“梯形的中位線”教學設計

一、設計思想

1.教材分析

“梯形的中位線”是蘇教版義務教育課程標準實驗教科書《數(shù)學》八年級（上冊）第三章§3.6 三角形、梯形的中位線第二課時，是在學習了三角形中位線性質等知識的基礎上提出的.梯形中位線性質是梯形的重要性質，是今后有關計算和論證的重要依據(jù).作為性質教學課，對培養(yǎng)學生科學的思維方法和分析問題、解決問題的能力有非常重要的作用.

2.學情分析

學生已經(jīng)初步掌握了三角形中位線的性質及其應用，以此作為新知識的生長點.讓學生多探索，多動腦，促進學生間的相互合作、交流.性質的探究過程是對學生分析問題和解決問題能力的綜合考查，而八年級學生類比、猜想、分析、歸納的思維方法和運用數(shù)學思想的意識比較薄弱，預見能力和抗挫折能力較欠缺，自學較困難.

3.教學策略

“梯形的中位線”這節(jié)課是安排在“三角形的中位線”之后，教材反映在字面上的內容較少，僅一個操作、一個概念、一個性質、一個例題而已，為了創(chuàng)造性地使用教材，擴大學生的知識容量和思維容量，有效地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，我抓住“三角形可以看作上底為0的梯形”這一知識生長點，通過類比、變式的方法，設計富有探究性的問題系列，力求形成“創(chuàng)設情境——建立模型——實驗探究——推理論證——解釋應用與拓展”的探究性教學過程.

二、教學目標

1.探索并掌握梯形中位線的概念、性質.

2.會利用梯形中位線的性質解決有關問題.

3.經(jīng)歷探索梯形中位線性質的過程，滲透轉化、類比、運動與變化等數(shù)學思想，培養(yǎng)學生分析、類比、猜想、歸納等思維方法.

4.通過梯形中位線性質的推理論證，引導學生獨立思考、合作交流，培養(yǎng)學生的自主意識、合作精神，增強學生學習的自信心和克服困難的意志力.

三、教學重、難點

重點：梯形的中位線性質及其應用.

難點：梯形的中位線性質的推理論證.

四、 教學準備

多媒體課件、含有梯形中位線的梯形硬紙片.

五、 教學過程

1.設計“最近發(fā)展區(qū)”，類比引入梯形中位線

（幾何畫板：如圖1，投影△ABC及其中位線EF.）

師：請看圖1，什么叫三角形的中位線？它有哪些性質？從位置和數(shù)量上回答.

生：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.

（幾何畫板：如圖2，動畫演示點D從點A出發(fā)，沿BC方向向右平移，△ABC變化為梯形ABCD，點F也隨之向右平移，得到圖3.）

師：數(shù)學中的很多圖形都是相互關聯(lián)的，由動畫演示，三角形可以看作上底為0的三角形.觀察圖3，通過類比，你認為應該給線段EF取個什么名字合適？

生：梯形的中位線.

師：數(shù)學中的概念是不能僅靠觀察來描述，類比三角形中位線的定義，我們應該怎樣給梯形的中位線下定義呢？

生：連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線.

師：我們今天就來學習梯形的中位線.

（板書課題：梯形的中位線.）

[設計意圖：改變課本直接給出定義的做法，抓住三角形可以看作是特殊的梯形（上底為0）這一點，在復習三角形中位線的概念及其性質的基礎上，巧妙地借助幾何畫板的動態(tài)演示，通過類比、擴展，讓學生給梯形的中位線下定義，并為下一步探索梯形中位線性質埋下伏筆，符合知識“最近發(fā)展區(qū)”的主動建構過程.]

2.構建數(shù)學模型，觀察猜想性質

師：同學們一定有很多業(yè)余愛好，大家下過跳棋嗎？

生：下過.（課件：出示跳棋棋盤圖.）

師：棋盤上的各個點之間是等距離的，行與行之間是平行的，我們不妨把兩個點之間的距離看作單位長度1，你能找出棋盤上蘊涵著的圖形嗎？

生：棋盤上的點組成了三角形、四邊形、梯形等很多圖形.

（課件：出示圖4.）

師：非常好！利用這個圖形，能體現(xiàn)我們上節(jié)課學習的三角形中位線的有關知識嗎？請你說說.

生：能，圖中中位線是一個單位長度，第三邊是兩個單位長度，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.

師：棋盤中哪些點組成了梯形和它的中位線？請你到屏幕前找出來.

（生到屏幕前找圖形；課件：出示圖5、圖6.）

師：三角形中位線與第三邊存在位置和數(shù)量上的關系，梯形中位線有沒有類似的性質呢？請結合圖形加以說明.

生：圖5中中位線的長為2，上、下底分別為1、3，上、下底之和為4，梯形的中位線正好等于兩底和的一半.

生：圖6中中位線的長為3，上、下底分別為2、4，上、下底之和為6，體現(xiàn)了梯形的中位線等于兩底和的一半.

[設計意圖：變直接拋出性質為“創(chuàng)設情境——數(shù)學建?！^察猜想”過程，凸顯探究、發(fā)現(xiàn)性質的過程，培養(yǎng)學生的觀察能力和猜想能力.]

師：很好！你們還能在棋盤中找出其他含有梯形中位線的圖形嗎？是不是還有上面的發(fā)現(xiàn)？

生：能！（學生走到屏幕前找出圖形，教師出示圖7）這個圖和圖5形狀一樣，但位置不同.

師：很好！這位同學不受束縛，敢于創(chuàng)新，找到的梯形位置有所突破.以上我們發(fā)現(xiàn)的都是等腰梯形，同學們還能找到不同形狀的梯形及其中位線嗎？

生：能?。▽W生走到屏幕前找出圖形，教師出示圖8.）這是一個直角梯形，中位線的長為1.5，上、下底分別為1、2，上、下底之和為3，仍然體現(xiàn)了梯形的中位線等于兩底和的一半.

[設計意圖：通過變換角度，尋找形狀各異的梯形，可以打破學生的思維定勢，激發(fā)學生的探究欲望，激活學生的思維，有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力.]

師：由此我們得到一個什么猜想？

生：梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半.

3.借助幾何畫板，動態(tài)驗證性質

師：在特殊圖形中得到的猜想不一定具有一般性.我們可借助幾何畫板來檢驗我們的猜想是否具有一般性.

（課件：出示圖9，在幾何畫板中拖動梯形的各個頂點，利用幾何畫板計算功能顯示梯形中位線、上底+下底、■的數(shù)值變化.）

師：在梯形形狀和大小發(fā)生變化的過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：梯形中位線（mEF）、上底+下底（mAD+mBC）都在變化，但的值始終沒有發(fā)生變化.

[設計意圖：借助幾何畫板的計算功能發(fā)現(xiàn)變中有不變，從數(shù)學實驗的視角驗證了猜想的正確性.]

4.依托操作活動，推理論證性質

師：通過幾何畫板的動態(tài)演示，我們從實驗的角度發(fā)現(xiàn)我們的猜想是正確的.但我們數(shù)學中的猜想還需經(jīng)過推理論證才能說明其正確性.要證明此猜想，首先要將該猜想用數(shù)學語言表述出來，怎么表述呢？

生：已知，（如圖10）梯形ABCD中，AD∥BC，AE=BE，DF=CF.說明：（1）EF∥BC；（2）EF= BC+AD）.

師：觀察結論的特征，你能想到要證梯形中位線問題需要轉化成什么問題？轉化的關鍵是什么？

生：應該轉化為我們學過的三角形中位線問題.

師：怎樣添加輔助線才能將梯形轉化為三角形呢？請大家獨立思考.

（讓學生獨立思考大約3分鐘.）

[設計意圖：通過創(chuàng)設獨立思考及探究的時間和空間，讓學生充分感知了困難、嘗試了困難，為進一步探究奠定了基礎，有利于增強學生克服困難的意志力.]

師：請大家拿出課前準備好的含有梯形中位線的梯形硬紙片，以4人小組為單位，動手操作，試把梯形硬紙片剪成兩部分，使分成的兩部分能拼成一個三角形.

（學生以四人小組為單位進行操作活動，教師一方面作為組織者加強巡視，及時捕捉各組的信息，一方面作為合作者積極參與學生的討論，及時了解學生遇到的困難，有針對性地進行指導.請學生到前面說明拼圖的方法，如圖11.）

[設計意圖：通過設置拼圖活動和合作交流的過程，為添加輔助線把梯形中位線轉化為三角形中位線做好鋪墊.]

師：通過剛才的操作，你能添加輔助線將梯形轉化為三角形嗎？

生：能！連接AF并延長交BC的延長線于點G，那梯形的中位線EF就變?yōu)椤鰽BG的中位線.

師：非常好！你們會說明猜想的正確性了嗎？請一位同學到黑板上把推理的過程寫出來，其他同學在下面完成.

（一位學生板演，其他學生在下面完成.）

5.編制變式訓練，優(yōu)化思維品質

例1：如圖12，梯子各橫木間互相平行，且A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，B1B2=B2B3=B3B4=B4B5.已知橫木A1B1=48cm，A5B5=32cm.求橫木A2B2、A3B3 、A4B4的長.

變式1若A1B1=48cm，A2B2=44cm.求橫木A3B3 、A4B4 、A5B5的長.

變式2若A1B1=48cm，A4B4=36cm.求橫木A2B2 、A2B2 、A5B5的長.

變式3若A1B1+ A5B5=80cm，求A2B2+A4B4的長.

[設計意圖：抓住性質的條件“中點”這一特征，通過增加中點的個數(shù)、改變線段的角色（已知或未知）等來建構問題的梯度，符合學生的認知規(guī)律.同時也培養(yǎng)了學生從復雜圖形中分解基本圖形的能力.]

6.模擬數(shù)學實驗，培養(yǎng)應用意識

例2：一場大雪過后，天氣變晴.由于受太陽直接照射，一堆被深雪覆蓋的木材（木材的粗細相對均勻，整堆木材的橫截面成梯形狀）漸漸露出了頂層（如圖13），若該堆木材共有6層.請根據(jù)現(xiàn)有的信息，試估計這堆木材的根數(shù).

[設計意圖：從學生日常生活中的問題出發(fā)，以本節(jié)知識為載體建立數(shù)學模型，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程.]

7.反思小結，重構知識體系

（1）請學生填寫表格，比較三角形中位線和梯形中位線的定義和性質.

（2）利用幾何畫板動態(tài)演示（如圖14），將梯形的上底的一個頂點沿上底運動，上底趨于零，則梯形就變成三角形，梯形中位線就成了三角形中位線；反之，就將三角形變成梯形.

（3）在本節(jié)課的學習中運用了哪些數(shù)學思想方法？

六、教學反思

通過教學實踐，可以發(fā)現(xiàn)學生基本都能探究得到梯形中位線的性質，能運用性質解決簡單的問題.用學生非常熟悉的跳棋棋盤圖來體現(xiàn)抽象知識的認知過程，不僅使課堂教學生動活潑，而且產(chǎn)生很強的啟迪，有助于學生理解問題的實質.

在引入和小結中利用多媒體動態(tài)演示，讓學生在運動變化中理解三角形中位線與梯形中位線的聯(lián)系和區(qū)別，首尾呼應，均有利于學生對知識的構建.

在發(fā)現(xiàn)梯形的中位線性質的教學時，讓學生在棋盤圖中找出不同位置、不同形狀的梯形，訓練學生的分散思維和求異思維.

在教學梯形中位線性質的論證這個難點時，通過精心設計的問題讓學生去操作、思考、討論、探索、發(fā)現(xiàn)，并加以啟示和點撥，特別注重學生的獨立探索和思考，在課堂內最大限度地給學生創(chuàng)造思維自由馳騁的時間和空間.

（作者單位：江蘇省泰興市姚王鎮(zhèn)中心初中）