淺談圖形在高等數(shù)學教學中的作用

[摘要]隨著現(xiàn)代科學技術(shù)的發(fā)展，計算機已進入我國的教學領(lǐng)域，并得到迅速的發(fā)展。計算機在教育上的應(yīng)用，使得教學手段、教學方法、教學思想與教學理論都發(fā)生了變革。計算機發(fā)展到今天，多媒體技術(shù)應(yīng)于教學已成為現(xiàn)實，作者結(jié)合自己的多媒體教學實踐和體會，探討在高等數(shù)學的教學過程中巧妙使用函數(shù)的平面或立體圖形，圖文并茂，比傳統(tǒng)式教學收到更好的教學效果

[關(guān)鍵詞]圖形 函數(shù) 展示

我們知道，數(shù)學課程的特點之一是內(nèi)容比較抽象。因此，教師應(yīng)考慮如何在傳授知識的過程中做到提高教學質(zhì)量，發(fā)揮教師的主導作用，重視學生的主體作用。注意調(diào)動學生學習的積極性，注重教學內(nèi)容的生動性，是每一個數(shù)學老師在教學實踐中必須探討思索的問題。而多媒體在數(shù)學教學中應(yīng)用可以較好地解決這個難題。多媒體教學被引入課堂，改變了千百年來一支粉筆、一塊黑板的傳統(tǒng)教學手段。它以巧妙的構(gòu)思、生動的畫面、形象的演示，引領(lǐng)課堂教學進入一個全新的境界。計算機輔助教學不僅能替代許多傳統(tǒng)教學的手段，而且能實現(xiàn)傳統(tǒng)教學手段無法達到的教學效果。利用計算機的動態(tài)畫面展示事物發(fā)展或推理的全過程，利用它的圖畫特性將抽象的、理論的東西形象化，將空間的、難以想象的內(nèi)容具體化。這樣對于學習高等數(shù)學展示函數(shù)的圖形提供了很好的條件?，F(xiàn)代教育學的實踐證明：學生在獲取知識時僅依靠聽覺，那么三小時后能保持70%，三天后僅能保持10%；若僅依靠視覺，則三小時后能保持72%，三天后可保持20%；如果綜合依靠視覺和聽覺，則三小時后可保持85%，三天后可保持信息量的65%。著名數(shù)學家華羅庚先生曾說過，“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微”，“數(shù)形結(jié)合”是學習數(shù)學的重要方法。反三角函數(shù)的圖形，大一的學生在中學雖然學過，但印象并不深刻。幾何畫板這一工具軟件的出現(xiàn)，使教師們在“幾何畫板”上畫出的圖形與黑板上或者草稿紙上的圖形不同，是動態(tài)的并可保持設(shè)定的幾何關(guān)系不變，為教師和學生提供了一個在動態(tài)中觀察幾何規(guī)律的圖板，這一軟件的使用為幾何學的教改及創(chuàng)新教學模式注入了無限的活力。用幾何畫板這個軟件很容易將上述圖形展示給學生，并且還能展示函數(shù)圖形中參數(shù)的變化引起圖形的變化（圖1），給學生留下了深刻的印象。還有講到擺線這部分內(nèi)容時，大一的多數(shù)學生在中學都沒有見過模型，也不知該函數(shù)圖形是怎樣形成的，用幾何畫板可以把擺線這個由點生成的軌跡展示得很清楚。還有，在講到一元函數(shù)的一階導數(shù)、二階導數(shù)對同一個函數(shù)的增減性，凹凸性、極值性起到什么作用時，教科書上往往采用論證的方法、但不夠直觀。而我用，及 將這三個圖形同時展示在同一畫面上（如圖2），讓學生觀察思考這三個圖形之間有什么關(guān)系。學生經(jīng)思考后，則容易得到：可導函數(shù)的極值點一定在一階導數(shù)的零點取得；一階導數(shù)大于零對應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)增大，一階導數(shù)小于零，對應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)減少；二階導數(shù)大于零，對應(yīng)區(qū)間上函數(shù)是凹的，二階導數(shù)小于零，對于區(qū)間上的函數(shù)是凸的；二階導數(shù)的零點是一階導數(shù)的極值點同時又是函數(shù)的拐點的結(jié)論（如圖3）。然后再加以論證，效果就比較好。在講到定積分概念時，課本上往往以某一個曲邊梯形或曲邊三角形的面積作為例子，使用“化整為零”。即先使用分割區(qū)間的方法，在小區(qū)間內(nèi)用常量代替變量；再施以極限的手段，使小區(qū)間無限變小，得到新的常量。最后得到變量在某一點的定量描述。然后再“積零為整”的方法，求這個和式的極限，便求出了該曲邊梯形或曲邊三角形的面積。我以為例，制作這樣幾何畫板的課件，在老師的操作下，學生能夠清晰的看到，隨著小區(qū)間數(shù)n的增大，和數(shù)所表示的面積也隨著增大，生動地將定積分概念中三個過程分割、作和、求極限表現(xiàn)得淋漓盡致，如圖4。這就使在傳統(tǒng)教學中無法解決的難題變得非常容易，教師上課輕松，學生非常形象直觀地理解了本題實質(zhì)。學生更是在感興趣的前提下自覺進行了學習。

對于空間解析幾何，二元函數(shù)，二重積分，三重積分，學生對空間三維圖形更是不熟悉，空間想象能力差，往往教科書上的三維圖形也很少。學生理解重積分中空間區(qū)域這一概念就比較困難。多媒體教學可彌補這個教學中的難點。三維圖形軟件Rhin3.0對于制作三維圖形提供了方便。例如在講到空間解析幾何時，展示了八個卦限的例子（圖5），單葉雙曲面（圖6），橢圓拋物面（圖7），雙曲拋物面（圖8）。當然實際中并不止這幾個，例如在講到二重積分其中D以O(shè)（0，0）、A（1，1）、B（0，1）為頂點的三角形（圖9）， 其中D由與所圍成的第一卦限部分（圖10）不但有平面區(qū)域圖形，還有三維立體圖形。這樣，學生非常形象直觀地理解了本題。這就使在傳統(tǒng)教學中無法解決的難題變得比較容易，對解題有很大的幫助。

除了上述的工具軟件外，還有MATLAB7、Maple。教師應(yīng)學會使用這些軟件，以便更好地為教學服務(wù)。

參考文獻

[1]陶維林.幾何畫板實用范例教程（4.03版）[M].北京：清華大學出版社，2003.

[2]北京洪恩教育科技有限公司.犀牛Rhino3產(chǎn)品模型設(shè)計[M].天津：天津電子出版社，2004.