在數(shù)學(xué)學(xué)科訓(xùn)練體系中提高教師的能力與素質(zhì)

一、試題的評(píng)價(jià)與分析

例1：（哈爾濱市香坊區(qū)期末測(cè)試第28題）在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的位置（如圖1），∠ABO=90°，∠OAB=30°，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P不與點(diǎn)O重合，連接AP.

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△OAP為等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）求（1）中直線AP的解析式.

（3）在（2）中直線從AP上是否存在點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QR垂直于x軸，垂足為R，使△PQR與△AOB全等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

評(píng)價(jià)與分析：本題具有綜合性和探究性.這道題包含了直角三角形、等腰三角形、全等三角形、一次函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，是一道綜合性極強(qiáng)的題.本題把動(dòng)點(diǎn)與多解問(wèn)題巧妙結(jié)合，不僅考查知識(shí)點(diǎn)全面，而且極有利于學(xué)生思維的發(fā)展，開(kāi)拓視野，讓學(xué)生在探究的過(guò)程中，逐步完善解題步驟，逐漸形成多維、全面分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力.此題解法多樣，并對(duì)今后的學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)下伏筆，在學(xué)習(xí)圓之后，學(xué)生就會(huì)對(duì)此類(lèi)多解問(wèn)題理解得更透徹.

例2：（哈爾濱市道外區(qū)期末測(cè)試第10題）已知M(4，3)，N(1，-2)，P在y軸上且PM+PN最短，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）.

評(píng)價(jià)與分析：此題具有基礎(chǔ)性和知識(shí)性，包含的知識(shí)點(diǎn)全面，是軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)的綜合考查，考查了最短距離的問(wèn)題，和一次函數(shù)問(wèn)題相結(jié)合，并且在講解過(guò)程中做過(guò)此類(lèi)軸對(duì)稱(chēng)專(zhuān)題.此類(lèi)問(wèn)題和物理學(xué)中的鏡面反射有很多聯(lián)系，學(xué)好此類(lèi)問(wèn)題特別重要.

例3：（哈爾濱市香坊區(qū)期末測(cè)試第9題）一名考生步行前往考場(chǎng)，10分鐘走了總路程的，估計(jì)步行不能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，于是他改乘出租車(chē)前往考場(chǎng).他的行程與時(shí)間關(guān)系（如圖2）（假定總路程為1），則他到達(dá)考場(chǎng)所花的時(shí)間比步行提前了（ ）.

A.20分鐘B.22分鐘

C.24分鐘D.26分鐘

評(píng)價(jià)與分析：此題是一道基礎(chǔ)性較強(qiáng)的生活實(shí)踐性題目.從生活實(shí)際入手，考查了一次函數(shù)的知識(shí)，學(xué)生必須擅長(zhǎng)觀察圖像中的各個(gè)數(shù)量及位置關(guān)系，才能得出正確結(jié)論.此題也有多種解法，也可以用算術(shù)算法，解題較快.此題也是一道易錯(cuò)題，在路程為1時(shí)的時(shí)間容易算錯(cuò).

例4：（哈爾濱市道里區(qū)期末測(cè)試第27題）已知：（如圖3）一副直角三角板如圖放置，等腰直角三角板固定不動(dòng)，另一塊的直角頂點(diǎn)放在等腰直角三角板的斜邊中點(diǎn)D處，兩直角邊與AB，CB的交點(diǎn)為GH.

（1）當(dāng)三角板DEF如圖①放置時(shí)，你能發(fā)現(xiàn)線段DG和DH的大小有何關(guān)系？

（2）如圖②，設(shè)點(diǎn)G到AC的距離為h1，點(diǎn)H到AC的距離h2，線段AC的長(zhǎng)為p，則h1、h2與p三者有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論.

評(píng)價(jià)與分析：此題具有綜合性和探究性.此題以一副三角板作為背景材料，這也是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)試題.根據(jù)現(xiàn)在所學(xué)的知識(shí)編制，考查了全等三角形的判定和等腰三角形的一系列知識(shí)，并且對(duì)同角的余角相等的基本圖形鞏固練習(xí)，使學(xué)生記憶深刻.通過(guò)三角板繞斜邊中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中△GMD與△DNH始終全等，并且AM=GM，NH=NC，讓學(xué)生從中探究理解，使他們對(duì)三角形全等、等腰直角三角形、同角的余角相等掌握得更靈活，能夠運(yùn)用自如.

二、試題的研究與創(chuàng)編

創(chuàng)編題目一：

（一）創(chuàng)編過(guò)程

1.創(chuàng)編的背景和載體

原題：（1）人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)156頁(yè)16題：在四邊形ABCD內(nèi)部找出一點(diǎn)O，使得點(diǎn)O到四邊形4個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小，并請(qǐng)說(shuō)明理由.

知識(shí)內(nèi)容是兩點(diǎn)之間線段最短.

（2）人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第33頁(yè)例6：A城有肥料200噸，B城有肥料300噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng).從A城往C、D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為每噸20元和25元；從B城往C、D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為每噸15元和24元.現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料240噸，D鄉(xiāng)需要肥料260噸，怎樣調(diào)運(yùn)總運(yùn)費(fèi)最少？

知識(shí)內(nèi)容是利用一次函數(shù)與方程解決實(shí)際問(wèn)題.

2.知識(shí)的鏈接、延伸及擴(kuò)展

以“兩點(diǎn)之間線段最短”為橋梁，將一次函數(shù)和“調(diào)運(yùn)”問(wèn)題鏈接起來(lái)，使知識(shí)得到延伸及擴(kuò)展.

3.條件和方法的演變和強(qiáng)化

將原題的條件放在直角坐標(biāo)系中，使得求四邊形內(nèi)部到四邊形各頂點(diǎn)距離及最小的點(diǎn)的位置，變?yōu)榱饲笞鴺?biāo)的問(wèn)題，并與調(diào)運(yùn)問(wèn)題巧妙結(jié)合.

（二）創(chuàng)編題目的特點(diǎn)

1.考查內(nèi)容的全面性.創(chuàng)編題目中涉及到的知識(shí)包括七年級(jí)的“線段最短”知識(shí)、方程知識(shí)、八年級(jí)的一次函數(shù)知識(shí)以及“調(diào)運(yùn)”知識(shí).知識(shí)點(diǎn)全面.

2.解題思路的清晰性.創(chuàng)編題目雖然涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，但在解題過(guò)程中，知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系緊密，使得解題過(guò)程更有條理.

（三）創(chuàng)編題目及答案

已知：A、B、C、D為4個(gè)村莊，在坐標(biāo)系xoy中的坐標(biāo)（如圖4），若村莊D到x軸與y軸的距離分別為3公里和6公里（其他坐標(biāo)含義相同）.若M為到4個(gè)村莊距離和最小的一個(gè)診所，其中有甲、乙兩種藥品分別是5700盒與4300盒.若從診所M到A、B、C、D四個(gè)村莊運(yùn)甲藥品的運(yùn)費(fèi)每盒每千米分別為0.1元、0.2元、0.4元、0.3元；運(yùn)乙藥品的運(yùn)費(fèi)分別為0.15元、0.35元、0.5元、0.25元，各村所需藥品數(shù)量如表1：

設(shè)由M運(yùn)往B村的甲種藥品為x盒，由M到A、B、C、D四村的總運(yùn)費(fèi)為y.① 寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；② 當(dāng)x為何值時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最少？

創(chuàng)編題目二：

（一）創(chuàng)編過(guò)程

1.創(chuàng)編的背景和載體

原題是2007年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)試題第18題：（如圖5）已知等腰直角△ABC的直角邊長(zhǎng)與正方形MNPQ的邊長(zhǎng)均為20厘米，AC與MN在同一直線上，開(kāi)始時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)N重合．讓△ABC以每秒2厘米的速度向左運(yùn)動(dòng)，最終點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，則重疊部分面積y（厘米2）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式為．

知識(shí)內(nèi)容是等腰直角三角形的面積和正方形的性質(zhì)以及函數(shù)關(guān)系.

2.知識(shí)的鏈接、延伸及擴(kuò)展

創(chuàng)編意圖：在考查知識(shí)點(diǎn)不變的情況下，加入分段函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，使知識(shí)得到延伸及擴(kuò)展，并使題目更加具有綜合性.

3.條件和方法的演變及強(qiáng)化

同樣是求陰影部分的面積，但改變了運(yùn)動(dòng)的方式，使得求解的方法也發(fā)生了改變.同時(shí)運(yùn)動(dòng)方向的改變以及三角形的腰長(zhǎng)和正方形邊長(zhǎng)的特殊設(shè)計(jì)，也使得解題過(guò)程發(fā)生了微妙的變化.

（二）創(chuàng)編題目的特點(diǎn)

1.知識(shí)的綜合性.本題將初中階段平面幾何中兩種重要的圖形的知識(shí)與函數(shù)知識(shí)鏈接到一起，通過(guò)運(yùn)動(dòng)變化的形式編制題目，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)、幾何知識(shí)的統(tǒng)一.

2.解法的多樣性.在第（2）問(wèn)中，即可通過(guò)自變量的變化來(lái)判斷線段長(zhǎng)度，也可應(yīng)用三角形全等或者三角形相似的知識(shí)直接求出面積，解題方法多樣.

（三）創(chuàng)編題目及答案

（1）正方形MNPQ以2cm/s的速度由C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn).試求出圖①中陰影部分的面積y與運(yùn)動(dòng)時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系.

（2）在（1）中，正方形MNPQ運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后開(kāi)始向左平移，重新開(kāi)始計(jì)時(shí)，正方形平移的時(shí)間為t秒，當(dāng)兩個(gè)圖形不再有重疊時(shí)運(yùn)動(dòng)停止（如圖6-②），設(shè)兩圖形重疊部分的面積為s.試求s與t的函數(shù)關(guān)系.

解：（1）∵四邊形MNPQ是正方形，△ABC是等腰直角三角形，∴∠NQP=45°，∠B=45°.

創(chuàng)編題目三：

（一）創(chuàng)編過(guò)程

1.創(chuàng)編的背景和載體

原題是人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)137頁(yè)第9題：（如圖7）A為馬廄，B為帳篷.牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷.請(qǐng)你幫助他確定這一天的最短路線.

知識(shí)內(nèi)容是軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)及“線段最短”.

2.知識(shí)的鏈接、延伸及擴(kuò)展

在知識(shí)點(diǎn)“軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)”及“線段最短”保持不變的情況下，使其與直角坐標(biāo)系鏈接起來(lái)，使知識(shí)得到延伸及擴(kuò)展.

3.條件和方法的演變及強(qiáng)化

將“軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)”及“線段最短”與直角坐標(biāo)系鏈接起來(lái)，知識(shí)得到綜合考查，學(xué)生的綜合能力得到鍛煉.

（二）創(chuàng)編題目的特點(diǎn)

知識(shí)的綜合性.軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)，是初中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是?？嫉囊粋€(gè)考點(diǎn).聯(lián)系到兩點(diǎn)之間線段最短，又鞏固一次函數(shù)解析式以及求點(diǎn)的坐標(biāo).本題是平面幾何與函數(shù)的綜合應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生的綜合能力及畫(huà)圖能力.

（三）創(chuàng)編題目及答案

創(chuàng)編題目：在平面直角坐標(biāo)系中，有A（2，4），

B（4，2）兩點(diǎn).分別在x軸和y軸上各找到一點(diǎn)，使其與已知兩點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)最短.畫(huà)出圖形，并求出所求兩點(diǎn)的坐標(biāo).

答案：

解：分別作A、B關(guān)于x、y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1、B1，A1B1分別交y軸、x軸于點(diǎn)C、D（如圖8）.

則A1（-2，4），B1（4，-2），直線A1B1的解析式為y=-x+2，則C（0，2），

D（2，0）.

三、試題的反思與矯正

統(tǒng)考中得分率最低的5道試題.

1.第9題.通過(guò)率：0.72，錯(cuò)誤原因：識(shí)圖能力較差.

原題：直線l1：y=k1x+b與直線l2：y=k2x在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像（如圖9），則關(guān)于x的不等式k1x+b＞k2x的解集為（ ）.

A. x＞-1 B. x＜-1

C. x＜-2 D. x＞-2

變式訓(xùn)練：

直線l1：y=k1x+b與直線l2：y=k2x在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像（如圖9），則關(guān)于x的不等式k1x+b＜k2x的解集為（ ）.

A.x＞-1 B.x＜-1 C.x＜-2 D.x＞-2

深化訓(xùn)練：

一次函數(shù)y1=kx+b與直線y2=x+a的圖像（如圖10），則下列結(jié)論k＜0，a＞0，當(dāng)x＜3時(shí)，y1＜y2中正確的個(gè)數(shù)是（ ）.

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)

2.第21題.通過(guò)率：0.73，錯(cuò)誤原因：不認(rèn)真讀題，圖像畫(huà)反.

原題：已知A、B兩地相距4千米，上午8∶00甲從A地出發(fā)步行去B地，8∶20乙從B地出發(fā)騎自行車(chē)去A地.甲乙兩人離A地的距離（千米）與所用時(shí)間（分）之間的關(guān)系（圖11），由圖中的信息解答下列問(wèn)題：

（1）甲乙兩人在途中是否相遇過(guò)？若相遇，相遇在什么位置？

（2）乙到達(dá)A地是什么時(shí)間？

（3）若乙也在上午8∶00從A地出發(fā)去B地，在圖中畫(huà)出此時(shí)乙的圖像.

變式訓(xùn)練：

已知A、B兩地相距4千米，上午8∶00甲從A地出發(fā)步行去B地；8∶20乙從B地出發(fā)騎自行車(chē)去A地.甲乙兩人離A地的距離（千米）與所用時(shí)間（分）之間的關(guān)系（如圖11），由圖中的信息解答下列問(wèn)題：

（1）甲乙兩人在途中是否相遇過(guò)？若相遇，在什么位置？

（2）乙到達(dá)A地是什么時(shí)間？

（3）若乙也在上午8∶00從B地出發(fā)去A地，在圖中畫(huà)出此時(shí)乙的圖像.

深化式訓(xùn)練：

兩組同學(xué)進(jìn)行登山比賽，兩組同學(xué)從山腳出發(fā)沿同一路線到達(dá)山頂?shù)倪^(guò)程中，路程隨時(shí)間變化關(guān)系（如圖12）：

（1）寫(xiě)出甲、乙登山過(guò)程中路程S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)自變量的取值范圍）；

（2）如果甲組到達(dá)山頂時(shí)，乙組同學(xué)繼續(xù)登山，甲組在山頂休息半小時(shí)后沿原路下山，在距山頂0.5千米B處與乙組相遇，若相遇后各自按原速前進(jìn)，那么乙組同學(xué)到達(dá)山頂時(shí)，甲組距離山腳的距離是多少千米？

3.第27題通過(guò)率：0.62，錯(cuò)誤原因：最后一問(wèn)有些學(xué)生沒(méi)有思路.

原題：用兩個(gè)全等的等邊三角形拼成一個(gè)四邊形，把一個(gè)含有60°角的透明三角板與這個(gè)四邊形重疊，使三角板的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合.

（1）（如圖13-①）當(dāng)三角板的兩邊分別與BC、CD相交于E、F時(shí)，猜想線段BE與CF有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；

（2）（如圖13-②）當(dāng)三角板的兩邊分別與BC的延長(zhǎng)線、CD的延長(zhǎng)線相交于E、F時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？

（3）若將兩個(gè)全等的等邊三角形換成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，斜邊重合拼成正方形ABCD，再把三角板換成含有45°角的三角板（如圖13-③）.（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，證明你的結(jié)論；若不成立，要想使這個(gè)結(jié)論成立，應(yīng)將圖③中的△ABC和△ADC變成什么形狀的三角形？

變式訓(xùn)練：

把兩個(gè)等邊三角形改為頂角為30°的兩個(gè)等腰三角形，使三角板的60°角改為是三角板的30°角.

強(qiáng)化訓(xùn)練：

一變：（如圖14）△ABD、△AEC都是等邊三角形，且BE與CD相交于點(diǎn)P.

（1）若讓△ABD、△AEC 繞公共點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在此過(guò)程中DC、BE是否依然相等，直接回答問(wèn)題；

（2）若使B、A、C在一條直線上，設(shè)BE、AD相交于點(diǎn)M，CD與AE相交于N，△AMN是等邊三角形嗎？

二變：（如圖15）△ABC是等腰三角形，CA=CB，四邊形CDEF是正方形，連接AF、BD.

（1）觀察圖形，猜想AF與BD有怎樣的關(guān)系，并證明；

（2）若正方形CDEF繞A點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使正方形CDEF的一邊落在△ABC的內(nèi)部，請(qǐng)畫(huà)出變形后的圖形，此時(shí)（1）中猜想是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說(shuō)明理由.

三變：猜想二變中和正方形CDEF還可以換成什么圖形？寫(xiě)出你的猜想并畫(huà)出圖形，證明你的猜想.