，而且不可能在區(qū)間的內(nèi)部達(dá)到，由于#402;（x1）>#402;（0），所以當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，#402;（x）<#402;（x1）＝x1，即x <#402;（x）< x1。

（2）∵#402;（x）＝ax2＋bx＋c＝a（x＋ ）2＋（c ）（a＞

0）。

函數(shù)#402;（x）的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝ ，且是唯一的一

條對(duì)稱軸，因此，依題意，得x0＝ ，因?yàn)閤1，x2是二次方程

ax2＋（b－1）x＋c＝0的根，根據(jù)違達(dá)定理得x1＋x2＝ 。

∵ x2－ <0；

∴ x0＝ ＝ （x1+x2－ ）< ，即x0＝ 。

二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以編擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識(shí)，使我們對(duì)它的研究更深入。

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