不等式組型方案設(shè)計(jì)題例析

方案設(shè)計(jì)題大多是聯(lián)系實(shí)際生活的開放題，往往以立意活潑、設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)新意識的實(shí)際生活應(yīng)用題為載體，通過設(shè)置一個(gè)實(shí)際問題情景，給出若干信息，提出解決問題的要求，要求學(xué)生運(yùn)用掌握的技能和方法，進(jìn)行設(shè)計(jì)和操作，尋求恰當(dāng)?shù)慕鉀Q.這就要求從多角度、多層次進(jìn)行探索，展示思維的靈活性、發(fā)散性、創(chuàng)新性.它分為：1.設(shè)計(jì)圖形題；2.設(shè)計(jì)測量方案題；3.設(shè)計(jì)最佳方案題.本文就舉例對第3種：設(shè)計(jì)最佳方案題進(jìn)行分析，此類題目往往要求回答出現(xiàn)的運(yùn)費(fèi)最少、利潤最少、成本最低、效率最高等，解題時(shí)常常與函數(shù)、方程、一元一次不等式及不等式組等聯(lián)系在一起，最主要是與不等式組聯(lián)系在一起，是現(xiàn)在中考題的熱點(diǎn)、難點(diǎn).

解決方案設(shè)計(jì)這類問題時(shí)，首先要弄清題意，根據(jù)題意準(zhǔn)確地寫出表達(dá)各種量的代數(shù)式，建構(gòu)恰當(dāng)?shù)牟坏仁浇M模型，求出未知數(shù)的取值范圍，利用未知數(shù)的整數(shù)解，結(jié)合實(shí)際問題確定方案設(shè)計(jì)的種數(shù)，從而得出方案.此類題目常常需要用到數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.

例 1：（2007年湖南省懷化市）2007年我市某縣籌備20周年縣慶，園林部門決定利用現(xiàn)有的3490盆甲種花卉和2950盆乙種花卉搭配A、B兩種園藝造型共50個(gè)擺放在迎賓大道兩側(cè)，已知搭配一個(gè)A種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆，搭配一個(gè)B種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆.

（1）某校九年級（1）班課外活動(dòng)小組承接了這個(gè)園藝造型搭配方案的設(shè)計(jì)，問符合題意的搭配方案有幾種？請你幫助設(shè)計(jì)出來.

（2）若搭配一個(gè) 種造型的成本是800元，搭配一個(gè) 種造型的成本是960元，試說明（1）中哪種方案成本最低？最低成本是多少元？

解：（1）設(shè)搭配A種造型x個(gè)，則B種造型為（50-x）個(gè)，依題意，得：

80x+50（50-x）≤349040x+90（50-x）≤2950，解這個(gè)不等式組，得：

x≤33x≥31，∴31≤x≤33.

∵x是整數(shù)，∴x可取31，32，33.

∴可設(shè)計(jì)三種搭配方案：

①A種園藝造型31個(gè)，B種園藝造型19個(gè).

②A種園藝造型32個(gè)，B種園藝造型18個(gè).

③A種園藝造型33個(gè)，B種園藝造型17個(gè).

（2）方法一：由于B種造型的造價(jià)成本高于A種造型成本．所以B種造型越少，成本越低，故應(yīng)選擇方案③，成本最低，最低成本為：

33×800+17×960=42720（元）.

方法二：方案①需成本：

31×800+19×960=43040（元）

方案②需成本： 32×800+18×960=42880（元）

方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）

∴應(yīng)選擇方案③，成本最低，最低成本為42720元.

評析：這是一道關(guān)于園藝造型搭配方案的設(shè)計(jì)問題，由甲、乙兩種花卉的盆數(shù)一定，A、B兩種造型需要的甲、乙兩種花卉搭配的盆數(shù)一定，利用不等式知識，構(gòu)建一元一次不等式組模型，進(jìn)而根據(jù)不等式組的解集和造型的個(gè)數(shù)為正整數(shù)，確定具體的A、B兩種造型方案種數(shù).

例 2：（2007年河北?。┮皇謾C(jī)經(jīng)銷商計(jì)劃購進(jìn)某品牌的A型、B型、C型三款手機(jī)共60部，每款手機(jī)至少要購進(jìn)8部，且恰好用完購機(jī)款61000元．設(shè)購進(jìn)A型手機(jī)x部，B型手機(jī)y部.三款手機(jī)的進(jìn)價(jià)和預(yù)售價(jià)如下表：

（1）用含x，y的式子表示購進(jìn)C型手機(jī)的部數(shù)；

（2）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）假設(shè)所購進(jìn)手機(jī)全部售出，綜合考慮各種因素，該手機(jī)經(jīng)銷商在購銷這批手機(jī)過程中需另外支出各種費(fèi)用共1500元.

①求出預(yù)估利潤P（元）與x（部）的函數(shù)關(guān)系式；

（注：預(yù)估利潤P＝預(yù)售總額-購機(jī)款-各種費(fèi)用.）

②求出預(yù)估利潤的最大值，并寫出此時(shí)購進(jìn)三款手機(jī)各多少部.

解：（1）c=60-x-y.

（2）由題意，得：

900x+1200y+1100（60-x-y）= 61000，

整理得 y=2x-50．

（3）①由題意，得：

P= 1200x+1600y+1300（60-x-y）- 61000-1500，

整理得P=500x+500．

②購進(jìn)C型手機(jī)部數(shù)為：60-x-y =110-3x．根據(jù)題意列不等式組，得：

x≥82x-50≥8100-3x≥8，解得29≤x≤34．

∴ x范圍為29≤x≤34，且x為整數(shù)．（注：不指出x為整數(shù)不扣分.）

∵P是x的一次函數(shù)，k=500＞0，∴P隨x的增大而增大．

∴當(dāng)x取最大值34時(shí)，P有最大值，最大值為17500元．

此時(shí)購進(jìn)A型手機(jī)34部，B型手機(jī)18部，C型手機(jī)8部.

評析：本例以函數(shù)知識為主體，解題中明顯地滲透著函數(shù)及方程思想，考查了學(xué)生構(gòu)建函數(shù)及不等式組模型的能力.注意文字與表格相結(jié)合，根據(jù)題意將建立的函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成恰當(dāng)?shù)牟坏仁浇M模式，求出未知數(shù)的取值范圍；最后再結(jié)合實(shí)際問題確定方案設(shè)計(jì)的種數(shù).這類方案設(shè)計(jì)問題還有一個(gè)特點(diǎn)，那就是要在幾種確定的方案中，選擇最優(yōu)的方案，其一般解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定最優(yōu)方案，如果是一次函數(shù)可根據(jù)它的增減性來確定.如果是二次函數(shù)可根據(jù)它的最值性質(zhì)來確定.本例中利潤的最大值，都包含有一個(gè)合理、恰當(dāng)?shù)匕才刨忂M(jìn)三款手機(jī)發(fā)揮其最大效益的問題，真實(shí)的情景設(shè)計(jì)可激發(fā)學(xué)生探究新知的求知欲.

例 3：（2007年遼寧省十二市）某辦公用品銷售商店推出兩種優(yōu)惠方法：①購1個(gè)書包，贈(zèng)送1支水性筆；②購書包和水性筆一律按9折優(yōu)惠．書包每個(gè)定價(jià)20元，水性筆每支定價(jià)5元.小麗和同學(xué)需買4個(gè)書包，水性筆若干支（不少于4支）.

（1）分別寫出兩種優(yōu)惠方法購買費(fèi)用y（元）與所買水性筆支數(shù)x（支）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）對x的取值情況進(jìn)行分析，說明按哪種優(yōu)惠方法購買比較便宜；

（3）小麗和同學(xué)需買這種書包4個(gè)和水性筆12支，請你設(shè)計(jì)怎樣購買最經(jīng)濟(jì).

解：（1）設(shè)按優(yōu)惠方法①購買需用y1元，按優(yōu)惠方法②購買需用y2元，根據(jù)題意得：

y1=（x-4)×5+20×4=5x+60，

y2=（5x+20×4）×0.9=4.5x+72．

（2）設(shè)y1＞y2，即5x+60＞4.5x+72，

∴x＞24．當(dāng)x＞24整數(shù)時(shí)，選擇優(yōu)惠方法②．

設(shè)y1= y2，∴當(dāng)x=24時(shí)，選擇優(yōu)惠方法①、②均可．

∴當(dāng)4≤x≤24整數(shù)時(shí)，選擇優(yōu)惠方法①．

（3）因?yàn)樾枰徺I4個(gè)書包和12支水性筆，而12＜24，

購買方案一：用優(yōu)惠方法①購買，需5x+60=5x×12+60=120元；

購買方案二：采用兩種購買方式，用優(yōu)惠方法①購買4個(gè)書包，需要4×20=80元，同時(shí)獲贈(zèng)4支水性筆；

用優(yōu)惠方法②購買8支水性筆，需要8×5×90%=36元．

共需80+36=116元．顯然116＜120.

∴最佳購買方案是：用優(yōu)惠方法①購買4個(gè)書包，獲贈(zèng)4支水性筆；再用優(yōu)惠方法②購買8支水性筆.

評析：這是一道典型的利用函數(shù)確定學(xué)生購買方案的問題.其基本思路是根據(jù)題目提供的兩種優(yōu)惠方法確定相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，然后利用函數(shù)表達(dá)式的比較得出與水性筆支數(shù)相關(guān)的不等式，從而確定水性筆支數(shù)的取值范圍，再結(jié)合未知數(shù)取正整數(shù)的實(shí)際情況，確定購買方案.在解題中特別注意未知數(shù)取正整數(shù)，這是一個(gè)隱含條件.

最近幾年中考試題中出現(xiàn)了大量的不等式（組）模型下的數(shù)學(xué)方案設(shè)計(jì)應(yīng)用題，為數(shù)學(xué)應(yīng)用開辟了一塊廣闊的天地.

（作者單位：貴州省湄潭縣石蓮中學(xué)）